Явления перколяции и маркировка перколяционных кластеров

Секция: Физика (компьютерное моделирование)

Актюбинская областная специализированная физико-математическая школа интернат г. Актобе г. Актобе, 11-ый микрорайон, д77 «а»

Тел.: 8 (71

Явления перколяции и маркировка перколяционных кластеров

Исмагулов Берик, Омаров Заманбек.

Класс:11

г. Актобе, ул. Абулхаир-хана 58 корпус «А», кв.10

г. Актобе, поселок Акжар-2, участок 590

Тел.: ; ; E-mail: berik. *****@***ru: fc. *****@***ru

Научный руководитель: Спивак-, у. ф-м. н., профессор.

Цель исследования: Разработать компьютерную модель явления перколяции и показать возможность ее применения для изучения критических явлений в различных областях физики.

Перколяция или протекание – критическое явление, порождаемое возникновением связанных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Основы теории перколяции были заложены в 1974 году американскими учёными Ватсоном и Лисом. В теории перколяции рассматривается возникновение кластеров и условия, при которых образуется, так называемый «бесконечный» кластер, обеспечивающий протекание.

Изучение перколяции [1-3] тесно связано с исследованием случайных процессов, которые моделируются с помощью метода Монте-Карло с использованием генератора случайных чисел (ГСЧ). В связи с увеличением быстродействия компьютеров метод Монте-Карло в последнее время стал особенно эффективно применяться для решения сложных физических и математических задач. В данном проекте с помощью метода Монте-Карло моделируется процесс ячеечной перколяции.

С помощью теории перколяции могут быть решены такие физические задачи, как исследование фазовых переходов, прыжковой электропроводности, протекания жидкости по капилляру, образования полимерных гелей и многие другие. Различные задачи теории протекания объединяются тем, что геометрия связанных элементов вблизи порога протекания у них одинакова. Задачи выявления наличия горизонтальной или вертикальной перколяции, а также маркировки перколяционных кластеров решается с помощью оригинальных алгоритмов. Эти алгоритмы реализуются посредством программ, созданных в среде Ехсеl на языке Visual Basic for Application (VBA).

Разработанные и отлаженные программы позволяют изучать явление ячеечной перколяции на решетках с максимальным размером ячеек. Они позволяют находить значение критического параметра при котором возникает горизонтальное и вертикальное протекание, а также изучать процесс образования перколяционных кластеров, их размеры, количество и конфигурацию.

Опишем алгоритм маркировки кластеров, возникающих при данном значении критического параметра . Сначала на решетке ячеек с помощью ГСЧ формируется массив V(, ). Элементам этого массива присваивается значение 1 (занятые ячейки), если значение , даваемое ГСЧ, меньше , в противном случае элементу массива V(, ) присваивается значение 0. Будем присваивать занятым ячейкам кластерные метки двигаясь из левого верхнего угла вправо. Первую занятую ячейку, в которой элемент массива V(, ) равен единице, маркируем целым числом 3. Следующие идущие подряд ячейки тоже маркируем этим числом до тех пор пока не встретится пустая ячейка, в которой элемент массива V(, ) равен нулю. После этого первую следующую занятую ячейку маркируем целым числом 4 и т. д. Затем переходим к следующей строке и проходим ее тоже слева направо. Обнаружив первую занятую ячейку, рассматриваем соседнюю ячейку в предыдущей строке, если та промаркирована каким-то из чисел 3, 4, …, то данная ячейка тоже маркируется этим числом, если нет, то она маркируется следующим целым числом. Затем рассматривается следующая ячейка в данной строке, если она занята, то она маркируется тем же числом, что и предыдущая ячейка. Снова рассматривается соседняя ячейка предыдущей строки и, если она маркирована большим числом, ее маркировка изменяется на меньшее число, и так до конца строки. Потом переходим к следующей строке, и так до тех пор пока не дойдем до последней строки.

Сложность алгоритма связан с тем, что связь между кластерами может возникнуть на уровне любой строки. В результате кластеры, которые до этого считались различными, объединяются в один кластер с соответствующей перенумерцией их ячеек. Этот алгоритм реализован в среде Excel на языке VBA в программе «Кластер».

Итак, в работе построены алгоритмы определения порога протекания методом Монте-Карло и маркировки перколяционных кластеров. Созданы программы в среде Excel на языке VBA, позволяющие демонстрировать явление перколяции и возникновение перколяционных кластеров в случае ячеечной перколяции.

Результаты работы могут быть использованы для демонстрации явления перколяции на занятиях в школе и в вузе, а также для изучения критических явлений в реальных физических системах.

Используемая литература

1.  Эфрос и геометрия беспорядка. – М.: Наука, 1982. – 175 с.

2.  Компьютерное моделирование в физике (в 2-х частях). Часть вторая. – М.: Мир, 1990. – 390 с.

3.  Тарасевич : теория, приложения, алгоритмы: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 112 с.