Равновесие Нэша в модели многопродуктовой ценовой конкуренции: задача о назначениях

Равновесие Нэша в модели многопродуктовой ценовой конкуренции: задача о назначениях

Аннотация

Изучается рыночное взаимодействие конечного числа фирм, производящих единственный продукт, и представителя покупателей, где покупатель потребляет группы этих товаров. Функция полезности покупателей определяет их готовность заплатить за подмножество товаров. Показывается, что исходы равновесия Нэша есть решения линейного разложения целого числа путем программирования задачи назначения, и что они всегда существуют. Равновесие Нэша для цен определяется для однообразных функций полезности покупателей, и, что более важно, показывается, что понятия нескольких центральных решений в теории кооперативных игр есть равновесие цен нащей стратегической игры.

Модель

Модель состоит из покупателя (или группы идентичных покупателей) и n фирм. Каждая фирма производит одну единицу единственного продукта. Кроме того, различные фирмы могут производить разные товары. Пусть N = {1, 2, . . ., n} будет набором фирм. Мы используем те же обозначения для фирм и продуктов. Покупатель потребляет либо 1 либо 0 единиц каждого из n продуктов и обозначается как игрок 0.

Группа потребления покупателя есть подмножество S из N. Покупатель имеет функцию полезности v(S) для любого подмножества S ⊆ N, которое представляет собой его полную готовность заплатить за множество потребления S, при этом v(Ø) = 0.

Пусть ci (constant) будет стоимостью единицы продукции i-ой фирмы и c = (c1, c2, . . ., cn) – вектор стоимости.

Последовательность событий разворачивается следующим образом. Во-первых, каждая i-ая фирма выбирает свою цену pi ∈ R+ независимо и одновременно с другими. Тогда покупатель наблюдает ценовой вектор p = (p1, . . ., pn) ∈ Rn+ и выбирает группу потребления S ⊆ N, как функцию от p. В результате торговли каждая i-ая фирма из S получает чистую прибыль (pi − ci) или нуль иначе. Покупатель получает выплату, равную излишку.

Формально, имеется стратегическая игра с (n+1) игроками:0, 1, 2, . . ., n. Множество стратегий каждой фирмы есть R+ и для покупателя - S0, множество функций S находится в пределах от Rn+ до 2N. Наконец, функция выплаты (прибыль) для каждого i ∈ N задается следующим образом:

,

где S(p) есть множество потребления покупателя, соответствующего цене p ∈ R+. Функция выплаты покупателя задана ее излишком:

.

Обозначим эту экономику(структуру) через G(n+1,v, c), и пусть NE* будет абсолютным равновесием в множестве всех ее чистых стратегий в завершенной подыгре. Пусть (S, p) принадлежит NE*. Тогда p называется вектором цены для NE*, S = S(p) – множество потребления NE* и (S, p) – исходы абсолютного равновесия NE*.

Нетрудно показать, что (N, p) есть исход NE*, если p ≥ c и:

(CB) Оптимальность покупателя:

, для всех ;

(CF1) Оптимальность фирмы: для каждого , есть такое, что .

Это так, потому что (CB) подразумевает завершенность подыгры и (CF1) - стимулы фирм.

Предположим, что (СF1) не выполняется, тогда (CB) для некоторого i ∈ N и для Si ⊆ N\{i}:

,

тогда i-ая фирма есть наименьшая ценовая выплата pi + ε, для достаточно малого ε>0 такого, что (CB) удовлетворяет еще и любому Si ⊆ N\{i}. Это означает, что покупатель при наблюдении ценового вектора (p-i, pi +ε) будет выбирать множество N как множество потребления. Наоборот, если (CB) и (CF1) удовлетворены, тогда (N, p) есть результат абсолютного равновесия NE*, т. к. N – лучший выбор для покупателя, и ни у какой фирмы нет стимула понизить или повысить цену. Заметим, что множество Si в (CF1) может быть пустым. В этом случае , и фирмы получают весь излишек покупателя.

Предположим теперь, что пара (S, p) является результатом абсолютного равновесия NE*, для S≠N. Тогда условия равновесия должны гарантировать, что никакая i-ая фирма вне S не имеет выгоды от снижения цены, и, таким образом, S должно оставаться лучшим выбором для покупателя, даже если фирма уменьшает свою цену до уровня ее крайней стоимости. Тогда, (S, p) есть результат NE*, если pk≥ck для любого k ∈ S, (CB) и (CF1) удовлетворены в S, и (CF2) - для любого и для любого ,

.

Рассматривается только множество чистых стратегий абсолютного равновесия подыгры вышеупомянутой экономики (структуры), которая остается исходом равновесия, даже если все множество непродаж фирм есть множество крайних ценовых стоимостей. Это ограничение исключает множество исходов равновесия, при котором фирмы неразумно устанавливают высокие цены (чтобы никакая отдельная фирма не могла получить выгоду от снижения цены на ее продукт ). Чтобы определить это ограничение множества равновесия Нэша, рассмотрим , и пусть . Обозначим через вектор в такой, что

Определение 1.

Для каждой тройки определено равновесие Нэша:

.

Примем для простоты, что каждое .

Следующее предложение характеризует множество результатов равновесия Нэша (для с=(0,0,…,0)), где (С1) и (С2) соответствуют (CB) и (CF1), и (C3) относится теперь к множествам невыбранных фирм вместо (CF2) .

Далее в тексте за |S| обозначено число продуктов (фирм) в множестве потребления .

Предложение 1.

Предположим, что . Тогда (S, p) есть результат равновесия Нэша, если и:

(C1) для всех ;

(С2) для каждого существует такое, что:

;

(С3) для каждого и для всех :

.

Если S=N, тогда (S, p) есть результат равновесия Нэша, если и (С1), (С2) удовлетворены.

Наконец, дано.

Обозначим:

как максимальный социальный излишек в экономике (структуре) G(k+1,v)=G(k+1,v, с=(0,…,0)), то есть максимум функции полезности покупателя, когда рассматриваются множества потребления из К.

Так как мы заинтересованы в эффективности результатов равновесия Нэша, то мы будем сравнивать их с ядром.

Определение 2.

Пусть. Т-ядром экономики G(n+1,v), обозначенным как T-ядро(G) называются все пары такие, что

(i)  ,

(ii) , .

Элемент есть излишек покупателя, и каждое – выплата для фирмы К. Если T=N, то мы получаем ядро экономики, обозначенное как ядро(G). Кроме того, подмножество точек в Т-ядре(G) таких, что излишки покупателя нулевые, определяет Т-ядро от v, обозначенное как Т-ядро(v):

.

Понятие Т-ядра(v) следующее. Предположим, что равновесие множества потребления есть Т. Тогда фирмы в N\T получают 0, и отсюда следует, что они будут готовы присоединиться к множеству фирм-продавцов. Тогда каждое подмножество может фактически достигнуть , где .

Можно проверить, что проектирование Т-ядра(v) совпадает с N-ядром(uT), когда излишки покупателя нулевые.

Пример

Рассмотрим рынок перчаток. Пусть , для i=1,2,3. Фирма 3 – производитель левых перчаток, фирмы 1 и 2 – производят правые перчатки, и:

Рассмотрим множество исходов равновесия Нэша.

Есть 3 множества потребления равновесных по Нэшу: N, {1,3} и {2,3}. Цены обслуживания каждого из множеств:

для первого множества,

с α≥0 для второго множества,

для третьего множества.

Тогда множество исходов равновесия Нэша:

.

Отметим, что излишки покупателя есть 0 в каждом исходе равновесия, так как фирма 3 использует полную готовность покупателя заплатить. Кроме того, невыбранные фирмы могут зафиксировать положительную цену. Каждое множество потребления S эффективно в том смысле, что .

Заметим, что данная характеристика равновесия Нэша исключает исходы множества NE*. Например, , с , принадлежит множеству исходов NE*, так как это удовлетворяет (CB), (CF1) и (CF2). Однако, это равновесие неразумно, так как никакой продукт не продан, и никакая отдельная фирма не может продать их продукты при помощи снижения цены.

Ядро: множество векторов в N-ядре(G)=ядро(G) есть ядро:

.

Таким образом, излишки покупателя равны нулю, если. Тогда N-ядро(v) есть точка (0, 0, 1).

Задача о размещении

В данном разделе будет исследоваться дуополия Хотеллинга. На плоскости расположены две фирмы, которые объявляют цены на товар, а покупатели делают выбор фирмы, сравнивая затраты на ее посещение. Затраты вычисляются в виде суммы цены и расстояния от покупателя до фирмы. Находится равновесие по Нэшу и решается задача о размещении, в которой нужно определить оптимальное расположение фирм.

Дуополия Хотеллинга на плоскости

Представим город в виде единичного круга S c равномерным распределением покупателей по его площади (рис.1). Предположим, что две фирмы (I и II) располагаются на диаметре симметрично относительно начала координат в точках (-k,0) и (k,0). Каждая фирма объявляет цену на свой товар , i=1,2. Без ограничения общности будем считать, что .

Покупатель из точки сравнивает затраты от посещения каждой фирмы. Расстояние до каждой фирмы обозначим через и , соответственно. Предположим, что затраты складываются из цены на товар плюс транспортные расходы, т. е. , i=1,2. Тогда множество всех покупателей разобьется на два подмножества и , с границей, определяемой уравнением:

,

или, после упрощений , где

, . (1)

Таким образом, граница между областями и имеет форму гиперболы.

Выигрыши игроков вычисляются по формулам , , где и - площади соответствующих областей. Поскольку , то достаточно найти . Из зависимостей, отображенных на рис.1, получаем

, (2)

а равновесие по Нэшу в этой игре удовлетворяет условиям:

, (3)

. (4)

Из представления (2) для запишем:

. (5)

Так как , то

. (6)

Функция монотонно возрастает по , что следует из соображения, что если первый игрок увеличивает цену на товар, то покупателю из , для которого затраты на посещение фирмы I были больше, чем фирмы II, будет по-прежнему выгоднее посещение фирмы II.

Теперь перейдем к нахождению равновесия в этой игре. Учитывая (6), из (3), (4) вытекает соотношение . Откуда следует, что если , то должно быть больше , но это противоречит тому факту, что если цена, объявленная фирмой I, меньше, чем у соперника, то множество покупателей, которые предпочтут фирму , будет больше, чем , т. е. . Отсюда вытекает, что если решение системы (3), (4) существует, то это может быть лишь при . Это, собственно говоря, следует и из симметрии задачи.

Итак, будем искать решение среди равных цен, т. е. при условии . Тогда , и согласно обозначениям a=0, b=k, из (5) получаем:

.

Несложно проверить вогнутость функций и в окрестности равных цен по и , соответственно. Из (3), (4) следует, что равновесные цены имеют вид:

. (7)

Заметим, что если фирмы расположены на концах диаметра, то из (7) вытекает, что равновесные цены равны:

.

При этом оптимальные выигрыши игроков составят: .

Задача о размещении

В случае рационального поведения покупателей существуют равновесные цены, которые зависят от расположения фирм в городе. Возникает вопрос о равновесном расположении фирм. Рассмотрим для этой задачи модель с евклидовой метрикой.

Из соображений симметрии следует, что достаточно исследовать случай, когда фирмы располагаются на диаметре круга. Пусть первая фирма находится в точке (k1,0), а вторая — в точке (k2,0), где . Предположим также, что . Исследование противоположного случая проводится аналогично.

Множество покупателей разобьется на два подмножества S1 и S2 с границей, определяемой уравнением:

,

или после упрощений , где

, , , . (8)

Таким образом, граница между областями S1 и S2 снова является гиперболой. Выигрыши игроков имеют вид , , где s1 – площади соответствующих областей, i=1,2.

Будем менять положение и этих фирм, каждый раз находя равновесные цены , . Они будут удовлетворять условиям:

, .

Из того, что , следует, что и . Тогда систему для поиска равновесия в ценах можно представить в виде:

, (9)

. (10)

Равновесие , определяемое условиями (9), (10), зависит от положения фирм , i = 1,2. Таким образом, функции выигрыша игроков в равновесии также будут зависеть от и . Запишем это в виде , i = 1,2.

Перейдем к нахождению равновесного положения фирм на плоскости, а именно координат , для которых выполняются условия:

, .

Симметрия задачи позволяет упростить построение равновесия. Поступим следующим образом. Зафиксируем положение первой фирмы и станем менять положение второй, каждый раз определяя равновесные цены , , которые будут зависеть от . Тогда выигрыш фирмы II также будет функцией от :

.

Найдем максимальный выигрыш фирмы II. Если он будет достигаться в точке , симметричной относительно начала координат от точки , т. е. , этого будет достаточно для того, чтобы ситуация (-k, k) была равновесием по Нэшу в задаче о размещении. Эти соображения позволяют построить равновесие в задаче о размещении. Перейдем к нужным построениям.

Функция в данном случае имеет вид , где (см. рис.1) может быть представлена как:

, (11)

где есть точка пересечения границы областей и и окружности, т. е. определяется из системы:

,

,

или из уравнения

.

Заметим, что если игроки расположены симметрично, т. е. , то при близких ценах , . Максимум функции достигается в точке, для которой выполняется условие , или

(12)

Из условия (10) для равновесия цен первая скобка в (12) равна нулю. Уже было отмечено выше, что , поэтому условие максимума в точке теперь принимает вид:

. (13)

Чтобы найти , продифференцируем уравнения (9), (10), которые определяют равновесные цены по . Выражаем

(14)

Согласно симметрии задачи равновесия должно достигаться в точках, симметричных относительно начала координат при равных ценах. Нетрудно показать, что при и вторые производные и становятся бесконечно малыми. Тогда из (14) получаем представление:

, (15)

а из (11) –

. (16)

Дифференцируя уравнение по , находим

. (17)

При и имеет место , и . Тогда из (17) следует, что . Таким образом, в равновесии должно выполняться:

.

Вычислим теперь в равновесии . Из вида получаем, что это функция от аргументов , поэтому

и

.

Поскольку в равновесии a=0 и, кроме того, и , то

. (18)

Остается вычислить вторые производные в (18). Поскольку из (11)

, (19)

то

(20)

Нетрудно показать, что при и производные , и становятся бесконечно малыми. Тогда из (20) вытекает, что в равновесии

. (21)

Дифференцируя (19) по , находим, что в равновесии . Подставим (21) в (18), имеем:

,

а из (15) -

.

Таким образом, условие (13) оптимальности стратегии фирмы II с учетом симметричности теперь запишем в виде:

,

или

. (22)

Из системы условий (22) и (7) для равновесных цен получаем условие для равновесного расположения фирм I и II:

. (23)

Решение уравнения (23) дает равновесие для размещения фирм , из условия (22) находим равновесные цены и, наконец, оптимальные выигрыши .

Итак, получено равновесие по Нэшу в дуополии Хотеллинга на плоскости, когда город представлен в виде круга и жители равномерно в нем распределены. Равновесие найдено в случае, когда расстояние представлено в евклидовой метрике. Для этой модели симметрия задачи позволяет найти равновесие в задаче о размещении фирм в городе. Моделирование показывает, что для первой фирмы выгоднее быть дальше от второй фирмы, в то время как для второй фирмы ситуация противоположная, для нее выгоднее быть недалеко от первой фирмы.

Пример

Рассмотрим модель линейного города протяженностью l. Есть 2 магазина A и B, которые размещены на прямой на расстояниях a и b от концов соответственно. Покупатели размещены по обе стороны от прямой. Каждый покупатель доставляет купленные товары домой, расходуя t на единицу пути. Предполагается, что затраты на производство (продажу) товара равны нулю, и что единица товара потребляется в единицу времени на каждой единице протяженности линии.

Пусть и - цены магазинов А и В, и - соответствующие количества проданного товара.

Магазин В может установить цену , но для того, чтобы превышало 0, его цена не может превышать цену магазина А больше, чем на сумму транспортных расходов по доставке товара из А в В. В действительности он будет поддерживать свою цену на уровне несколько более низком, чем , стоимости приобретения товара в А и доставки его в В. Таким образом, он получит исключительную возможность обслуживания правого сегмента b, a также потребителей сегмента у, протяженность которого зависит от разницы цени . Точно так же, если, магазин А будет обслуживать левый сегмент рынка а и сегмент х справа, причем протяженность х с возрастанием будет уменьшаться. Границей зон обслуживания рынка каждым из двух магазинов будет точка безразличия E покупателей между ними с учетом транспортных расходов, определяемая равенством:

. (1)

Другая связь величин х и у определяется заданным тождеством:

. (2)

Подставляя значения у и х (поочередно) из (2) в (1), получим:

,

. (3)

Тогда прибыли магазинов А и В будут:

,

. (4)

Каждый магазин устанавливает свою цену так, чтобы при существующем уровне цены в другом магазине его прибыль была максимальной. Дифференцируя функции прибыли (4) по и соответственно по и приравнивая производные к нулю, получим:

,

. (5)

Откуда

, (6)

,

,

. (7)

Условия второго порядка и , необходимые для максимизации прибыли, также, очевидно, выполняются.

В пространстве цен цены и являются координатами точки равновесия Е. На рисунке воспроизведен числовой пример, в котором l = 35, а = 4, b = 1, x = 14, у = 16 . При таких параметрах цены магазинов А и В, согласно (6), будут:

,

.

Ими будет продано (единиц продукции), согласно (7),

,

.

Точка Е принадлежит пересечениям линий, вдоль которых производные прибыли каждого из двух магазинов по его собственной цене равны нулю. При этом, согласно (4),

=36 ∙ 18 = 648,3,

= 34 ∙17 = 578 .

(При предположении о нулевых затратах магазинов).

Такая модель является игрой, в которой на первой стадии каждый игрок выбирает свое местоположение на прямой, а на второй стадии - цену.