Министерство Образования Республики Беларусь
УО «ВГТУ»
Кафедра АТПП
Расчетно-графическая работа №1
Тема:
«ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
Вариант №16.
Выполнил: студент гр.3А-
200
ЗАДАНИЕ №1.
Построить фазовый портрет системы, уравнение движения которой описывается дифференциальным уравнением
a=3; b=3.
ЗАДАНИЕ №2.
Рассчитать и построить фазовый портрет в системе с кусочно-заданными нелинейностями.
Тип нелинейности:
 |
Параметры: B=2; K=10; T=0.5.
Структурная схема системы имеет следующий вид:
|
Задача №1
Построить фазовый портрет системы, свободное движение которой описывается дифференциальным уравнением.
Уравнение движения: 
, параметры: a=3, b=3.
Решение:
Траекторию движения изображающей точки в фазовом пространстве называют фазовой траекторией, она отражает решение уравнения при определенных начальных условиях. Совокупность фазовых траекторий для всех возможных условий и особые точки равновесия называют фазовым портретом. В случае уравнения второго порядка, фазовое пространство превращается в плоскость с фазовыми траекториями, построенными в координатах x, y, где 
.
Фазовые портрет системы позволяет провести анализ системы: определить переходной процесс для заданной совокупности начальных условий, его тип, величину перерегулирования, устойчивость, амплитуду и частоту колебаний, возможные режимы работы системы.
Для построения фазового портрета необходимо провести ряд преобразований исходного дифференциального уравнения:
Уравнение второго порядка записываем в виде двух уравнений первого порядка:
для уравнения 
получаем систему:
Разделив второе уравнение на первое, исключаем время:
;
Разработан ряд практических методов построения фазовых характеристик – метод Изоклин, Льенара и др.
Метод изоклин.
Для этого метода используется уравнение 
, в котором имеются три переменные: x, y и dy/dx. Задаваясь каким-либо определенным значением 
, получаем уравнение с двумя неизвестными: х и у, что в плоскости ху дает одну единственную изоклину, представляющую собой геометрическое место всех точек фазового портрета, для которых наклон касательной к фазовой траектории равен постоянному значению Ni. Задаваясь различными значениями постоянных наклона Ni можно построить семейство изоклин для некоторого уровня, т. е. некоторой системы. Угол наклона фазовой траектории к изоклине Ni в точке пересечения ее с изоклиной определяется 
и наносится в виде стрелок на каждой изоклине.
Для построения фазовой траектории на некоторой изоклине N0 выбирается произвольная точка A0(x0;y0), которой соответствуют некоторые начальные условия. Из этой точки проводим прямые параллельные наклонам N0 и N1, до пересечения с изоклиной N1, получаем точки B0 и B1. Далее считаем что точка А1, пересечения фазовой траектории и изоклины N1 будет лежать на середине отрезка (В0;В1). Далее аналогично. Соединяя точки А1, А2,..Аn получаем фазовую траекторию. Задаваясь различными начальными условиями, т. е. выбирая различные начальные точки построения траектории, получаем семейство фазовых траекторий или фазовый портрет.
Для уравнения 
строим изоклины (рис.1). Для N=-9..9 вычисляем угол 
:
N | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
α | -84 | -83 | -82 | -80 | -78 | -76 | -71 | -63 | -45 | 0 | 45 | 63 | 71 | 76 | 78 | 80 | 82 | 83 | 84 |
По полученному фазовому портрету видно: т. к. фазовая траектория замкнута, то в системе наблюдаются режим автоколебания. Т. к. коэффициенты a и b положительные, то система устойчива. Для начальных условий в точке А0 амплитуда автоколебаний Ак=2.1 , а частота ω0=2.24. Для начальных условий в точке С0 Ак=1.9, ω0=2.21.
ЗАДАНИЕ №2.
Если нелинейные звенья имеют кусочно-линейные характеристики (неаналитические нелинейности), о поведение системы в каждой области фазовой плоскости описывается своим дифференциальным уравнением. Для фазового портрета таких систем характерно наличие «линий переключения», которыми фазовая плоскость разделяется на ряд областей с различными фазовыми траекториями. При этом начальные значения переменных на каждом участке определяются через их конечные значения на предыдущем участке. Линии переключения характеризуются точками излома нелинейных характеристик. Построение фазовых траекторий для таких систем (используется метод сшивания решений) не представляет затруднений, т. к. уравнения для участков легко интегрируются.
Для данной нелинейной системы уравнение свободного движения запишется в виде:
Обозначив переменную X=xвых, запишем уравнение свободного движения для каждой из зон нелинейности:
1. «отрицательное насыщение». Х≤ 0 , ψ(X)= - B. 
2. «положительное насыщение». Х ≥ 0 , ψ(X)= B. 
Выполняем преобразование полученных уравнений, учитывая, что 
и 
, получаем дифференциальное уравнения фазовых траекторий для отдельных областей фазовой плоскости:
1. «отрицательное насыщение». Х≤ 0. 
2. «положительное насыщение». Х ≥ 0 . 
Таким образом, фазовая плоскость делится на две части линией переключения.
Получаем уравнения для двух половин фазовой плоскости:
Слева от линии переключения:
Справа от линии переключения:
Принимая 
и α=arctg(Ni) и подставляя числовые значения получаем уравнения изоклин:
слева: 
;
справа: 
;
Фазовая плоскость делится на две части линией переключения m-m. В этих областях фазовые траектории системы описываются полученными уравнениями.
Задаваясь различными значениями Ni, строим изоклины и определяем углы наклона αi к ним фазовых траекторий. Изоклины представляют собой прямые, параллельные оси Ох.
Слева от линии переключения: 
Слева от линии переключения | |||||||||||||
Ni | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | -2 | -4 | -6 | -8 | -10 |
αi | 0 | 27 | 45 | 63 | 76 | 81 | 83 | 84,3 | -63,4 | -76 | -80,5 | -82,9 | -84,3 |
Y(Ni) | 5 | 3,7 | 2,9 | 2 | 1,3 | 1 | 0,8 | 0,63 | -12,5 | -2,8 | -1,56 | -1,09 | -0,83 |
Справа от линии переключения: 
Справа от линии переключения | |||||||||||||
Ni | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | -2 | -4 | -6 | -8 | -10 |
αi | 0 | 27 | 45 | 63 | 76 | 81 | 83 | 84,3 | -63,4 | -76 | -80,5 | -82,9 | -84,3 |
Y(Ni) | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -0,8 | -0,6 | 12,5 | 2,78 | 1,56 | 1,087 | 0,833 |
ВЫВОД:
построены 2 фазовые траектории: одна с начальными условиями ХА, YA (начинается из точки А), вторая – из точки В с начальными условиями ХВ, YВ (начинается из точки В, выделена жирной линией). Обе они приходят к одному и тому же предельному циклу. Вид фазовых траекторий позволяет сделать вывод о том, что при нахождении системы в 1-м начальном состоянии, на графике характеризующимся точкой А (точнее, ее координатами ХА,YA, т. е. начальными координатой и скоростью) в системе будет устанавливаться режим автоколебаний (предварительно система испытает 3 колебания в течение переходного процесса).
При нахождении системы в начальном состоянии, характеризующимся точкой В, переходный процесс будет состоять из 2 колебаний, далее в системе также наступит режим автоколебаний с той же амплитудой и частотой, что и в случае А.
Т. к. дифференциальные уравнения фазовых траекторий интегрируются, то можно получить точные уравнения, описывающие фазовые траектории в различных зонах:
Слева от линии переключения: 
Интегрируя, получим:
Х=-TKBln(-KB+Y)-TY+C0 (1)
где C0–постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
Принимая начальные условия X0=-4, Y0=-2, получаем С0=4.
Y | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
X | -4,2 | -4,3 | -4,3 | -4,28 | -4,2 | -3,9 | -3,5 | -2,9 | -1,8 | 0,3 |
Справа от линии переключения: 
Интегрируя, получим:
Х=TKBln(KB+Y)-TY+C0 (2)
где C0–постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
Точка, в которую пришла фазовая траектория на линии переключения, имеет координаты X0=0,3, Y0=7,05, откуда получаем С0=-7.
Начальные условия X0=-4, Y0=-2, откуда получаем С0=4.
Y | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -5,2 |
X | 0,33 | 0,56 | 0,76 | 0,94 | 1,1 | 1,2 | 1,29 | 1,32 | 1,28 | 1,17 | 0,94 | 0,55 | -0,11 | -0,3 |
Далее фазовая траектория приходит в точку с координатами (-5,2;0,3) – это начальные условия для уравнения (1) => C0 = -7.
X | -5,2 | -4 |
Y | -0.3 | -0.4 |
В точке (-4;0,5) приходим к предельному циклу, полученному ранее методом изоклин.
ВЫВОД: т. к. вид дифференциальных уравнений позволяет найти точное выражение для фазовых траекторий, предпочтительно воспользоваться последним методом (он более точен, но не всегда применим). Третья фазовая траектория, построенная последним методом, описывают систему, переходной процесс в которой имеет 2 колебания, установившийся режим представляет собой автоколебания, амплитуда и частота которых совпадает со значениями, найденными ранее.
Общий вид всех построенных фазовых траекторий позволяет убедиться в достаточной точности построения методом
