Нильпотентный оператор (матрица)

Нильпотентный оператор (матрица)

Def. Линейный оператор пространства называется нильпотентным, если его минимальный многочлен имеет вид, - показатель нильпотентности.

Таким образом из определения следует, что если - показатель нильпотентности, то , но . Однако для некоторых окажется, что при .

Свойства нильпотентных операторов.

1.  Все собственные значения нильпотентного оператора . Действительно, если - собственный вектор оператора , то .

Поэтому

2.  Пусть - нильпотентный оператор и для вектора и некоторого выполнены условия ,

тогда векторы линейно независимы.

Доказательство от противного. Пусть эти векторы линейно зависимы и - первый не равный нулю коэффициент в их нулевой комбинации:

, (*)

так как то . Подействуем этим оператором на равенство (*), получаем , отсюда имеем - противоречие.#

Следствия. 1.Любой набор векторов заканчивающийся ненулевым вектором линейно независим.

2. Показатель нильпотентности не превосходит размерность пространства .

Циклическое подпространство

Def. Подпространством циклическим относительно нильпотентного оператораназывается линейная оболочка векторов , если . Говорят, что циклическое подпространство порождается вектором .

Векторы линейно независимы и образуют базис в циклическом подпространстве, называемым циклическим базисом.

Лемма (О подпространствах циклического подпространства). Пусть Ц –циклическое подпространство размерности , порождаемое вектором . Тогда при подпространство циклическое, оно порождается вектором и имеет размерность . Если же , то подпространство - нулевое.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор, тогда так как , образ вектора имеет вид . Векторы образуют базис в , поэтому - циклическое подпространство, порождаемое вектором и . Если , то применяя это последовательно раз получаем требуемое утверждение.#

Следствие 1. Циклическое подпространство инвариантно относительно оператора .

Действительно: . #

Следствие 2. , здесь - нуль подпространство, , , …, , - циклические подпространства, инвариантные относительно оператора . Доказывается применением k раз Следствия 1.

Пусть - корневое подпространство, оно инвариантно относительно оператора .

По определению корневого подпространства имеем, что оператор - нильпотентный оператор степени

Лемма (О показателе нильпотентности). Показатель нильпотентности оператора равен кратности корня в минимальном многочлене.

Доказательство. Предположим противное: пусть .

Рассмотрим многочлен и подействуем оператором на произвольный вектор пространства , при этом представим вектор разложенным в сумму векторов, принадлежащих корневым подпространствам где . Тогда получаем

, действительно при переставим на последнее место сомножитель обращающий в нуль вектор :

, так как ;

А при имеем , так как теперь . Таким образом получили операторное равенство , но , что есть противоречие. #

Следствие. Показатель нильпотентности оператора равен максимальной высоте корневого вектора .

Дополнение.

Теорема. (О нильпотентном операторе) Если оператор нильпотентный, то найдется базис, в котором матрица оператора будет иметь блочно-диагональный вид , где имеет вид . Такой вид оператора единственен с точность до перестановки блоков (клеток одного размера всегда постоянное количество). Такая форма оператора называется нормальной.

Доказательство.

1) единственность. Пусть - нильпотентный оператор, рассмотрим последовательность операторов . Обозначим , в частности , , имеем цепочку неравенств . Обозначим через количество клеток размера . Свяжем числа и . Рассмотрим разность , на отдельно взятой клетке эта разность равна , т. к. ранг клетки размера равен . Поэтому каждая клетка вносит в эту разность по единичке, т. е. она равна количеству клеток, следовательно .

Рассмотрим разность , для клеток размера имеем , следовательно разность равна нулю, для клеток размера имеем , следовательно разность равна единице, для клеток размера имеем , следовательно разность равна единице. Получаем, что разность равна количеству клеток размера и больше, т. е. . Аналогично получаем, что и т. д. Следовательно , т. к. от базиса не зависят, то и от базиса не зависят, следовательно количество клеток каждого размера будет все время одно и то же. Поэтому нормальная форма оператора единственна с точность до перестановки клеток, из которых она состоит.

2) существование. Проведем индукцию по размерности пространства.

, тогда, т. к. нильпотентен, то - нулевой оператор и он в любом базисе имеет нужный вид.

Пусть утверждение теоремы верно для , докажем его для . Рассмотрим образ этого оператора - инвариантное подпространство и ядро .

Рассмотрим ограничение на - . , но если , тогда и оператор обратим, следовательно и , т. е. оператор не нильпотентен, что противоречит условию. Значит . Т. к. , то , следовательно, если , то и , т. е. оператор также будет нильпотентным (причем ). Следовательно по предположению индукции оператор имеет базис, в котором он представим в нужно нам виде , где - количество клеток.

Этому разбиению на блоки будет соответствовать базис . Все эти вектора вместе образуют базис в , обозначим его за . Дополним его до базиса всего . Если , то .

Под действием оператора вектор переходит в , , аналогично и т. д. Следовательно вектора , более того , т. к. все пространство разбивается в прямую сумму подпространств .

Т. к. , то - базис можно дополнить до базиса .

Дополним его векторами , обозначим эти вектора через .

Наборы и дополним до базиса , для этого нам нужно еще векторов.

Рассмотрим группу векторов , под действием оператора в вектора ничего не переходит, однако во всем пространстве есть вектора в них переходящие, т. к. . Пусть это вектора , обозначим их через .

Докажем, что объединение векторов , и образует базис в .

Линейная независимость. Рассмотрим произвольную, равную нулю их линейную комбинацию:

.

Применим к обеим частям равенства оператор , тогда получим , т. е.

.

Но вектора образуют базис в (это и есть группа ), следовательно, они линейно независимы и все присутствующие здесь коэффициенты равны нулю, т. е. . От первоначальной суммы осталось лишь , а эти вектора образуют базис в , следовательно они линейно независимы и все остальные коэффициенты равны нулю, следовательно вектора групп линейно независимы.

Полнота очевидна, т. к. всего векторов и размерность пространства равна , значит это действительно базис.

Посмотрим, как выглядит матрица оператора в этом базисе, перепишем этот базис в следующем порядке: . , а в каждой выделенной группе вектора переходят циклически: , т. е. каждой группе отвечает клетка размера на один больше, т. к. мы добавили еще по одному вектору. В этом базисе матрица оператора будет иметь вид:

,

векторам соответствуют одномерные нулевые клетки.

Теорема доказана. #