Практическая работа №3

Практическая работа №3

Тема. « Геометрический и механический смысл производной,

приложения производной »

Цель: показать свои знания, умения и навыки по составлению уравнений касательной и нормали к графику функции в точке касания, нахождению скорости и ускорения материальной точки в данный момент времени

Геометрический смысл производной

Пусть функция у= f(х.) имеет производную в точке . Тогда существует касательная к графику этой функции в точке , уравнение имеет вид

При этом где угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется

нормалью. к кривой и имеет уравнение

.

Если (т. е. касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и имеет уравнение .

Пусть даны две пересекающие в точке кривые и ,

Причем обе функции имеют производные в точке . Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке .

Этот угол можно найти из формулы

Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. ньютоном.

Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е.

V= или v= (скорость –есть производная 1-ого порядка от пути по времени).

а = или а = (ускорение - есть производная 1-го порядка от скорости по времени или производная 2-го порядка от пути по времени).

Примеры и решения задач

1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке ( 2;).

Решение.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку (2;), имеет вид .

Находим угловой коэффициент касательной:

. Так как нормаль и касательная, проведенные в одной точке кривой, взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент нормали Подставляя полученные значения в уравнения пучка прямых, найдем искомые уравнения касательной и нормали:

Уравнение касательной: или 4x+25y-13=0;

Уравнение нормали: или 125х-20у-246=0. .Ответ: 4х+25у-13=0 ; 125х - 20у-246=0.

2. Под каким углом пересекаются кривые

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых, решив уравнение ,

Получим

Найдем Вычислим значения угловых коэффициентов в точках х.= -0,5, х = 0:

Итак, в точке х= -0,5 имеем

В точке х=0 имеем

.

Ответ:

3.Материальная точка движется по закону Найти её ускорение в конце 3-й секунды.

Решение. Находим откуда при t=3, получим

а=24(м/с²)

Ответ. 24м/с².

Задачи для самостоятельного решения.

1.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у=1/х в точке (1;1).

2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у=х²-3 при х=2.

3 Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к кривой у=х³-х²-7х+6 в точке (2; -4)?

4. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у=3х²-2х+1 в точке

(1/2; 2).

5.Вычислить острый угол, под которым парабола у = х²-4 пересекает ось абсцисс.

6. Вычислить острый угол, под которым парабола у = х²-9 пересекает ось Ох.

7. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением Вычислить её скорость в момент времени t= 4 c.

8. Вычислить скорость движения материальной точки в момент времени t= 5 c, если

закон движения этой точки имеет вид

9. В какой момент времени ускорение точки будет равно 2м/с², если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=2t²-5t+6?

10. Вычислить ускорение точки в момент времени t = 3 c, когда скорость точки движущейся прямолинейно, задано уравнением v= t²-4t+8.

11. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тел задана уравнениями:

а)

в)

В какой момент времени их скорости будут равны?

12. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе

образует угол 135º с осью Ox.

Вопросы.

1.Каков геометрический смысл производной?

2.Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

3. В чем заключается механический смысл производной 1-го порядка?

4. В чем заключается механический смысл производной 2-го порядка?

Литература

, Математика: Учеб. пособие для техникумов - М. : Высш. шк., 19с. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов.-3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006.-204с. Алгебра и начала анализа ч.1. под ред. . Математика для техникумов М.,1981г., 336с.

.