§ 7. Формула бинома Ньютона.
Пример 7.1. Доказать формулу бинома Ньютона
(7.1)
где число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле (6.1).
Теорема 1. При n = 1: левая часть равенства (7.1) равна 
;
правая часть этого равенства:
Теорема 2. Дано, что неравенство (7.1) верно при n = k:
.
Докажем, что это равенство верно при n = k+1:
.
Действительно: 
Во второй сумме суммирование начнем с m = 1.
Тогда во втором слагаемом вместо m нужно взять m-1.
В первой сумме отдельно выпишем первое слагаемое,
а во второй сумме – последнее слагаемое.
Тогда суммирование в обеих суммах будет с m = 1 по m = k .
И под знаками этих сумм степени у чисел a, b совпадают.
.
.
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (7.1) верно для любого натурального n.
Пример 7.2. Формула Лейбница. Пусть Функции 
имеют на множестве E непрерывные производные до порядка n включительно. Тогда для производной порядка n от произведения этих функций справедлива формула Лейбница:
. (7.2)
Доказательство. Введём обозначение: 
.
Теорема 1. При n = 1: левая часть равенства (7.2) равна:
;
правая часть этого равенства:
.
Теорема 2. Дано, что неравенство (7.2) верно при n = k:
.
Докажем, что это равенство верно при n = k+1:
.
Действительно: 
Производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных 
По правилу дифференцирования произведения двух функций имеем
В первой сумме выпишем отдельно первое слагаемое,
а во второй сумме – последнее слагаемое.
Во второй сумме суммирование начнем с m = 1.
В этом случае вместо m нужно взять m-1, то есть имеем:
.
Аналогично, как в примере (7.1):
; 
.
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (7.2) верно для любого натурального n.
Литература. Содержание
