Муниципальное общеобразовательное учреждение

Домодедовская гимназия № 5

Физико-математическая кафедра

Научно-исследовательская работа на тему:

«Магические квадраты».

Работу выполнили:

ученицы 8 «А» класса

Булахова Анна

Спицына Элина

Научный руководитель:

учитель математики

Домодедово 2010 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ…………………………………………………………………...2

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………… 3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ…………………………………… 4

ГЛАВА 2.ОБЩЕЕ КОЛИЧЕССТВО МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

РАЗНОГО ПОРЯДКА…………………………………………………..……… 7

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ ………………………………………. 9

ГЛАВА 4. УЗОРЫ МАГИЧЕСКИХ ЛИНИЙ………………………………….12

ГЛАВА 5. РАЗВЛЕЧЕНИЕ БЕНДЖАМИНА ФРАНКЛИНА………………..13

ГЛАВА 6. ПРОВЕДЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ……………………………...11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………....15

БИБЛИОГРАФИЯ………………………………………………………………16ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………17

Введение

Выбор темы для научной математической работы – это сам по себе интересный этап исследования. Многообразие тем, которые можно рассмотреть, завораживает. Но всё, же приходится останавливаться на какой-то одной. Мы остановились на «Магических квадратах». Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать исследование.

В нашей работе мы постарались отразить самые яркие, важные, интересные факты из теории и практики составления магических квадратов. При этом перед нами раскрывались любопытные математические свойства предмета исследования.

Вот главные задачи нашей работы: рассказать о появлении самого понятия «магических квадратов» и о росте их популярности, как в науке, так и в жизни, рассмотреть способы составления, показать основные особенности.

Кроме этого, мы провели исследование среди учеников нашего класса. Мы хотели посмотреть: как быстро люди, которые раньше не сталкивались с нашей темой, могут решить данную им задачу, на основе краткого пояснения. Результаты этого исследования будут также приведены в нашей работе.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ.

Говорить люди умели раньше, чем научились фиксировать сказанное. И простейшие вычисления с использованием условных единиц в виде пальцев, палочек, камешков, узелков появились ещё до того, как люди смогли записать это. Но доказательно судить о том, что и когда научился делать человек в своём развитии, мы можем только на основе дошедших до нас вещественных и письменных источников.

Точно можно утверждать, что история магических квадратов начинается в древнем Китае. В ранних литературных сочинениях, написанных там ещё до нашей эры, появляются упоминания о некой схеме «ло-шу», которые «мудрые берут за образец». Изображение магического квадрата в виде связанных кружков встречается в более позднем трактате мыслителя Чжу Си.

Существует несколько легенд о происхождении этого первого магического квадрата, часто называемого «ло-шу». Скорее всего, это просто выдумки, потому, что известно несколько абсолютно разных толкований, которые даются со ссылками на различные древние книги, но противоречат друг другу. Поэтому останавливаться на изложении чьих-то фантазий не будем, но пальму первенства в этом открытие оставим за Китаем.

Так выглядит этот квадрат в обычной числовой форме, и именно он был показан в первой главе книги (рис.1). В дальнейшем, занимаясь магическими квадратами, китайские математики рассматривали квадраты не только третьего, но и более высоких порядков, придумали правила для их построения.

В древнеиндийских надписях и трактатах встречаются изображения магических квадратов четвёртого порядка.

Из Индии сведения о магических квадратах перешли к арабам. Арабы были знакомы с квадратом третьего порядка в VIII веке, а в XII веке его описал в своих сочинениях Ибн Эзра, испанский еврей, принявший мусульманство. Мусульмане очень благоговейно относились к квадратам пятого порядка с цифрой 1 в середине, считая это изображение символом единства Аллаха. В Европе о магических квадратах узнали благодаря византийскому писателю Э. Мосхопулосу, жившему в Константинополе в начале XV века.

Редкостью является использование магического квадрата в изобразительном искусстве, а не в литературном или научном произведении. Впервые это сделал немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 – 1528), выпустивший в 1514 году гравюру «Меланхолия», на которой в правом верхнем углу есть изображение магического квадрата четвёртого порядка. Причём два числа в середине нижней строки указывают на год создания гравюры -1514. Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определённым расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А. Дюрера послужила толчком для знаменитых

пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (15

Известный немецкий гуманист (1486 – 1535) построил магические квадраты порядков 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9 – он связал их с семью астрологическими «планетами» - Сатурном, Юпитером, Марсом, Солнцем, Венерой, Меркурием, и Луной. В Западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Серебряные пластинки с выгравированными магическими квадратами носили как амулеты, предохранявшие от чумы и других бед и поверий. От суеверных представителей древних китайцев, индусов, европейских алхимиков и астрологов эти числовые квадраты и получали своё необычное для математики название – «магические» квадраты. Иногда по отношению к ним употребляется слово «волшебные», но значительно реже, чем «магические».

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В наш просвещённый век снова в почёте астрологи, колдуны и магистры магии. Один из современных колдунов, Магистр Белой магии Юрий Лонго предлагал через газету «Комсомольская правда» бесплатно выслать Магический Квадрат, который поможет избавиться от финансовых трудностей, невезения, проблем в любви. Очень много мистических словоизлияний, посвящённых магическим квадратам и магическим свойствам чисел, можно найти в Интернете.

Составление магических квадратов было делом не только астрологов или бездельников, ищущих забавы. Теорию их разрабатывали многие выдающиеся математики. В 1654 году французский учёный Блез Паскаль написал трактат, полностью посвящённый магическим квадратам. В дальнейшем к теории магических квадратов обращались многие выдающиеся математики. Она находит применение в ряде важных математических вопросов. Выводы теории магических квадратов используются в одном из методов решения систем уравнений со многими неизвестными и даже в современной квантовой механике. В теории квантования моментов количества движения, используется так называемая таблица Редже, которая представляет собой магический квадрат 3х3, составленный из произвольных чисел.

А любителям математики составление квадратов служило хорошей гимнастикой ума и одно время столь же процветало, как увлечение кроссвордами в наши дни. Особо усердным хватало терпения, чтобы составить, например, квадрат 43-го порядка с числами от 1 до 1849. Один только факт: в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, во Франции был напечатан трактат на эту тему, состоящий их трёх объёмных томов. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

ГЛАВА 2. ОБЩЕЕ ЧИСЛО МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ РАЗНОГО ПОРЯДКА.

С возрастанием порядка, количество различных магических квадратов увеличивается очень резко. Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040.

По последним данным для магических квадратов пятого порядка существует 275 305 224 возможных вариантов. Установление формулы для вычисления общего числа различных магических квадратов более высокого порядка – это одна из труднейших задач занимательной математики и на данный момент она не решена. Даже развитие компьютерной техники с миллионами операций в секунду не очень-то продвинуло людей в этом вопросе.

Уникальность магического квадрата третьего порядка.

Чтобы оценить уникальность магического квадрата третьего порядка подсчитаем общее количество разных квадратов, которые можно составить из чисел от 1 до 9. В математике такие расположения чисел называются перестановками из n элементов. Есть формула для подсчёта количества различных перестановок. Представим себе, что клетки квадрата пронумерованы некоторым образом. В первую клетку мы изначально можем поставить любое из девяти, имеющихся у нас чисел (9 вариантов заполнения первой клетки). Во вторую клетку теперь можно поставить любое из восьми оставшихся чисел, т. е. для каждого из 9 вариантов заполнения первой клетки, имеется 8 вариантов заполнения второй, а всего 9*8=72 различных сочетания двух чисел. В третью клетку можно поставить любое из оставшихся семи чисел и различных сочетаний трёх чисел получается 72*7=504. Продолжая рассуждать аналогично, мы получаем окончательную цифру – 362880. В это число попадают и все 8 модификаций магического квадрата, полученных от поворотов и симметрии.

И чтобы узнать, сколько перестановок можно составить из

n элементов, нужно перемножить все натуральные числа от 1 до n. Такое произведение обозначается коротко n!

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ

Метод Баше для квадратов нечетного порядка.

Самый простой прием составления магических квадратов нечетного порядка придумал в XVII веке французский математик Клод Гаспар Баше. Он применим и к квадрату 3х3, но нет смысла снова его составлять, поэтому изучение метода Баше начнем с квадрата пятого порядка (рис.2):

1. Квадрат дополняется вспомогательными клетками с четырех сторон «лесенкой» или «террасами» как показано на приложении (рис. 3 )

2. Последовательные числа от одного до n2 выписываются ряд за рядом в направлении параллельном одной из диагоналей квадрата.

3. Числа оказавшиеся за рамками квадрата, нужно ввести внутрь. Для этого «террасы» мысленно вдвигаем в квадрат так, чтобы они примкнули к противолежащим сторона квадрата (рис.4).

Вот какой квадрат пятого порядка получается в итоге (рис.5). В нем можно узнать магический квадрат Марса.

Способ Баше очень просто. На практике его можно применять для построения нечетных квадратов сколь угодного высокого порядка, но он дает только один из множества возможных вариантов.

Метод де ла Лубера для квадратов нечётного порядка.

Ещё один, довольно простой, способ составления магических квадратов нечётного порядка в одних книгах называется индийским (якобы его знали в Индии ещё до нашей эры). В других, авторство признаётся за А. де ла Лубером, который служил посланником французского короля Людовика XIV в Сиаме (ныне Таиланд) в период 1687 – 1688г. г.

Этот способ определяется следующими правилами:

1.  В середине верхней строки пишут 1, а всамом низу соседнего справа столбца – 2.

2.  Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3.  Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4.  Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. (Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней, если она не занята, иначе см. правило 5.)

5.  Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6.  Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Если число клеток квадрата не делится на 3, можно начинать составление квадрата не по правилу 1, а по другому правилу. Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2-5.

Это замечание даёт возможность составить по индийскому методу не один, а несколько различных квадратов.

Магические квадраты порядка двойной чётности.

Рассмотрев два метода построения нечётных магических квадратов, пора перейти к чётному порядку. Но начнём с квадратов, порядок которых число кратное четырём, их называют квадратами порядка двойной чётности. Для изучения следующих методов построения возьмём квадрат четвёртого порядка, чтобы за количеством чисел не потерять содержание.

Диагональный метод:

1.  Выпишем все числа от 1 до n^2 по порядку в строках квадрата.

2.  Числа, стоящие в диагональных клетках, поменяем местами с числами симметрично стоящими к ним относительно центра квадрата.

Эти правила применимы для построения магического квадрата любой двойной чётности. Только обмену подлежат числа, стоящие на диагоналях, каждого из квадратов 4х4, составляющих большой квадрат. Но центром симметрии по-прежнему является центр большого квадрата.

Синтетический метод Ф. де ла Ира.

де ла Ира () основан на двух первоначальных квадратах. На рисунке показано (рис.6), как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетки первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. (О таких квадратах речь ещё впереди). То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз.

Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четвёртого порядка.

ГЛАВА 4. УЗОРЫ МАГИЧЕСКИХ ЛИНИЙ.

Американский архитектор Брэгдон, обнаружил, что соединив в порядке возрастания чисел центры клеток магического квадрата ломаной линией, в большинстве случаев получается изящный узор (рис.7). Для квадратов больших порядков можно соединять клетки только с чётными или только с нечётными числами. Получены таким образом «магические линии», Брэгдон использовал как образцы рисунков для ткани, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок.

Приведём несколько примеров орнаментов из магических линий. Для придания узору завершённости, соединим в конце последние число с первым.

Интересный узор, можно получить, если соединять линиями (не обязательно прямыми) все группы чисел, образующих при сложении магическую сумму.

Если мы вернёмся к способу Баше для составления магических квадратов, то можем увидеть общие черты в узорах магических линий, в квадратах разного порядка, составленных этим методом (рис.8).

Каждый метод построения магических квадратов имеет свой характерный рисунок линий.

ГЛАВА 5. РАЗВЛЕЧЕНИЕ БЕНДЖАМИНА ФРАНКЛИНА.

Составлением магических фигур, причём не только квадратов, увлекался в свободное время американский общественный деятель, дипломат, учёный Бенджамин Франклин (). Ему принадлежат интересные находки в этой области. Приведём для примера два его достижения в области «квадратостроения»: квадраты 8-го и 16-го порядка.

Магическая сумма магического квадрата 6-го порядка, составленного Франклином, равна 260, но он также обладает рядом дополнительных свойств:

1.  Сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130, что составляет половину магической суммы.

2.  Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260.

3.  Если разбить этот квадрат 8х8 на квадратики 2х2, то в каждом из них сумма чисел будет равна 130.

4.  В любом прямоугольнике 2х4 сумма чисел равна 260.

5.  Сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10, а далее по наклонному ряду, идущему от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260. То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному. Это свойство сохраняется для таких же ломаных, построенных от любой из трёх оставшихся сторон квадрата.

Ещё более удивителен квадрат 16х16 (рис.9), который Франклин составил за один вечер. Он по праву гордился своим творением и писал, «что этот квадрат является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом».

Магическая сумма этого квадрата равна 2056. Если вырезать в листе бумаги квадратное отверстие 4х4 и наложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 чисел большого квадрата попали в прорезь, то сумма этих чисел будет одна и та же, равная 2056, куда бы мы ни передвигали наш лист с прорезью по большому квадрату. Этому же значению равны суммы вдоль ломаных, как и в квадрате 8-го порядка, от 64 до 52 вверх-вправо и от 77 вниз-вправо до 65.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В нашей работе были рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятие математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию некоторых других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т. д.).

Также были показаны методы составления магических квадратов, которые можно применять и в жизни, при решении многих задач (судоку, числовые построения, создание своих магических квадратов и т. д.).

БИБЛИОГРАФИЯ

1.  «Математические эссе и развлечения» - М.: Мир, 1986 г.

2.  «Тайна древнего талисмана» - М.: Наука, 1969 г.

3.  «777. Каббала Алистера Кроули» - М.: ОДДИ-Стиль, 2003 г.

4.  «Приглашение в теорию чисел» - М.: Наука, 1980 г.

5.  , «Энциклопедия мировой живописи» - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2000 г.

6.  Постников M. М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.

7.  «Магия талисманов. Практическое пособие» - М.: Велигор, 2002 г.

8.  Abe G. «Unsolved Problems on Magic Squares» Disc. Math. 127, 1994 г.

9.  Frénicle de Bessy, B. «Des quarrez ou tables magiques. Avec table generale des quarrez magiques de quatre de costé.» В Divers Ouvrages de Mathématique et de Physique, par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences (Ред. P. de la Hire). Paris: De l'imprimerie Royale par Jean Anisson, 1693 г.

10.  Gardner, M. «Magic Squares and Cubes» Гл. 17 в Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988 г.

Приложение

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Рис. 1

3

9

15

8

14

7

13

19

12

18

11

17

23

Рис. 2

5

4

10

3

9

15

2

8

14

20

1

7

13

19

25

6

12

18

24

11

17

23

16

22

21

Рис. 3

3

9

15

2

8

14

20

1

7

13

19

25

6

12

5

18

24

11

4

17

10

23

16

22

21

Рис. 4

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

Рис. 5

1

2

5

4

3

2

5

4

3

1

5

4

3

1

2

4

3

1

2

5

3

1

2

5

4

+

10

5

0

15

20

20

10

5

0

15

15

20

10

5

0

0

15

20

10

5

5

0

15

20

10

=

11

7

5

19

23

22

15

9

3

16

20

24

13

6

2

4

18

21

12

10

8

1

17

15

14

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9