УДК 532.51

,

Институт теплофизики им. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ РЕЖИМОВ ПЛЕНКИ ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА, СТЕКАЮЩЕГО ПО ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В работе рассматриваются волны на поверхности вязкой диэлектрической пленки жидкости, стекающей по внутренней поверхности одной из обкладок плоского конденсатора. К обкладкам конденсатора приложено переменное напряжение. В данной постановке обкладки конденсатора полагаются бесконечными.

В этом случае кроме силы тяжести на пленку действует сила со стороны переменного электрического поля. Толщина пленки предполагалась малой, поэтому в случае длинных волн эти силы пренебрежимо малы и влияние поля сводится к добавочному давлению на поверхность пленки. В длинноволновом приближении получено модельное уравнение на отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня. Приведены некоторые численные решения полученного уравнения.

Постановка задачи

Известно, что существенное отличие течения жидкого диэлектрика от обычной жидкости связано с наличием силы, возникающей в неоднородном электрическом поле. Эта ситуация имеет место в случае, когда свободная граница возмущена. Данная сила может оказывать существенное влияние на устойчивость течения.

Рассматривается течение тонкой пленки вязкой диэлектрической жидкости, стекающей по внутренней поверхности одной из обкладок плоского конденсатора, поставленного вертикально в поле тяжести. Плоскости конденсатора полагаются бесконечными, и на обкладки подается переменная во времени разность потенциалов , где - некоторая произвольная достаточно гладкая функция времени. В длинноволновом приближении в случае малых расходов данную задачу удается свести к решению одного уравнения на отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня.

Система уравнений Навье-Стокса, описывающая данное течение, имеет вид:

, (1)

Здесь скорость;

давление;

плотность жидкости;

- пондеромоторная сила, приходящаяся на единицу объёма жидкости, обусловленная неоднородностью электрического поля.

Как известно [1]

Здесь электрическая постоянная,

диэлектрическая проницаемость жидкости,

напряженность электрического поля в жидкости.

Предполагая, что жидкость изотермическая и однородная, и вводя обозначение:

будем иметь:

Введем систему координат. Ось направлена вниз по течению и совпадает с направлением силы тяжести, ось перпендикулярна обкладкам, ось перпендикулярна плоскости невозмущенного течения пленки. Границе поверхности, по которой течет пленка, отвечает координата , границе невозмущенной пленки - .

Граничные условия на поверхности обкладки, по которой течет жидкая пленка, - условия прилипания; на свободной поверхности пленки выполняются кинематическое условие

, (2)

и динамические условия:

(3)

Здесь толщина пленки при безволновом течении,

отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня,

u, v, w - компоненты скорости вдоль осей x, y и z соответственно;

компоненты нормали к поверхности пленки средняя кривизна (поверхность пленки предполагаем слабо искривленной);

коэффициент поверхностного натяжения жидкости;

тензор напряжений,

тензор вязких напряжений (в формуле (3) индекс (1) соответствует жидкости, (2) – газу над пленкой);

индукция электрического поля.

Система уравнений (1) с граничными условиями (2)–(3) допускает решение со свободной границей постоянной толщины:

Здесь расстояние между обкладками конденсатора,

давление газа над пленкой,

диэлектрическая проницаемость газа,

а величинаотносится к газу и аналогична величине .

Однако такое течение неустойчиво и становится волновым.

Целью данной работы является получение упрощенной модели, позволяющей качественно описать нелинейные волновые режимы в стекающей пленке диэлектрической жидкости.

Считая отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня малым, найдем в квазистационарном приближении распределение потенциала между пластинами конденсатора. Обозначая через потенциал в жидкой пленке, потенциал в газе, в первом приближении нетрудно получить:

Здесь безразмерное расстояние между обкладками конденсатора.

Проводя соответствующим образом обезразмеривание, пренебрегая членами высоких порядков малости и представляя возмущенное течение в виде: приходим к следующей системе на возмущённые величины (штрихи опускаем):

, (4)

,

.

На твердой стенке выполняются обычные условия прилипания:

, . (5)

Граничные условия со свободной поверхности переносим на невозмущенный уровень:

(6)

, (7)

Здесь - число Рейнольдса,

- число Фруда,

- число Вебера,

- коэффициент поверхностного натяжения,

,

- характерный продольный размер возмущения,

- профиль скорости в невозмущенном течении.

Поверхностное натяжение предполагается достаточно большим, так что 1.

Для оценки порядка величины слагаемых, пропорциональных нужно знать явное выражение , которое зависит от типа жидкости. Оценки показывают, что для тонких пленок, как неполярных жидкостей, так и полярных, объемная электрическая сила пренебрежимо мала (поэтому соответствующие слагаемые отсутствуют в системе (4)). То же можно сказать и для слагаемых, пропорциональных в граничном условии (6) если жидкость состоит из неполярных молекул. Если же жидкость полярная, то эти слагаемые по величине одного порядка с капиллярным давлением и их необходимо учитывать. В силу последнего замечания далее под жидкостью подразумевается жидкость, состоящая из полярных молекул (вода, спирты и т. д.).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для применения метода многих масштабов введем набор быстрых и медленных времен , …Решение системы (4) с граничными условиями ищем в виде

, .

В результате все возмущенные величины удается выразить через отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня . Подставляя эти выражения в кинематическое условие (7), получим уравнения, описывающее эволюцию возмущений свободной поверхности.

(8)

Уравнение (8) записано в системе отсчета, движущейся с удвоенной скоростью безволновой поверхности пленки относительно стенки. Здесь D - оператор Лапласа.

После соответствующих преобразований оно принимает следующий вид:

. (9)

Здесь константа, определяемая физическими и геометрическими параметрами задачи, H - преобразованное отклонение толщины пленки от невозмущенного уровня.

В случае, если функция синусоидальная, для двумерных возмущений уравнение (9) совпадает с уравнением, полученным в [2, 3] при рассмотрении других типов пленочных течений. Если разность потенциалов между обкладками конденсатора равна нулю, то и уравнение (9) переходит в уравнение, описывающее эволюцию пространственных возмущений в обычной вязкой пленке жидкости, стекающей по вертикальной стенке. Для двумерных возмущений оно широко известно как уравнение Курамото-Сивашинского (К-С). Его исследованию посвящено довольно много статей, из которых следует, что оно имеет чрезвычайно богатую картину решений. Так, например, в [4] показано, что при значении волнового числа (нейтральное волновое число) от тривиального решения ответвляется семейство периодических решений уравнения К-С, которое продолжается до волнового числа a=0,4979. В [5] продемонстрировано, как происходит последовательный каскад бифуркаций, в результате которого рождаются все более сложные решения. Учитывая эту сложность, здесь мы ограничились рассмотрением эволюции только тех решений уравнения (9), для которых начальные возмущения в случае притягивались к стационарно бегущим решениям первого семейства

Метод решения

Для нахождения нелинейных пространственных периодических решений уравнение (9) решалось численно. Решение представлялось в виде двумерного пространственного ряда Фурье, гармоники которого являются функциями времени:

Подставляя этот ряд в (9), получаем бесконечную систему нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений на гармоники . Обрывая ряд, т. е. полагая, что все гармоники, начиная с некоторых значений номеров и M, равны нулю, приходим к ее конечномерному приближению. Система решалась численно методом Рунге – Кутты пятого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования и контролируемой погрешностью.

Как показали расчеты, волновая картина для уравнения (9) становится более разнообразной даже в той области значений параметров, где структура решений чистого уравнения К-С достаточно проста. Это происходит потому, что из-за влияния переменного электрического поля амплитуды гармоник осциллируют со временем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта Президента РФ по поддержке научных школ НШ-4366.2008.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау сплошных сред / , .- М.:Наука, 1982

2. Саматов на пленке вязкой жидкости, стекающей по вибрирующей вертикальной плоскости / , .- ПМТФ. 1999. Т. 40, № 4. С. 90-98.

3. , Цвелодуб режимы на пленке вязкой ферромагнитной жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру / , .- ПМТФ. 2002. Т. 43, № 3. С. 76-84.

4. Непомнящий волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости / . // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. № 3. С. 28-34.

5. Tsvelodub O. Y., Trifonov Y. Y. On steady-state traveling solutions of an evolution equation describing the behaviour of disturbances in active dissipative media // Phisica D. 1989. V. 36, № 3. P. 255-269.