Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

СПРАВОЧНИК ПО ПЛАНИМЕТРИИ

§ 1. Основные понятия геометрии

Геометрия – греческое слово в переводе на русский язык обозначающее землемерие. Возникла она в глубокой древности в Египте, когда после ежегодных разливов реки Нил люди восстанавливали границы своих земельных участков, производя сложные вычисления. Сведения по геометрии попали к грекам, которые вели с египтянами оживленную торговлю. Греческий ученый Евклид, живший в III веке до н. э. систематизировал и дополнил эти знания. Изучаемая геометрия носит название геометрии Евклида.

Простейшие понятия геометрии: точка, прямая, плоскость. Эти понятия не имеют определений и используются в изложении аксиом – таких предложений, которые принимаются без доказательства. Одна из таких аксиом гласит:

"Через две точки проходит единственная прямая".

● ●

M N

Точка, лежащая на прямой, разбивает её на две части, каждая из которых называется лучом. Часть прямой между двумя точками называется отрезком
(МN – отрезок, а – прямая).

Понятие поверхности

Поверхность можно представить себе как границу тела. Простейшая и важнейшая поверхность – плоскость. С неопределяемым понятием плоскость связаны следующие аксиомы:

1. Прямая, две точки которой лежат на плоскости, целиком лежит в этой плоскости.

2. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и при этом только одну.

3. Если две несовпадающие плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Планиметрия – раздел геометрии, в котором рассматриваются линии и фигуры на плоскости.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Прямая, лежащая на плоскости, разбивает её на две полуплоскости.

Понятие угла

Два луча, исходящие из одной точки, разбивают плоскость на две области, каждая из которых называется углом.

А ●

В ●

Не исключено, что оба луча лежат на одной прямой, продолжая друг друга или сливаясь.

● Нулевой угол.

● Развернутый угол (занимает всю полуплоскость).

● Полный угол (занимает всю плоскость).

Луч, исходящий из точки на границе полуплоскости, разбивает её на два угла, которые называются смежными.

N ●

● ●

P M Q

P M N и N M Q – смежные углы.

Углы называются равными, если при наложении они совпадают.

Равные смежные углы называются прямыми.

Две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре угла

С ● 1 В ●

4 2

А ● D ●

из которых пары углов 1 и 3, 2 и 4 называются вертикальными. Вертикальные углы равны.

§ 2. Перпендикулярные, наклонные и параллельные прямые

Прямые называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол.

Через данную точку (точку М) можно провести прямую перпендикулярную
к данной прямой (АВ) и при том только одну (ММ0)

Отрезок ММ0 называется перпенди-

М куляром к АВ.

Отрезок MN называется наклонной.

Точка М0 называется основанием

● ● ● ● перпендикуляра.

А М0 N В

Точка N называется основанием наклонной.

Отрезок M0N называется проекцией наклонной.

Если из данной точки (точки М) к одной и той же прямой (АВ) проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная длиннее перпендикуляра.

Одна из важнейших аксиом геометрии Евклида связана с понятием параллельности прямых.

Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются сколько бы их не продолжали.

Аксиома параллельности

Через произвольную точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

Теорема

Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых перпендикулярна и к другой.

Двумя параллельными прямыми АВ и СД и секущей МN образуются следующие углы:

● N

●

4 1

А 3 2 В

●

4' 1'

С 3' 2' D

●

Углы 1, 1' ; 2, 2'; 4, 4'; 3, 3' называются соответственными.

Углы 2, 4' 3, 1' называются внутренними накрестлежащими.

Углы 1, 3'; 4, 2' называются внешними накрестлежащими.

Углы 1, 2'; 4, 3' называются внешними односторонними.

Углы 2, 1'; 3, 4' называются внутренними односторонними.

Теорема

Если параллельные прямые АВ и СД пересекаются секущей MN, то соответственные, внутренние и внешние накрестлежащие углы равны, а сумма внешних односторонних и внутренних односторонних углов равна 2d (180°).

Признаки параллельности двух прямых

Если при пересечении двух прямых третьей

соответственные углы равны или

внутренние накрестлежащие углы равны, или

внешние накрестлежащие углы равны, или

сумма внешних односторонних углов равна 2d, или

сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то прямые параллельны. Один из указанных признаков вызывает как следствие все остальные.*

Теорема

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

Так, если ОА ║ СD и ОВ ║ СЕ, то АОВ = DСЕ.

А D

● ●

О ● С ●

В Е

Теорема

Два острых или тупых угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны.

Если S M ┴ P R и S N ┴ R Q, то < MSN = <PRN.

P ● M ●

S ● Q

● N

*Определение предполагает наличие полного набора фактов, присущих данному понятию. В то время, как признак содержит лишь выборку из полного набора фактов, соответствующих определению. Однако, наличие фактов, указанных в признаке, позволяет считать, что и все другие оставшиеся факты из полного набора, соответствующего определению, имеют место.

Теорема Фалеса

Стороны угла, пересекающиеся рядом параллельных прямых, делятся ими на пропорциональные части.

F ●

Q ●

N ●

B ● ● ●

M P R

Если MN ║ QP ║ FR, то BN : NQ : QF = BM : MP : PR. Так, например, если BN : NQ : QF = 2 : 3 : 1, то длина отрезка BF делится на 6 частей, из которых на отрезок BN приходится 2 части, на отрезок NQ – 3 части и на отрезок
QF – одна часть. В таком же отношении делится и отрезок BR.

§ 3. Угловые и метрические соотношения плоских фигур

I. Треугольник

Треугольником называется часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной, состоящей из трех прямолинейных звеньев.

Виды треугольников в зависимости от сравнения их сторон:

1) разносторонний – все стороны имеют разные длины;

2) равнобедренный – две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами. Третья – его основанием;

3) равносторонний – все стороны равны.

Виды треугольников в зависимости от величин их углов:

1) остроугольный – все углы острые;

2) тупоугольный – один из углов тупой;

3) прямоугольный – один из углов прямой.

Стороны прямоугольного треугольника

К а т е т

Гипотенуза

Зависимость между сторонами треугольника:

Сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей

b с

b + с > а.

Зависимость между сторонами и углами треугольника:

1) против равных сторон лежат равные углы и наоборот;

2) против большей стороны лежит больший угол и наоборот;

3) сумма внутренних углов треугольника равна 180° (p).

γ α + β + γ = p.

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним

φ φ = α + β.

Треугольник вполне определен, если заданы:

1) три стороны;

2) две стороны и угол между ними;

3) сторона и два прилежащих к ней угла.

Элементы треугольника

1. Медиана (ma) – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (а). Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан, называемая центром тяжести треугольника, делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

b с

2. Биссектриса – отрезок, соединяющий вершину треугольника
с противоположной стороной и делящий внутренний угол треугольника пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис определяет центр вписанной в треугольник окружности. Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

b с

m n

3. Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

4. Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

Примечания

1. Если два отрезка из трех (медиана, биссектриса, высота) для какой-либо вершины совпадают, то треугольник является равнобедренным.

2. Центр окружности, описанной около любого треугольника, находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины его сторон.

3. В равностороннем треугольнике центр тяжести, центр вписанной и описанной окружности, а так же ортоцентр совпадают.

Формулы для определения площади треугольника

Пусть, р – полупериметр

hа

r – радиус вписанной в треугольник

окружности;

R – радиус описанной около треугольника окружности. Тогда,

То есть, площадь треугольника равна

полупроизведению стороны на высоту, которая к этой стороне проведена, или

полупроизведению двух сторон на синус угла между ними, или

произведению полупериметра на радиус вписанной в треугольник окружности, или

произведению трех сторон треугольника, делённому на учетверенный радиус описанной окружности, или

квадратному корню из четырех сомножителей, первым из которых является полупериметр, а остальные представляют собой разность между полупериметром и очередной стороной треугольника. Эта последняя формула для определения площади треугольника называется формулой Герона.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанной около треугольника окружности

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

с2 = а2 + b2 – 2 ∙ а ∙ b ∙ cоs γ.

Теорема тангенсов

Сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу их полуразности

Метрические и угловые соотношения в прямоугольном треугольнике

а 90° b

β m n

1. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

с2 = а2 + b2.

Это соотношение – частный случай теоремы косинусов называется теоремой Пифагора.

2. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу *

3. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу

и .

4. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

sin β = ;

коснус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

cos β = ;

тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему

tg β = ;

котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противоположному

ctg β = .

Определение равенства треугольников

Треугольники называются равными, если при наложении они совпадают.

* Средним геометрическим n положительных величин а1, а2, …, аn называется величина равная .

Три признака равенства треугольников

Равенство треугольников устанавливается по равенству:

1) двух сторон и угла между ними;

2) одной из сторон и прилежащих к ней углов;

3) трех сторон.

Определение подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны (сходственные стороны лежат против равных углов). Подобие треугольников обозначается символом ~ .

Три признака подобия треугольников

Треугольники подобны, если

1) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а заключенные между ними углы равны;

2) два угла одного треугольника равны двум углам другого;

3) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Примечания

1. Для подобия прямоугольных треугольников достаточно иметь пропорциональность катетов или равенство одного из острых углов.

2. Периметры подобных треугольников относятся как сходственные линейные элементы (стороны, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии).

3. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных линейных элементов (сторон, высот, биссектрис, медиан, средних линий).

II. Четырехугольник

Четырехугольником называется часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной, состоящей из четырех прямолинейных звеньев.

Четырехугольник называется выпуклым, если продолжение любой его стороны не пересекает других сторон.

Пример невыпуклого четырехугольника

а b

а, с и b, d – противоположные стороны четырехугольника (противоположные стороны четырехугольника не имеют общей вершины);

а, b и с, d - смежные стороны четырехугольника (эти стороны имеют общую вершину).

Четырехугольник называется параллелограммом, если у него:

1) противоположные стороны равны;

2) противоположные стороны параллельны;

3) диагонали в точке пересечения делятся пополам; *

4) противоположные углы равны.

Наличие одного из этих признаков вызывает как следствие остальные.

Формулы для определения площади параллелограмма

В С Пусть АС = d1, ВD = d2 - диагонали

α параллелограмма;

d1 d2 ha ha – высота, опущенная на сторону а.

А D Тогда,

S = а ∙ ha = a ∙ b ∙ sin (а, ^b) = ∙sin α .

То есть, площадь параллелограмма равна

*Диагональю выпуклого четырехугольника называется отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной стороне.

произведению стороны на высоту, которая к этой стороне проведена, или

произведению двух смежных сторон на синус угла между ними, или

полупроизведению диагоналей на синус угла между ними.*

Связь между диагоналями и сторонами параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. d1 + d2 = 2∙ (а2 +b2).

Параллелограмм называется прямоугольным, если у него:

1) все углы прямые;

2) диагонали равны.

Один из этих признаков вызывает как следствие другой.

α b

Площадь прямоугольника

S = а ∙ b = ∙ sin α .

Параллелограмм называется ромбом, если у него:

1) все стороны равны;

2) диагонали взаимно перпендикулярны;

3) диагонали делят внутренние углы параллелограмма пополам.

Наличие одного из этих признаков вызывает как следствие остальные.

* Последняя формула пригодна для вычисления площади любого выпуклого четырехугольника.

d1 d2

α h

Площадь ромба

S = a ∙ h = a2 ∙ sinα = .

То есть, площадь ромба равна произведению стороны на высоту ромба, или

произведению квадрата стороны на синус внутреннего угла, или

полупроизведению диагоналей ромба.

Квадрат – частный случай прямоугольника и ромба.

d а

Четырехугольник называется трапецией, если у него две стороны параллельны, а две другие нет.

с m d

Параллельные стороны трапеции а и b называются ее основаниями, непараллельные с и d – боковыми сторонами;

m – средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме .

h – высота трапеции – расстояние между параллельными сторонами.

Трапеция называется равнобокой, если с = d.

Площадь трапеции

То есть площадь трапеции равна

произведению полусуммы оснований на высоту, или

произведению средней линии на высоту, или

полупроизведению диагоналей трапеции на синус угла между ними.

Если в выпуклый четырехугольник (в частности, в трапецию) можно вписать окружность, то суммы её противоположных сторон равны.

с d а + b = с + d.

III. Выпуклый многоугольник

Многоугольником называется часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной, содержащей более четырех прямолинейных звеньев.

β1

Многоугольник называется выпуклым, если продолжение любой его стороны не пересекает других сторон

α2

β2

α1

αn

βn

Если n – число сторон многоугольника, то сумма его внутренних углов

α1 + α2 + … + αn = 180°∙ (n–2). А сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, β1 + β2 + … + βn = 360°.

Многоугольник называется правильным, если все его стороны, а также внутренние и внешние углы равны. Для правильных многоугольников, имеющих n сторон, центральный угол φ = ; внешний угол β = , а внутренний угол α = 180° – β.

an

φ

R

Радиус окружности, вписанной в правильный

многоугольник, называется апофемой.

Если R – радиус окружности, описанной около

правильного многоугольника, а

r – апофема, то сторона правильного n-угольника

Возьмем любую точку О внутри выпуклого n-угольника и, соединяя её с вершинами многоугольника, разобьем его на n треугольников. Тогда Sn –площадь n-угольника равна сумме площадей n треугольников, имеющих общую вершину. В случае правильного многоугольника общая вершина треугольников выбирается в центре вписанной или описанной окружности. При этом

где n - число сторон правильного многоугольника.

IV. Окружность

Окружностью называется замкнутая линия, все точки которой равноудалены от некоторой точки, называемой центром.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой, называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Отрезок, включающий не совпадающую с ним хорду, и оканчивающийся
в точке окружности называется секущей.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной

● D

В ОА и ОК – радиусы;

F АВ и ВК – хорды;

α ВF – касательная;

О СВ и DА – секущие,

А СА – внешняя часть секущей СВ,

DВ – внешняя часть секущей DА.

С К

Угол, образованный двумя хордами и имеющий вершину на окружности, называется вписанным. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

В этом случае дуга АК содержит столько градусов или радиан, сколько их содержится в центральном угле АОК.

Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной между сторонами угла

В Угол, образованный пересечением двух хорд,

С равен полусумме дуг, заключенных между

•

К О сторонами угла

γ γ = ∙.

А D Хорды в точке пересечения делятся на пропорциональные части, так что АК · КВ = СК · КD.

D

φ

А Угол между касательной и секу -

М щей, а также угол между двумя секу -

щими, исходящими из одной точки,

В О К равен полуразности дуг, заключенных

между сторонами угла

С φ = ∙ и ψ = ∙.

Секущие при пересечении друг с другом и с окружностью делятся на пропорциональные части так, что произведения секущих на их внешнюю часть равны между собой и равны квадрату соответствующего отрезка касательной

АВ ·АМ = АС · АК = АD2 .