Пример решения контрольной по производным
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
.
1. .
Это пример на производную частного. Если 
и 
, то производная частного равна
.
Подставляем в эту формулу 
и 
. Используя таблицу производных, имеем
.
2. .
Это производная сложной функции. Эту функцию можно представить в следующем виде:
, 
.
Применяем формулу производной сложной функции
.
Так как производная есть функция от x, то в окончательном выражении мы заменяем u на его выражение через x.
Можно предложить следующий приём нахождения производной сложной функции. Чтобы получить значение y, зная значение x, надо возвести x в куб, т. е. получить 
, а затем найти 
. Схематически это можно показать в виде цепочки так:
.
И нахождение производной нашей функции можно оформить следующим образом:
.
Функцию u иногда называют внутренней функцией, а функцию y внешней. При этом говорят, что производная сложной функции есть производная внешней функции на производную внутренней функции.
Следует заметить, что если бы в данном примере вместо был бы некоторый многочлен от x, например 
, то цепочка выглядела бы так:
.
Это можно делать, так как производная от многочлена находится достаточно просто.
3. .
Здесь мы имеем произведение двух сложных функций. Представим нашу функцию в виде произведения двух функций:
, где
, 
. Тогда по формуле производной произведения двух функций имеем
.
Естественно, целесообразно отдельно найти производные 
и 
и подставить их в эту формулу, и, конечно, разумеется, подставить туда же и выражения для 
и 
.
Находим сначала . Записываем цепочку для нахождения этой производной.
.
.
Находим . Записываем цепочку для нахождения этой производной.
.
.
