Рабочая программа дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРА­ЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

УТВЕРЖДАЮ

Декан ФПМК

___________

"1" марта 2011 г.

Рабочая программа дисциплины

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Направление подготовки

080100 Экономика

Профиль: Математические методы в экономике

Квалификация выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Томск

2011 г.

1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия являются :

– обучение студентов методам алгебры и геометрии, необходимых им при изучении остальных курсов;

– привитие студентам навыков исследования с использованием ме­тодов алгебры;

– обучение студентов методам логически строгого построения доказа­тельств;

– формирование навыков и умений, необходимых при практическом применении математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов реализации.

В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достиже­ние целей основной образовательной программы «Экономика» (профиль: математические методы в экономике); приобретенные знания, умения и на­выки позволяют подготовить выпускника к научно-исследовательской дея­тельности в области обработки экономической информации и построения теоретических и эконометрических моделей исследуемых процессов и явле­ний, к расчетно-экономической и производственно-технологической дея­тельности в области создания современных систем обработки экономиче­ской и социально-экономической информации, организацинно-управленче­ской и педагогической деятельности.

2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» находится в цикле Б.2. Матема­тический цикл, изучается в I и II семестрах.

Для изучения курса необходимо знание школьного курса математики.

Знания, полученные при изучении данного курса, используются при изучении всех дисциплин, для которых необходим аппарат матричного ана­лиза, теории линейных пространств и теории линейных операторов. Сюда можно отнести, например, курсы «Эконометрика», «Методы оптимальных решений», «Теория игр» и многие другие.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате ос­воения дис­циплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать общекуль­турные компетенции:

– способность владеть культурой мышления, умение аргументи­ровано и ясно строить устную и писменную речь (ОК-1);

– способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);

– способность владеть основными методами, стпособами и сред­ствами получения, хранения переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способностью ра­ботать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13).

В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформи­ровать профессио­нальные компетенции:

– способность собрать и проанализировать исходные данные, необ­ходимые для расчета экономических и социально-экономических показате­лей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

– способность на основе описания экономических процессов и яв­лений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, ана­лизировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);

– способность использовать для решения аналитических и исследо­вательских задач современные технические средства и информационные тех­нологии (ПК-10);

– способность принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

– теорию матриц, определителей и систем линейных уравнений;

– векторную алгебру;

– аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве;

– теорию линейных, точечно-векторных и унитарных пространств;

– теорию линейных операторов на конечномерных пространствах;

– теорию билинейных и квадратичных форм на конечномерных пространствах.

Уметь:

– решать задачи, связанные с вычислением матриц, определителей и решением систем линейных уравнений;

– решать задачи аналитической геометрии на плоскости и в простран­стве;

– решать задачи, связанные с исследованием линейных операторов и квадратич­ных форм.

Владеть:

– математическим аппаратом лигнйной алгебры и аналитической геометрии;

– навыками использования аппарата линейной алгебры и аналитической геометрии при реше­нии конкрет­ных задач.

4. Структура и содержание дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия

Общая трудоемкость дисциплины составляет 11.3 зачетных единиц, 406 часов.

Содержание курса

1. Матрицы и определители

Матрицы и действия над ними. Блочные матрицы. Определение опре­делителя. Оп­ределители II и III порядков. Основные свойства определителей. Алгебраические допол­нения, миноры. Связь миноров с алгебраическими до­полнениями. Теорема Лапласа. Вычисление определителей. Обратная мат­рица и ее вычисление. Линейная зависимость

вектор-столбцов. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Способы вы­числения ранга матрицы.

2. Системы линейных уравнений

Основные понятия. Теорема Кронекера-Копелли. Формулы Крамера. Общая тео­рия. Число решений линейной системы. Метод Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Об­щее решение неоднородной системы.

3. Векторная алгебра

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами. Базис и координаты вектора. Линейная зависимость векторов. Признаки линейной зависимости. Понятие век­торного пространства. Размерность и базис вектор­ного пространства. Координаты век­тора. Условие коллинеарности векторов. Аффинные и декартовы координаты точки.

Ортогональная проекция вектора. Скалярное произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение. Двойное векторное произведение. Простейшие задачи аналитической геометрии. Преобразова­ние базиса и системы координат.

4. Уравнения линий и поверхностей

Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхно­сти Парамет­рические уравнения линий и поверхностей. Сфера. Конусы. Ци­линдры.

5. Линейные образы на плоскости и в пространстве

Уравнения прямых и плоскостей. Поверхности и линии I-го порядка. Неполные уравнения плоскости и прямой на плоскости. Уравнения плоско­сти и прямой в отрезках. Нормальные уравнения плоскости и прямой. Приве­дение общих уравнений к нормаль­ному виду. Расстояние от точки до прямой (плоскости).Условия ортогональности и парал­лельности прямых и плоско­стей. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Угол между прямыми в пространстве. Угол ме­жду прямой и плоскостью. Параметрические уравнения плоскости. Пучок и связка пря­мых. Пучок плоскостей. Связка плоскостей.

6. Линии II-го порядка

Каноническое уравнение эллипса. Гипербола. Парабола. Уравнения линий второго порядка в полярных координатах. Касательные к линиям II-го порядка. Приведение урав­нения линии II-го порядка к каноническому виду. Инварианты линии II-го порядка.

7. Поверхности II-го порядка

Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конусы II-го порядка.

Поверхности вращения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Касательные к поверхностям II-го порядка. Касательная плоскость.

8. Алгебраические структуры

Множества и подмножества. Операции над множествами. Бинарные отношения. Отношения порядка и эквивалентности. Отображения. Компози­ция отображений. Алгеб­раические операции. Обратная операция. Группа. Кольцо. Поле. Поле комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Кольцо многочленов. Делимость многочленов. Основная теорема алгебры и следствия из нее

9. Линейные пространства

Линейные пространства. Определение. Базис и координаты. Размер­ность. Изо­морфизм конечномерных линейных пространств. Преобразование базисов и координат и векторов. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка. Пересечение и сумма линейных подпространств. Прямая сумма. Размерность суммы и пересечения ли­нейных подпространств. Линей­ные многообразия.

10.Элементы аналитической геометрии в n – мерном простран­стве

Точечно-векторное аффинное пространство. Система координат и ее преобразова­ние. К-мерные плоскости. Прямая и отрезок прямой. Гиперпло­скость. Выпуклые множе­ства. Полупространства. Выпуклые оболочки. Сим­плексы.

11.Евклидовы и унитарные пространства

Евклидовы пространства. Определение. Неравенства Шварца. Длина вектора. Рас­стояние. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Ортого­нальное дополнение. Проектирование вектора на под­пространство. Изоморфизм евклидо­вых пространств. Унитарные простран­ства.

12.Линейные операторы

Линейные операторы. Определение. Сложение и умножение на число. Произведе­ние операторов. Ранг и дефект линейного оператора. Невырожден­ные операторы. Обрат­ный оператор. Матрица линейного оператора. Преоб­разование матрицы линейного опера­тора при переходе к новому базису.

13.Канонические формы матрицы линейного оператора

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Определение и основные свойства. Характеристический многочлен опера­тора. Нахождение собствен­ных значений и векторов. Операторы простой структуры. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор. Операторный многочлен. Теорема Кэли-Гамильтона. Тре­угольная форма матрицы оператора. Нильпотентные операторы. Канонический базис нильпо­тентного оператора. Приведение матрицы оператора к канонической жорда­новой форме.

14.Линейные, билинейные и квадратичные формы

Линейные и билинейные формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Метод Якоби. Закон инерции квадратич­ных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Матрица Грама. Критерий Сильве­стра.

15.Линейные операторы в унитарном пространстве

Линейные операторы в унитарном пространстве. Сопряженные опера­торы. Нор­мальные операторы. Унитарный оператор. Самосопряженный опе­ратор. Положительно определенные операторы. Полярное разложение опера­тора. Линейные операторы в веще­ственном евклидовом пространстве. Ва­риационное описание собственных значений само­сопряженного оператора. Норма оператора.

16.Билинейные и квадратичные формы на унитарном простран­стве. Гипер­поверхности второго порядка

Билинейные и квадратичные формы на евклидовом пространстве. Связь между билинейными формами и линейными операторами. Приведение квадратичной формы в ортонормированном базисе. Одновременное приведе­ние двух квадратичных форм

Темы практических занятий

По курсу предусмотрены следующие практические занятия:

1.Операции над матрицами - 2 час.

2.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка - 2 час.

3.Вычисление определителей - 2 час.

4.Вычисление определителей - 2 час.

5.Вычисление определителей - 2 час.

6.Теорема Лапласа - 2 час.

7.Обратная матрица - 2 час.

8.Ранг матрицы - 2 час.

9.Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера - 2 час.

10.Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса - 2 час.

11.Решение однородных систем линейных уравнений - 2 час.

12.Решение однородных систем линейных уравнений. Общее решение неоднород­ной системы.- 2 час.

13.Операции над векторами - 2 час.

14.Линейная зависимость векторов. Базис и координаты вектора - 2 час.

15.Скалярное произведение. Ортогональное проектирование вектора - 2 час.

16.Векторное произведение -2 час.

17.Смешанное и двойное векторное произведение - 2 час.

18.Решение простейших задач аналитической геометрии - 2 час.

19.Прямая на плоскости - 2 час.

20.Прямая на плоскости - 2 час.

21.Плоскость - 2 час.

22.Плоскость - 2 час.

23.Прямая в пространстве – 2 час.

24.Прямая и плоскость в пространстве - 2 час.

25.Прямая и плоскость в пространстве - 2 час.

26.Эллипс. Окружность - 2 час.

27.Гипербола - 2 час.

28.Парабола - 2 час.

29.Кривые 2-го порядка в полярных координатах - 2 час.

30.Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду - 2 час.

31.Сфера - 2 час.

32.Конус и цилиндр - 2 час.

33.Алгебраические структуры - 2 час.

34.Линейные пространства. Базис и координаты вектора - 2 час.

35.Линейные подпространства - 2 час.

36.Прямая и плоскость - 2 час.

37.Евклидовы пространства - 2 час.

38.Евклидовы пространства - 2 час.

39.Матрица линейного оператора - 2 час.

40.Образ и ядро линейного оператора - 2 час.

41.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора - 2 час.

42.Инвариантные подпространства - 2 час.

43.Каноническая форма Жордана - 2 час.

44.Метод Лагранжа. Метод Якоби – 2 час.

45.Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах - 2 час.

46.Самосопряжекнные операторы – 2 час.

47.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонор­мированном базисе - 2 час.

48.Гиперповерхности II-го порядка - 2 час.

№ п/п	Раздел Дисциплины	Се­местр	Виды учебной ра­боты, включая са­мостоятель­ную ра­боту студентов и трудоемкость (в ча­сах)	Формы текущего контроля успевае­мости Форма промежу­точ­ной аттеста­ции (по семест­рам)
лек-ции	прак-ти- чес- кие заня-тия	само-стоя-тель­ная работа
1	Матрицы и оп­ре­делители	1	14	16	14	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
2	Системы линей­ных уравнений	1	6	8	8	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
3	Векторная ал­гебра	1	12	12	8	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
4	Уравнения ли­ний и поверх­ностей	1	4	-	-	-
5	Линейные об­разы на плос­кости и в про­странстве	1	9	14	10	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
6	Линии второго порядка	1	8	10	6	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
7	Поверхности вто­рого по­рядка	1	6	4	4	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
8	Алгебраиче­ские структуры	1	7	2	-	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
						Зачет, экзамен
9	Линейные про­странства	2	7	2	6	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
10	Элементы ана­ли­тической геомет­рии в n-мерном про­странстве	2	5	2	2	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот
11	Евклидовы и уни­тарные про­стран­ства	2	6	4	8	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
12	Линейные опе­ра­торы	2	5	4	6	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот,
13	Канонические формы мат­рицы линей­ного опера­тора	2	15	6	10	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
14	Линеные, били­нейные и квад­ра­тичные формы	2	8	2	4	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот,
15	Линейные опе­ра­торы в уни­тарном про­странстве	2	8	4	8	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот,
16	Билинейные и квадратичные фо­римы на унитар­ных пространст­вах. Гиперповерх­ности второго по­рядка	2	6	4	6	Опрос на занятиях, проверка дом. ра­бот, контрольная ра­бота
						Зачет, экзамен
	ИТОГО		126	96	100	84

5. Образовательные технологии

В процессе обучения для достижения планируемых результатов ос­воения дисцип­лины используются следующие методы образовательных тех­нологий:

– работа в команде;

– опережающая самостоятельная работа;

– междисциплинарное обучение;

– проблемное обучение;

– обучение на основе опыта.

Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы органи­зации учеб­ного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная ра­бота студентов, индиви­дуальные и групповые консультации.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы сту­дентов. Оце­ночные средства для текущего контроля успеваемости, про­межуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой об­разовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая са­мостоятельная работа направлена на углубление и за­крепление знаний студентов, разви­тие практических умений. Текущая само­стоятельная работа включает в себя : работу с лекционным материалом, опе­режающую самостоятельную работу, подготовку к зачету и экзамену.

Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дис­циплины осуще­ствляется посредством:

– опроса студентов при проведении практических занятий;

– проведения контрольных работ;

– выполнения студентами самостоятельных домашних работ по вари­антам;

– проверки выполнения домашних заданий.

При изучении данной дисциплины студентам предлагается следую­щий перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы.

Перечень контрольных вопросов

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ­НИЙ

1.Понятие матрицы. Равенство матриц. Транспонирование матриц.

2.Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Свойства.

3.Умножение матрицы на матрицу. Свойства

4.Понятие определителя матрицы n-го порядка. Член определителя. Оп­ределение знака члена определителя путем подсчета инверсий.

5.Основные свойства определителя.

6.Алгебраические дополнения. Формулы разложения определителя

по столбцу и строке.

7.Понятие миноров и дополнительных миноров матрицы. Связь миноров с алгебраи­ческими дополнениями. Формулы разложения определителя по столбцу и строке.

8.Теорема Лапласа.

9.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие

существования. Формулы вычисления. Основные свойства.

10.Понятие линейной зависимости. Необходимое и достаточное условие.

11.Понятие ранга матрицы. Основные свойства.

12.Теорема о базисном миноре. Второе определение ранга матрицы.

13.Вычисление ранга матрицы сведением ее к канонической.

14.Понятие системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные

системы. Матричная запись. Совместность и определенность.

15.Условие совместности системы (Теорема Кронекера-Копелли).

16.Квадратные системы. Формулы Крамера.

17.Теорема о числе решений. Базисная система уравнений. Главные и свободные не­известные.

18.Метод Гаусса.

19.Однородные системы. Условие нетривиальной совместности.

20.Фундаментальная система решений. Связь числа фундаментальных

решений с рангом системы.

21.Структура общего решения однородной и неоднородной систем.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

1.Определение вектора. Длина вектора. Равенство векторов.

2.Сложение векторов. Свойства.

3.Умножение вектора на число. Свойства.

4.Понятие линейной зависимости векторов. Признаки линейной зависи­мости.

5.Понятие векторного пространства (V1,V2,V3).Размерность.

6.Базис и координаты вектора (V1,V2,V3).Связь между операциями над векторами и их координатами.

7.Условие коллинеарности векторов.

8.Аффинные и декартовы координаты точек на прямой, плоскости и в пространстве.

9.Ортогональная проекция вектора. Свойства. Связь с координатами вектора.

10.Скалярное произведение и его свойства.

11.Векторное произведение и его свойства.

12.Смешанное произведение и его свойства.

13.Формулы преобразования базиса на плоскости и в пространстве.

14.Формулы преобразования системы координат на плоскости и в про­странстве.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Понятия об уравнении линии на плоскости.

2. Понятия об уравнении поверхности и линии в пространстве.

3. Алгебраические линии и поверхности.

4. Параметрические уравнения линий и поверхностей.

5. Типы уравнений прямой на плоскости.

6. Типы уравнений плоскости.

7. Типы уравнений прямой в пространстве.

8. Уравнения линий второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

9. Виды поверхностей второго порядка.

10. Метод приведения уравнения линии второго порядка к канониче­скому виду.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

1.Множества. Отображения. Алгебраические операции.

2.Понятие линейного пространства. Линейная зависимость.

Размерность. Базис и координаты вектора. Линейные

подпространства. Пересечение и сумма. Линейная оболочка.

3.Точечно-векторное аффинное пространство. Система координат.

Прямая и плоскость в Vn.

4.Понятие евклидова пространства. Скалярное произведение. Длина

вектора. Ортогональность. Ортонормированный базис.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

1.Понятие линейного оператора. Действия над линейными операторами.

Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы оператора при изменении базиса.

2.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Характеристическое уравнение и характеристический многочлен.

Операторы простой структуры.

3.Нормальные операторы. Самосопряженный оператор.

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

1.Понятие билинейной и квадратичной формы. Матрица квадратичной

формы.

2.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

3.Метод Якоби.

4.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонорми­рованном ба­зисе.

Итоговая аттестация предусматривает сдачу зачета по темам практиче­ских занятий и экзамена по теоретическому курсу. Для итоговой аттестации подготовлены билеты – 30 шт. Билеты содержат два теоретических вопроса и задачу.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисцип­лины

а) основная литература:

1. Лившиц алгебра и аналитическая геометрия, ч. I. – Томск: Изд. НТЛ, 2008.

2. Лившиц алгебра и аналитическая геометрия, ч. II. – Томск: Изд. НТЛ, 2008.

3., Позняк геометрия.-М.: Наука,1971.

4., Позняк алгебра. - М.: Физматлит, 2004.

5.Рублев линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука,1972.

6.Всеводин алгебра. - М.: Наука,1974.

7., Розендорн алгебра и многомерная гео­метрия. - М.: Наука,1974.

8.Проскуряков задач по линейной алгебре. - М.: Наука,1970

9.Цубербиллер и упражнения по аналитической геомет­рии. - М.: Наука,1970.

10.Клетеник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука,1975.

б) дополнительная литература:

1.Александров по аналитической геометрии. М.: Наука,1970.

2.Скорняков алгебры. М.: Наука,1986.

3. Теория матриц. М.: Наука,1978.

4. Матричный анализ. М.: Наука,1989.

5.Икрамов по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.

6., Сухотина . Учебно-методическое посо­бие. ТГУ. Томск, 2002.

7., Сухотина линейных уравнений. Учебно-методиче­ское пособие. ТГУ. Томск,2002.

8., Сухотина пространства. Учебно-мето­дическое по­собие. ТГУ. Томск, 2004.

9., Сухотина операторы. Квадратичные формы. Учебно-методическое пособие. ТГУ. Томск,2005.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы не предусмотрены.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

В Научной библиотеке ТГУ имеется достаточное колическтво необ­ходимой учеб­ной литературы по дисциплине.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки прикладная математика и информатика.

Автор : доктор техн. наук, профессор кафедры ПМ ФПМК

Рецензент : доктор техн. наук, зав. кафедрой ИО ФПМК

Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК ТГУ

от «24»февраля 2011 года, протокол