МЕРА CVAR, ЕЕ МОДИФИКАЦИИ

И МЕСТО СРЕДИ КОГЕРЕНТНЫХ МЕР РИСКА

MEASURE CVAR, ITS MODIFICATIONS AND ITS PLACE

AMONG COHERENT RISK MEASURES

Кустицкая Татьяна

Сибирский федеральный университет, Красноярск,

*****@***ru

Аннотация. В данной работе была рассмотрена мера риска CVaR и одна из существующих ее модификаций. Было показано, что она не является когерентной мерой риска и предложено другое направление модификации - через функционал возмущенной вероятности. Получаемые таким образом меры риска являются когерентными и позволяют учесть информацию обо всем распределении. Также были рассмотрены разные варианты изложения аксиоматики когерентных мер риска.

Ключевые слова. Когерентные меры риска, функционал возмущенной вероятности, СVaR.

1. Введение

Наиболее распространенная в настоящее время методология оценки рыночных рисков основана на вычислении меры риска Value-at-Risk (VaR), представляющей собой квантиль распределения заданного уровня. Однако эта мера имеет ряд недостатков, которые не позволяют считать ее хорошим критерием для большого класса задач принятия решения.

В последнее время активно развивается теория когерентных мер риска, которые являются перспективными в плане представления нелинейных предпочтений и согласовываются с естественными требованиями к мерам риска.

Одним из наиболее известных представителей когерентных мер риска является мера CVaR (Conditional Value-at-Risk), вычисляемая на основе VaR и несущая в себе больше информации о распределении, нежели VaR (а точнее о "хвосте" распределения). Однако из-за того, что большая часть распределения все же никак не отражается в мере CVaR, область ее применения тоже весьма ограничена.

В данной работе рассматривается одна из модификаций меры CVaR и определяется другое возможное направления для модификации этого функционала.

2. Определения и обозначения

Рассмотрим вероятностное пространство (), где - множество элементарных исходов, - -алгебра, заданная на , а - вероятностная мера, определенная на множествах из .

Определение 1. Риском на называется произвольное измеримое отображение из в (т. е. случайная величина).

Значения риска интерпретируются как доход или убыток, получаемый неким инвестором.

Обозначим совокупность всех рисков на .

Определение 2. Пусть на заданы отношение предпочтения и отношение порядка . Предпочтение называется согласованным с отношением порядка , если из того, что следует, что .

Определение 3. Мерой риска называется произвольный функционал . Говорят, что представляет отношение предпочтения на в одном из случаев:

Предпочтения на множестве рисков, вообще говоря, субъективны. В частности, для большинства людей характерна та или иная степень неприятия риска, которое можно неформально охарактеризовать как нежелание индивидуума заменять детерминированную сумму денег на случайное количество со средним значением .

Учитывая вышесказанное, к "хорошему" функционалу меры риска можно предъявить как минимум следующие требования: он должен представлять отношение предпочтения на , согласованное с отношением порядка на , кроме того должен представлять предпочтение, наилучшим образом характеризующее индивидуальное отношение к риску, в частности, обладающее свойством неприятия риска.

3. Когерентные меры риска

В работе Арцнера, Делбаена, Эбера и Хифа [2] были аксиоматически определены когерентные меры риска.

Рассмотрим вероятностное пространство . Множество элементарных исходов будем считать конечным ().

Пространство всех рисков будет изоморфно . Перенумеровав элементы некоторым произвольным образом, будем отождествлять случайные величины с векторами из . Значение случайной величины трактуется как доход.

Введем на порядок обычным образом: , если при всех . Кроме того считаем, что на задано отношение предпочтения .

Определение 1. Когерентной мерой риска называется произвольный функционал на множестве , обладающий следующими свойствами:

M1) монотонность:

C1) субаддитивность:

ПО) положительная однородность:

И1) инвариантность относительно сдвига:

Когерентные меры риска в [2] представляют отношение предпочтения как в (1). Чтобы они задавали отношение предпочтения как в (2), можно, следуя работе [3], провести изложение в терминах супермодулярных функций, которые являются эквивалентным описанием когерентных мер риска, точнее, если — когерентная мера риска, то — супермодулярная функция, связанная с соотношением для произвольного . Такие супермодулярные функционалы также будем называть когерентными мерами риска. Они будут обладать следующими свойствами:

M2) монотонность:

C2) супераддитивность:

ПО) положительная однородность:

И2) инвариантность относительно сдвига:

Свойство монотонности гарантирует, что когерентные меры риска монотонны относительно естественных порядков на множестве рисков. Субаддитивность (супераддитивность) отражает стремление к диверсификации портфеля и наличие у задаваемого предпочтения неприятия риска.

Положительная однородность также является вполне естественным требованием - разумно требовать, чтобы мера риска от инструментов с одинаковыми характеристиками в раз отличалась от значения меры риска, подсчитанной для одного такого инструмента. Свойство инвариантности относительно сдвига указывает на линейность изменения функционала вдоль вектора, задающего безрисковый актив.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.1. О разных способах изложения аксиоматики когерентных мер риска

В работе [2] когерентные меры риска определяются набором аксиом: M, C, ПО, И.

В работе [3] автор излагает аксиому монотонности в следующем виде:

УM) "усеченная монотонность":

Утверждение 1. Для произвольного функционала на выполнение аксиом M, C, ПО эквивалентно выполнению аксиом УM, C, ПО

1.  Пусть для некоторого функционала выполняются свойства УM, C, ПО.

Пусть , тогда по свойству УM: .

по свойству C.

, а так как , то , т. е. выполняется свойство M.

2.  Пусть для выполняются свойства M, C, ПО.

Пусть , из монотонности и положительной однородности вытекает, что , т. е. - выполняется свойство УM.

Из утверждения следует, что выполнение для субаддитивного и положительно однородного функционала свойства УМ является необходимым условием того, что этот функционал монотонен.

В работе [7] при определении когерентных мер риска аксиома усеченной монотонности изложена в другом виде:

УM*):

Покажем, что из выполнения свойств УM*, C, ПО не следует выполнение свойства М.

Рассмотрим меру риска , предложенную в работе [4]

Покажем, что для этого функционала выполняются свойства УM*, C, ПО:

1.  Пусть , тогда .

При этом , т. к. .

Значит, - выполняется свойство УM*.

2. Выполняется свойство C т. к.

3. Пусть .

- выполняется свойство ПО.

Покажем, что не выполняется свойство УM:

Пусть , тогда , .

, значит свойство УM не выполняется.

А т. к. УM является необходимым условием, чтобы для субаддитивной и положительно однородной меры риска выполнялось свойство монотонности, то получаем, что мера не монотонна.

Свойство УM* не может заменить свойства УM или M в аксиоматике когерентных мер риска.

4. Мера СVaR и ее модификации

В настоящее время стандартом в измерении рыночных рисков является мера VaR, что во многом определено тем, что она заложена в регулятивные нормы банковской деятельности (рекомендации Базельского комитета, технология оценки риска Risk Metrics).

Пусть случайная величина - убыток.

– функция распределения , - уровень доверия ().

Значение меры VaR - наибольший убыток, который не будет превышен с уровнем доверия .

Если значение интерпретировать как доход, то VaR вычисляется следующим образом:

Здесь . В таком случае, VaR - наибольший убыток, который не будет превышен с уровнем доверия .

Мера VaR проста в вычислении, но имеет ряд серьезных недостатков: VaR не учитывает возможность больших потерь, которые могут произойти с малой вероятностью, не различает типы "хвостов" распределения, не является когерентной мерой риска. Для нее не выполняется свойство C1 (или С2), из чего следует, в частности, что эта мера риска представляет предпочтения, не обладающие свойством неприятия риска.

Мера CVaR является когерентной альтернативой мере VaR. Она была предложена в работе [2] под названием Tail conditional expectation. К. Ачерби в работе [1] предложил свой вариант такой меры под названием Expected Shortfall.

Итак, пусть - убыток, - уровень доверия

В [1] показано, что

где - функция, названная Ачерби обобщенным квантилем. Для абсолютно непрерывных распределений .

Если случайная величина - доход, , то

Мера когерентна и более адекватно оценивает риск в случае "тяжелых хвостов", чем . Но она не учитывает структуру распределения в целом, и поэтому хороша, если необходимо защититься от больших потерь, а в задачах формирования портфеля, в которых необходимо максимизировать доходность, неэффективна.

4.1. Мера риска

В работе [7] авторами предложена модификация меры , которая, как, утверждается, является когерентной и наряду с тяжестью хвостов учитывает общую структуру распределения:

где риск - убыток, - уровень доверия, .

Данная мера риска сочетает в себе квантильную меру и меру рассеяния, которая вычисляется по распределению в целом. Поэтому можно согласиться, что лучше, чем учитывает общую структуру распределения.

Однако можно показать, что не является когерентной мерой риска.

Контрпример, доказывающий, что мера риска не когерентна

Рассмотрим две случайные величины и , значение которых будем интерпретировать как убыток.

Пусть распределена равномерно на .

Пусть , соответственно .

Ясно, что .

Так как мера по утверждению ее авторов когерентна, то должно выполняться, т. е. свойство M1. Проверим это. Согласно (6)

Таким образом, для данных и свойство M1 выполняется не при всех , а только лишь связанных с соотношением (8).

Таким образом, получаем, что мера не монотонна, а значит, не когерентна.

4.2. Мера как частный случай меры возмущенной вероятности

В работах [5], [6] была предложена мера риска, названная функционалом возмущенной вероятности

где , - неубывающая функция на .

называется возмущающей функцией.

Можно легко показать, что функционал обладает свойствами M1, ПО, И1. Если же при этом функция - вогнутая на , то соответствующий функционал субаддитивен (C1), а значит, является когерентной мерой риска.

Теперь перейдем к конкретному примеру. Пусть риск - убыток, ,

Эта функция удовлетворяет условиям (10) и вогнута, значит, соответствующая мера риска когерентна. Заметим, что при , .

Предположим, что

Аналогично проводятся рассуждения для .

Получаем, что .

Таким образом, мера является частным случаем меры . Отсюда напрашивается один из вариантов модификации - замена функции другой ломаной, которая удовлетворяет (10), вогнута и "склеивается" в точке .

Получившаяся мера риска представляет собой сумму двух некоторым образом "взвешенных" условных ожиданий (до и после порогового значения ). Это позволяет по-разному учесть информацию о распределении до и после в зависимости, например, от исходной задачи или от отношения к риску.

Вообще говоря, заменив функцию любой другой функцией , удовлетворяющей (10) и являющейся вогнутой, мы получим некоторую когерентную модификацию меры .

5. Список использованной литературы

Acerbi C., Tasche D. Expected shortfall: a natural alternative to value-at-risk. Economic notes, 31: 379-388, 2001. Artzner Ph., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9: 203-228, 1999. Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces. Advance of Finance and Stochastics. Essays in honour of Dieter Sondermann, pages 10-38, 2002. Rochafellar R. T., Uryasev S. Conditional value-at-risk for general loss distributions. Journal of Banking and Finance, 26: , 2002. Wang S. Premium calculation by transforming the layer premium density. ASTIN Bulletin, 26 – 1: 71-92, 1996. Young V. R. Discussion of christofide’s conjecture regarding wang’s premium principle. ASTIN Bulletin, 29-2: 191-195, 1999. , Куреленкова измерять риск. Рынок ценных бумаг, 12: 69-72, 2006. А, Математическое моделирование финансовых рисков: теория измерения. – Новосибирск, Наука, 2001. – 102 с.