МБОУ Коелгинская СОШ

им. Дважды Героя Советского Хохрякова

Интегрированный урок по теме:

«Применение производной к исследованию функций. Схема исследования функции».

практическое применение знаний и умений с использованием компьютерных технологий

Алгебра + информатика

Учитель математики

Учитель информатики

с. Коелга.

«Применение производной к исследованию функций. Схема исследования функции».

практическое применение знаний и умений

Цель:

Сформировать навыки исследования функции с помощью производной по заданному алгоритму и уметь вносить данные в программу EXCEL для постороения графика. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать графическую культуру, культуру устной и письменной речи.

План занятия:

Организационный момент ; Актуализация опорных знаний ; Объяснение нового материала ; Закрепление Итог занятия ; Домашнее задание

Оборудование

    мультимедиа презентация раздаточный материал мультимедиа проектор.

Ход занятия

1. Орг. момент.

Сегодня нам предстоит научиться проводить полное исследование функции и строить ее график. Мы с вами впервые попробуем элемент урока алгебры перенести на урок информатики и посмотреть свои результаты на машинах.

2. Актуализация опорных знаний.

Устная работа по графику выявить точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания и т. д.

3.  Закрепление изученного материала.

Пусть дана функция: .

Решение:

1.  D(f)=R, т. к. f - многочлен.

2.  Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

3.  Функция непериодическая.

4.  Находим точки пересечения графика с осями координат:

5.  а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

6.  б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

7.  Найдем производную функции:

8.  Найдем критические точки: , т. е. 6х-3х2=0, х=0 или х=2.

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.

 

I. (=-6-3=-9<0

II. (1) 6*1-3*12=3>0

III. (3) 6*3-3*32=-9<0

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х=0 - точка минимума, т. к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим уmin=0.

х=2 – точка максимума, т. к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим уmax=4.

9.Составляем таблицу для внесения всех данных

x

0

(0;2)

2

-

0

+

2

-

f(x)

0

4

min

max

10. Строим график функции.

4.  Домашнее задание. Проблема - задача.

Внимание!!!

Подпись:

Рекомендую прежде чем начать работу ответить на вопросы стратегии, ответы будут являться планом.

У кого возникнут проблемы с задачей предлагаю другую работу.

Выучить схему исследования функции.

Исследовать и построить график функции:

а) y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 10;

5. Самостоятельная работа.

По одному человеку садятся за компьютеры, остальные работают в тетрадях. После окончания решения проверяют электронный вариант и бумажный, ставят самооценку.

Вариант I.

Пример 1. Исследуйте функцию f(x)= x3-3х2 и постройте ее график

Решение:

Область определения данной функции - множество действительных чисел: D (f) =R.

Данная функция непрерывна на множестве действительных чисел как многочлен.

Найдем критические точки функции: f '(x)=3х2-6х = 3х (х-2),

f '(x)=0, 3х (х-2)=0, х=0 или х=2.

Составляем таблицу

х

(-; 0)

0

(0; 2)

2

(2; )

f ''(х)

+

0

-

0

+

f (х)

возрастает

0

убывает

-4

возрастает

max

min

Критические точки разбивают координатную прямую на три промежутка: (-; 0), (0; 2), (2; ).

Рис.5 (знаки f ')

На рисунке 5 указаны знаки производной f '(x) на каждом из этих промежутков.

Найдем нули функции: x3-3х2 = 0, x2 (х-3) = 0, x = 0 или x = 3.

Найдем координаты еще одной точки графика: если x =-1, то f (-1) = (-1)3 - 3 * (-1)2 = -4.

6) Строим график данной функции

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x4 - 4x3 - 9 = 0.

Решение:

р (x) = x4 - 4x3 - 9

D(р) = (-; ).

р ' (x) = 4 x 3- 12x 2 = 4 x 2 (х-3) = 0, x1,2 = 0; x3 = 3

Рис.6 (знаки р ').

4) Из рисунка 6 видно, что: р(x) убывает на интервале (- ; 3];

р (x) возрастает на [3; +).

5) x = 3 - min

а) р min= р (3) = 34 - 4 * 33 - 9 = -36 < 0

б) в точке x = 0 график имеет точки перегиба (то есть меняет выпуклость), f (0) = -9.

6) Строим эскиз графика

График пересекает ось 0Х в двух точках x1 и x2, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня.

Вариант II.

Пример 1. Исследуйте функцию y = 1/3x3- 3x2 + 8x и постройте ее график.

Решение:

Область определения данной функции - множество действительных чисел: D (y) =R.

Данная функция непрерывна на множестве действительных чисел.

Найдем критические точки функции: y ' = x2 - 6x + 8.

y ' = 0, x2 - 6x + 8 = 0, x = 2 или x = 4.

4) Составляем таблицу

х

(-; 2)

2

(2; 4)

4

(4; )

y ''

+

0

-

0

+

y

возрастает

20/3

убывает

16/3

возрастает

max

min

ymax = y(2) = 20/3, y min= y(4) = 16/3.

5) Найдем нули функции: 1/3x3- 3x2 + 8x =0, x (1/3x2- 3x + 8) = 0, x = 0 или 1/3x2- 3x + 8 = 0.

x2- 9x + 24 = 0, D = 92- 4 * 24 < 0, квадратное уравнение корней не имеет. Данная функция имеет только один нуль: x = 0. При x = 0 y = 0 - график функции проходит через начало координат.

6) Построим график функции

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x2- x3/3- 1= 0

Решение:

p (x) = - x3/3+ x2- 1.

D (p) = IR.

Исследуем функцию: p '(x) = - x2+ 2x = - x (x - 2) =0, x = 0 или x =2.

3) Найдем критические точки функции

Рис.7 (знаки p')

x = 0 - min, p min= p (0) = -1 < 0;

x = 2 - max, p max= p (2) = - 8/3 + 4 - 1 = -8/3 +3 = 1/3 > 0.

4) Строим эскиз графика.

График пересекает ось 0Х в трех точках x1, x2 и x3, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет три корня.

6. Рефлексия. Спасибо, ребята. До свидания.