Задачи типа С6

ЗАДАЧИ ТИПА С6.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

Универсальные материалы для подготовки учащихся

МАТЕМАТИКА

(ВЫПИСКА)

Авторское решение задач.

О недостатках прошу сообщить

по обратной связи с

главной страницы.

С6.1. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, наибольший общий делитель равен 13.

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числа Х и У делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13А И У=13В, где А и В – целые числа. Числа Х и У являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его. Т. к. число А натуральное число, то искомое число Х находится среди чисел

13, 26, 39, 52, 65 и 78. Из этих чисел только числа 13, 26, 39,и 78 являются делителями числа 78. Таким образом, искомое число Х находится среди чисел 13, 26, 39 и 78. Аналогично, искомое число У также находится среди чисел 13, 26, 39 и 78.

Рассмотрим все пары из этих чисел.

		ЗНАЧЕНИЕ Х
		13	26	39	78
ЗНАЧЕНИЕ У	13	НОК=13 НОД=13 НЕ ПОДХОДИТ	НОК=26 НОД=13 НЕ ПОДХОДИТ	НОК=39 НОД=13 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=13 НОК=78 ПОДХОДИТ
26	НОК=26 НОД=13 НЕ ПОДХОДИТ	НОК=26 НОД=26 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=13 НОК=78 ПОДХОДИТ	НОК=78 НОД=26 НЕ ПОДХОДИТ
39	НОК=39 НОД=13 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=13 НОК=78 ПОДХОДИТ	НОК =39 НОД=39 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=39 НОК=78 НЕ ПОДХОДИТ
78	НОД=13 НОК=78 ПОДХОДИТ	НОД=26 НОК=78 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=39 НОК=78 НЕ ПОДХОДИТ	НОД=78 НОК=78 НЕ ПОДХОДИТ

ОТВЕТ: Условию задачи удовлетворяют ровно две пары чисел

{13 и 78} и {26 и 39}.

С6.2. Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомые числа через Х и У. Эти числа связаны соотношением У=Х+ 66. Ясно, что У>66. Число 360 делится на Х и на У.

Тогда, 360= mX и 360=nY, где m и n натуральные числа. Возможные значения числа У находятся среди делителей числа 360 больших, чем 66.

Такими числами являются: 72, 90, 120, 180 и 360.

Соответствующие им значения числа Х: 6, 24, 54, 114 и 294. Числа 54, 114 и 294 не являются делителями числа 360. Следовательно, искомые значения числа Х находятся среди чисел: 6 и 24.

Пара чисел 6 и 72 не удовлетворяет условиям задачи, так как их НОК равен 72.

Пара 24 и 90 подходит.

ОТВЕТ: Одна пара чисел: 24 и 90.

С6. 3. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомые числа через А и С. Из условия получаем: А2-С2=55. Тогда

(А-С)(А+С)=55. Число 55 представлено в виде произведения двух чисел. Число 55 можно представить виде произведения двух чисел двумя способами: 55= 1*55 и 55=5*11 Таким образом, получается две системы уравнений.

А-С=1 А-С=5

А+С=55 А+С=11

Из первой системы получаем: А=28;С=27.

Из второй системы получаем: А=8;С=3

ОТВЕТ: Таких пар чисел ровно две {28 и 27} и {8 и 3}.

С6.4. Найдите все пары таких чисел, для которых их сумма, произведение и разность квадратов одинаковы.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомые числа через К и М. Из условия следует

К+М=КМ= К2-М2

К+М=(К-М)(К+М) К+М - (К-М)(К+М) =0 (К+М)(1-К+М)=0

Из последнего соотношения следует, что либо К+М=0, либо 1-К+М=0.

Рассмотрим случай К+М=0 Тогда КМ=0 Получаем систему уравнений

К+М=0 К=-М

КМ=0 КМ=0 - М2=0 М=0 Тогда и К=0

Получили пару чисел М=К=0.

Рассмотрим случай 1- К+М=0. Получаем систему уравнений

1-  К+М=0

К+М=КМ Из первого уравнения получаем К=М+1. Подставляем во второе

уравнение М+1+М=(М+1)М М2 –М-1=0

Тогда

ОТВЕТ: Получены все три пары таких чисел

{0 и 0}

 

и и

С6.5. Найдите двухзначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его десятичных цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомое число ХУ=10Х+У. Из условия задачи получаем систему уравнений

10Х +У= Х2+У2+19

10Х+У=2ХУ+44

Из системы получаем Х2+У2+19=2ХУ+44.

Х2+У2-2ХУ=25 Следовательно, Х - У=5 или Х - У= -5.

Пусть Х - У=5. Тогда Х=5+У. Подставим во второе уравнение

10(5+У)+У=2(У+5)У+44

2У2-У-6=0 Корни этого уравнения У=2 и У=-3. Второй корень не подходит по смыслу.

Тогда Х=У+5=2+5=7 . Таким образом, найдено одно из значений искомого числа..

Далее рассмотрим случай, когда Х-У=-5.

Х=У-5

Подставим значение Х во второе уравнение системы

10(У-5)+У=2(У-5)У+44

2У2-21У+94=0 Дискриминант этого уравнения D=1193. Если число оканчивается на 3, то оно не может быть квадратом целого числа. Значит, это уравнение не имеет целых корней.

ОТВЕТ: Искомое число равно 72

С6.6. Произведение натурального числискомрго числаа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 2430. Найдите о можных значений и вооднвсе такие числа.

РЕШЕНИЕ.

Искомое число двухзначное, т. к. произведение двух однозначных чисел не больше 81, а произведение двух трёхзначных чисел не меньше 10000. Запишем искомое число в виде 10А+В. Тогда второй сомножитель запишется в виде 10В+А.

Из условия следует

(10А+В)(10В+А)=2430

Раскроем скобки

100АВ +10В2+10А2+АВ=2430.

Последняя цифра числа в левой части выражения равна последней цифре произведения АВ и должна равняться нулю. Это возможно в двух случаях:

v  хотя бы одно из чисел А и В равно нулю (в этом случае равенство невозможно).

v  одно из чисел рано 5, а другое чётное число.

Пусть А=5. Тогда В одно из чисел 2, 4, 6 или 8.

Тогда искомое число одно из чисел 52, 54, 56 и 58.. Второй сомножитель соответственно

Равен 25, 45, 65 и 85.

Проверим каждую пару

52*25<2430 ; 54*45=2430; 56*65>2430; 58*85>2430.

Значит, подходит только число 54.

Пусть В=5. Рассуждая аналогично, найдём ещё одно число -45.

ОТВЕТ:

Таких чисел два: 45 и 54.

С6.7. Найдите все натуральные значения n, удовлетворяющие уравнению

, (1)

где [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х.

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что

Следовательно,

Значит,

Очевидно, что и

Тогда

Таким образом, правая часть равенства (1) равна

Рассмотрим левую часть равенства (1)

Так как

,

получаем

При n от 1 до 2008 включительно получаем, что левая часть равенства (1) также равна

Открытым остаётся вопрос при n>2008.

Ясно, что

При n>2008 левая часть равенства больше правой части.

ОТВЕТ: все натуральные числа

С6.8 Натуральные числа А, В и С таковы, что НОК(А, В)=60, НОК(А, С)=270.

Чему равен НОК(В, С)?

РЕШЕНИЕ.

Разложим 60 и 270 на простые множители:

60=2*2*3*5=22*3*5 и 270=2*3*3*3*5=2*33*5. Отсюда следует, что числа А, В и С при разложении на простые множители могут содержать только сомножители 2, 3 и 5. Значит,

MAX(a1,b1)=2 и MAX(a1,c1)=1 Следовательно, а1=1 или а1=0, b1=2, c1=0 или с1=1. Значит, мах (с1,b1)=2.

Аналогично, мах(а2,b2)=1 и мах(а2,с2)=3. Следовательно, мах(b2,c2)=3.

Аналогично, мах(а3,b3)=1 и мах(а3,с3)=1. Следовательно, мах(b3,c3)= либо 0, либо 1.

НОК( B, C)=108 либо 540

ОТВЕТ: 108 или 540

С6.9. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки клеток, причём числа m и n взаимно простые и m<n. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток из этого прямоугольника.

Найти все возможные значения m и n.

Примечание к условию задачи.

Видимо под числами m и n подразумеваются
длины сторон прямоугольника.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку числа m и n взаимно простые, то

диагональ прямоугольника не проходит через узлы сетки. Поэтому при пересечении горизонтальной линии сетки диагональ проходит через 2 клетки. В остальных местах в каждом вертикальном ряду клеток диагональ пересекает по одной клетке. Диагональ пересекает m – 1 горизонтальную линию.

Следовательно, диагональ пересекает n + m -1 клетку. Общее число клеток в прямоугольнике равно mn. Тогда получаем

mn –m –n + 1=116

m(n -1) –(n-1)=116

(n -1)(m-1)=116

Число 116 можно представить в виде произведения двух чисел

116=1*116=2*58=4*29

Получаем 3 системы уравнений

n – 1= 1 n -1=2 n -1=4

m – 1= 116 m -1=58 m -1=29

Из этих трёх систем получаем три пары значений для m и n.

n=2 n=3 n=5

m=117 m=59 m=30

В последней паре значения mи не являются взаимно простыми.

ОТВЕТ: Таких пар чисел ровно две (2;117) и (3;59)6

С6.11. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в 4 раза?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим НОД(m,n)=x. Тогда НОД(m+6,n)=4x. Так как m делится на х и m+6 делится на х, то 6 делится на х. Значит, х может быть 1, 2, 3 и 6. Проверим эти числа.

Пусть х=1. Тогда НОД(m,n)=1 (оба числа не могут быть чётными) и НОД(m+6,n)=4 (оба
числа чётные). Значение х=1 не годится.

Пусть х=2. Например, при m=2 и n=8 оба условия выполнены. Значение х=2 годится.

Пусть х=3. . Тогда НОД(m,n)=3 (оба числа не могут быть чётными) и НОД(m+6,n)=4
(оба числа чётные). Значение х=3 не годится.

Пусть х=6. Например, при m=18 и n=24 оба условия выполнены. Значение х=6 годится.

ОТВЕТ: 2 или 6.

С6.12. Натуральные числа a, b, c, d удовлетворяют условию ab= cd. Может ли число

а+b+ c+d быть простым?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим а+b+ c+d =Р. Из условия задачи .

Тогда и

Так как b+d целое число, то справа сократимая дробь. Значит, с+b при разложении на простые множители обязательно содержит Р, если Р простое число. Из этого следует, что

c+b >=P. Но тогда a+b+c+d>P.

ОТВЕТ: не может