Общие теоремы динамики точки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №3

на тему: «ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ»

Методические указания

Ставрополь

2011

УДК 531/534 ББК 22

Составители:

, ,

Общие теоремы динамики точки: методические указания / , , . - Ставрополь: АГРУС, 2011. - … с.

В методических указаниях даны понятия количества движения и кинетической энергии точки, импульса силы, работы силы, определения теорем об изменении количества движения и кинетической энергии точки, приведены необходимые формулы для их расчета, задания и общие требования к выполнению самостоятельной работы, пример выполнения задания.

Предназначены для студентов специальностей: 110301.65 - Механизация сельского хозяйства; 190603.65 - Сервис транспорт­ных и технологических машин и оборудования в АПК; 110302.65 - Электрификация сельского хозяйства, 140211.65 - Электроснабжение,110300.62 - Агроинженерия, 140600.62 - Электротехника, 260204.65 - Технология бродильных производств и виноделие.

УДК 531/534 ББК 22.21

Утверждены к изданию методическим советом СтГАУ (протокол № от 2011 г.)

©Составители, 2011 © АГРУС, 2011

1. Основные понятия.

1.1. Количество движения. Кинетическая энергия.

Основными динамическими характеристиками движения точки являются количество движения и кинетическая энергия точки.

Количеством движения точки () называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен вектор так же как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории. Единица измерения.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. Единица измерения .

1.2. Импульс силы.

Элементарным импульсом силы (импульсом силы за бесконечно малый промежуток времени) называется векторная величина , равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени .

=∙ . (1)

Направлен элементарный импульс силы по линии действия силы.

Импульс силы за конечный промежуток времени t1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов.

. (2)

Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени t1 равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от 0 до t1.

Если - соnst, то .

В общем случае случаи импульс силы может быть вычислен через его проекции:

, (3)

где , , . (4)

Единица измерения импульса силы .

1.3. Теорема об изменении количества движения материальной точки.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме.

(5)

Теорема об изменении количества движения в конечном виде.

(6)

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях. Проецируя обе части уравнения на оси координат, получим:

(7)

1.4. Работа силы. Мощность.

Элементарной работой силы называется скалярная величина

, (8)

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а - бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Зная, что , получим

, т. е. (9)

Элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение .

Или

Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол - острый, то работа положительная.

Если угол - тупой, то работа отрицательная.

Если угол =, то .

Если угол , то .

Если угол , то .

Работа на любом конечном перемещении , вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ.

. (10)

или аналитическое выражение для определения работы

. (11)

Работа силы на любом перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Единица измерения работы – Дж (Нм).

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени.

. (12)

Если работа совершается равномерно, то мощность определится по формуле где t – время в течение которого произведена работа.

Единица измерения мощности – ватт(1Вт=1Дж/с). В технике за единицу мощности часто применяют 1 л. с.=736Вт.

1.5. Частные случаи вычисления работы силы.

1.5.1. Работа силы тяжести.

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

, (13)

где G –сила тяжести; h – величина вертикального перемещения точки.

Работа положительна, если начальная точка выше конечной точки, и отрицательна - если ниже конечной. Работа не зависит от траектории движения точки под действием силы тяжести.

1.5.2. Работа силы упругости.

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости пружины на разность квадратов начального и конечного удлинения пружины. (14)

где с – коэффициент жесткости пружины; хО и х1 – соответственно начальное и конечное удлинение пружины.

Работа будет положительной, если конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, если удаляется от равновесного положения.

1.6. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема об изменении кинетической энергии

в дифференциальной форме.

(15)

Теорема об изменении кинетической энергии точки в конечной форме.

(16)

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

2. Контрольные задания.

2.1. Требования и порядок выполнения заданий.

Расчетно-пояснительная записка выполняется на листах фор­мата А4 (210 х 297 ) ГОСТ 2.301-68, должна иметь титульный лист, исход­ные данные, расчетную часть и список ис­пользованной литературы. Объем записки может составлять 4…5 страниц. Листы записки должны иметь ос­новную надпись для текстовых и конструкторских документов по форме 2 и 2а ГОСТ

Рисунки, сопровождающие решения заданий, должны быть аккуратными, наглядными и выполняться с использованием чертежных инструментов.

Варианты заданий студентам выдаются преподавателем.

2.2. Условия и варианты заданий.

ЗАДАНИЕ. Общие теоремы динамики точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в верти-кальной плоскости. Найти скорость шарика в положениях В, С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 0, 1, 3, 6, 7 шарик, пройдя путь h , отделяется о пружины.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1.

В задании приняты следующие обозначения: m - масса шарика; VА – начальная скорость шарика; τ - время движения шарика на участке АВ( в вариантах 2, 8 ) или на участке ВD ( в вариантах 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 ); f - коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 - начальная деформация пружины; h – наи-большее сжатие пружины; с - коэффициент жесткости пружины.

ПРИМЕЧАНИЕ: номер рисунка соответствующий варианту задается по номеру условия в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Номер усло-вия	m, кг	VА, м/с	τ, с	R, м	f	α	β	h0, см	c, Н/см	Опре-де- лить	Номер рисун-ка
град.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0,4	0	2	0,2	0,15	30°	-	10	10	VD	5.0
1	0,6	0	2	0,5	0,15	45°	-	20	14	VD
2	0,8	0	2	0,8	0,15	30°	-	14	12	VD
3	0,4	5	1	1	0,1	30°	-	50	5	VD	5.1
4	0,2	6	1,5	1,4	0,1	30°	-	45	7	VD
5	0,3	7	1,2	1,1	0,1	45°	-	40	6	VD
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
6	0,2	1	0,5	1,5	0,15	30°	60°	0	4	h	5.2
7	0,4	4	0,4	1,3	0,15	30°	60°	0	5	h
8	0,3	3	0,3	1,4	0,15	45°	60°	0	3	h
9	0,4	4	0,1	0,5	0.1	30°	60°	0,2	0,2	VD	5.3
10	0,2	3	0,2	0,5	0.1	30°	60°	0,1	0,2	VD
11	0,6	6	0,1	0,5	0.1	45°	60°	0,3	0,4	VD
12	0,2	6	1	1	0,3	45°	-	-	3	VD, h	5.4
13	0,4	8	2	1	0,2	45°	-	-	4	VD, h
14	0,3	7	1	1	0,4	30°	-	-	5	VD, h
15	0,4	5	0,4	2	0,2	30°	60°	-	-	VD	5.5
16	0,3	4	0,5	2	0,2	45°	45°	-	-	VD
17	0,5	6	0,3	2	0,2	30°	60°	-	-	VD
18	0,3	0	0,1	1	0,1	30°	60°	50	10	VD	5.6
19	0,4	0	0,1	1	0,3	60°	30°	60	12	VD
20	0,2	0	0,2	1	0,2	45°	45°	70	14	VD
21	0,2	0	0,1	1	0,2	30°	-	40	1	VD	5.7
22	0,4	0	0,1	2	0,3	45°	-	50	2	VD
23	0,5	0	0,1	3	0,4	30°	-	60	3	VD
24	0,2	10	1	0,5	0,1	60°	-	0	1,2	h	5.8
25	0,1	8	2	0,3	0,2	30°	-	0	1,1	h
26	0,3	14	1	0,6	0,1	45°	-	0	1,3	h
27	0,4	1	0,2	0,2	0,4	45°	-	0	1,1	VD, h	5.9
28	0,6	4	0,2	0,4	0,3	30°	-	0	1,3	VD, h
29	0,5	3	0,3	0,3	0,2	60°	-	0	1,2	VD, h

Рис. 5.0	Рис. 5.1
Рис. 5.2	Рис. 5.3
Рис. 5.4	Рис. 5.5
Рис. 5.6	Рис. 5.7
Рис.5.8	Рис. 5.9

3. Пример.

Задание: «Общие теоремы динамики точки».

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости.

Найти скорость шарика в положениях В, С, D и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь.

Дано: т=0,3 кг; va=2 м/с;

t =2 с (время движения на

участке BD);

R =4 м; f = 0,1; a = 30°;

b = 20°; h0=30 cм=0,3 м;

с =2 Н/см=200 Н/м

Определить vb, vc, vd , Nc.

Рис.6.

Решение.

1. Рассмотрим движение шарика на участке АС (рис.7). На

этом участке на шарик, принятый

за материальную точку, действуют:

сила тяжести mg, сила трения Fmp,

сила упругости Fупр, сила

нормального давления N.

Для определения cкорости в

точке С используем теорему об

изменении кинетической

энергии материальной точки.

(1)

Рис.7.

где SАk=Аynp+Аmp+Аmg – сумма работ действующих на точку сил при перемещении ее из положения А в положение С.

Подставим в уравнение (1) значения работ, получим:

Тогда

2. Определяем давление шарика на стенку канала в точке С (рис.8.).

Реакцию Nc определим с помощью естественных дифференциальных урав­нений движения точки:

, (19)

 

3. Рассмотрим движение точки на

участке CB (рис.9).

На материальную точку действуют: Рис.8.

сила тяжести mg и сила нормального давления N.

Для определения cкорости в

точке B используем теорему об

изменении кинетической

энергии материальной точки.

Получим

Рис.9.

3. Рассмотрим движение точки на

участке BD (рис.10).

На материальную точку действуют:

сила тяжести mg, сила трения Fmp,

сила нормального давления N.

Так как на участке BD известно

время движения материальной

точки, то применим теорему об

изменении количества движения Рис.10.

материальной точки в проекции

на ось x:

mVDx - mVBx = å Skx, (20)

где å Skx - сумма проекций импульсов действующих на

материальную точку сил за время ее движения на участке BD.

å Skx = - Fmp x× t = - mg× f ×t. (21)

Тогда

mVD - mVB = - mg× f ×t.

Получим

Vd = VB - g× f ×t = 6,82 – 9,8× 0,1×2 = 4,86 м/с.

Ответ: VС =6,82 м/с; VB =6,82 м/c; Vd = 4,86 м/с; NC=113,1 H.

Библиографический список

Основной:

1. , Курс теоретической механики. Учеб. пособие для вузов: 13-е изд., исправ.-М.: Интеграл-Пресс,2006.-603с.

2. Тарг курс теоретической механики: Учеб. для втузов/.-15-е изд.,стер.-М.:Высш. шк.,2005.-415 с.

3. и др. Курс теоретической механики: Учеб. пособие для студ-ов вузов по техн. спец.:В 2-х т./, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. СПб.:Лань.-5-е изд.,испр.-1998.-729 с.

4. Мещерский по теоретической механике: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по техн. спец./; Под ред. В.А. Пальмова, Д.Д. Меркина.-45-е изд.,стер.-СПб. и др.:Лань,2006.-447 с.

5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для студ. втузов/[, , С.А. Вольфсон и др.];Под общ. ред. .- 11-е изд.,стер.-М.:Интеграл - Пресс,2004.-382 с.

6. И и др. Теоретическая механика в примерах и задачах. Учеб. пособ. для вузов. В 2-х т./, , .-9-е изд., перераб.-М.:Наука,1990.-670 с.

7. Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин: Сборник рекомендуемых терминов. Вып. 102. М.: Наука, 1984. – 48с.

Дополнительный:

1. Теоретическая механика: Сб. научно-метод. ст./М-во образования РФ. Научно-метод. совет по теорет. механике. Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, Ин-т механики; Под ред. . - М.:Изд-во МГУ.-Вып.25.-2004.-213 с.

2. Курс теоретической механики: Учебник для вузов по направлению подгот. дипломир. специалистов в области техники и технологии/ [ , , М.М., Ильин и др.];Под ред. К.С. Колесникова.-3-е изд.,стер. М. : Изд - во МГТУ им. ,2005.-735 с.- (Механика в техническом университете:В 8 т.;Т.1)

3. и др. Теоретическая механика. Динамика:Учеб. для втузов/, , ; Под общ. ред. М.А. Павловского.- Киев:Выща. шк.,1990.-479 c.

4. Цывильский механика: Учебник для втузов.-М.:Высшая школа,2001.-318 с.

5. Сборник коротких задач по теоретической механики. Под ред. . М.:Высшая школа, 1983.-368 с.

Оглавление

1.  Основные понятия ……..……………………………...….3

1.1. Количество движения. Кинетическая энергия …..….…3

1.2. Импульс силы………………………………………..…...3

1.3. Теорема об изменении количества движения материальной точки ……………………………………...…..4

1.4. Работа силы. Мощность ………………………………...5

1.5. Частные случаи вычисления работы силы…………..…6

1.6. Теорема об изменении кинетической энергии точки…7

2. Контрольные задания ……..……………………………...7

2.1. Требования и порядок выполнения заданий…….……..7

2.2. Условия и варианты заданий… …………………..….8

3. Пример………………….………………………………....11

Библиографический список…………………………….…..15