Основные показатели динамики экономических процессов

ЛЕКЦИЯ 14.

Основные показатели динамики экономических процессов.

Для количественной оценки динамики экономических процессов применяют такие статистические показатели как абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста. Они подразделяются на цепные, базисные и средние. Если сравнение уровней временного ряда осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу, то показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется c переменной базой, причем каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные показатели называются цепными. Если же сравниваются показатели временного ряда на начальном шаге с последними данными в отношении к числу уровней ряда, то показатели называются средними.

Рассмотрим временной ряд:

. (1)

Формулы для вычисления цепных, базисных и средних абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста даны в таблице.

Обозначение	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной
Базисный
Средний

В формулах из таблицы приняты обозначения: - уровни временного ряда; n – длина ряда, - базовый уровень временного ряда. Чаще всего в качестве базисного уровня временного ряда рассматривается первый его уровень.

("1") Описание динамики ряда средним приростом соответствует его представлению в виде прямой, проходящей через две крайние точки. Для получения прогнозного значения на один шаг вперед достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста:

(2)

где - значение показателя в n – той точке временного ряда, - прогнозное значение показателя в точке ряда, - значение среднего прироста временного ряда.

Получение прогнозного значения по формуле ( 2 ) корректно, если динамика ряда близка к линейной. На такой равномерный характер динамики временного ряда указывают примерно одинаковые цепные абсолютные приросты.

Использование среднего темпа роста (среднего темпа прироста) для описания динамики развития ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки, и такое представление характерно для процессов, изменение динамики которых происходит с постоянным темпом роста.

Прогнозное значение на один шаг вперед определяется по формуле

(3)

где - прогнозируемая оценка значения показателя в точке , - средний темп роста, выраженный в относительных величинах.

Если необходимо определить прогнозное значение для точки временного ряда, то используется формула

(4)

Недостатком прогнозирования с использованием среднего прироста и среднего темпа роста является то, что они учитывают начальный и конечный уровни ряда, исключая влияния промежуточных уровней. Тем не менее, они используются как простейшие, приближенные способы прогнозирования экономических процессов.

В качестве примера использования формулы (2) рассмотрим динамику фонда ежеквартальной заработной платы работников некоторой фирмы, отраженной в таблице:

	1	2	3	4	5
	252	253	254.2	255.3	256.5

("2") Требуется обосновать правомерность использования среднего прироста для определения прогнозного значения фонда заработной платы в 6-м квартале. Для этого найдем цепные абсолютные приросты уровней временного ряда:

,

,

, (5)

.

Цепные абсолютные приросты изменяются от 1 до 1,2. Их изменения достаточно близки и как относительные величины они примерно одинаковы. Это говорит о близости ежеквартальной динамики фонда заработной платы фирмы к линейной. Поэтому правомерно определить прогнозируемое значение с помощью среднего прироста :

(6)

(7)

Для интерпретации применения формулы (3) рассмотрим другой пример с изменением динамики фонда ежеквартальной заработной платы работников некоторой фирмы, отраженной в следующей таблице:

	1	2	3	4	5
	252	264,5	277.7	291,6	306,2

("3") Если подсчитать абсолютные приращения по данному временному ряду, то они образуют последовательность 12,5 ; 13,2 ; 13,9 и 14,6 . Ясно, что они различаются между собой существенно и не могут быть заменены одним средним приращением. Подсчитаем темпы роста для этого ряда.

(8)

Все они близки между собой. Поэтому, подсчитывая средний темп роста для этого временного ряда, получим:

(9)

В этом случае прогнозируемое значение будет подсчитываться следующим образом:

(10)

Как уже отмечалось, прогнозирование значений ряда на несколько шагов вперед возможно, но их достоверность будет тем меньше, чем дальше отстоит прогнозируемое значение от последнего известного.

Сглаживание временных рядов по простой скользящей средней.

Мы уже разбирали анализ временного ряда экономического процесса, заключающийся в выявлении аномальных значений уровней ряда, которые не соответствуют реальным возможностям рассматриваемой экономической системы и замены их средними значениями (метод Ирвина). Другим распространенным приемом устранения аномальных значений показателей и выявления скрытой тенденции временного ряда является сглаживание временного ряда. В этом случае производится замена фактических значений уровней временного ряда некоторыми расчетными, что способствует более четкому проявлению тенденции временного ряда. Сглаживание временного ряда является одним из методов теории математических фильтров, имеющей дело с фильтрацией высокочастотных «шумов».

Наиболее распространенной процедурой сглаживания является метод простой скользящей средней. Скользящие средние позволяют сгладить случайные и периодические колебания временного ряда. В этом методе сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания, т. е. длина интервала временного ряда, для которого определяется среднее значение. Обозначим его через . Если необходимо сгладить мелкие колебания временного ряда, то интервал сглаживания берется достаточно продолжительным. В этом случае колебания с большим периодом сохраняются, а вот мелкие, непродолжительные колебания устраняются. Если же нужно сохранить более мелкие колебания, то интервал сглаживания уменьшают.

По этому методу для подряд идущих уровней временного ряда вычисляется среднее значение. Оно берется в качестве вычисленного значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Интервал сглаживания постепенно сдвигается от начала ряда к его концу пошагово. В результате проведения такой процедуры получим ряд сглаженных значений, при этом в зависимости от величины интервала сглаживания несколько (до половины длины интервала сглаживания) первых и последних уровней ряда теряются.

Для того, чтобы не потерять первый и последний уровни ряда, сглаживаемого по методу простой скользящей средней для длины интервала сглаживания , их можно вычислить по формулам параболического интерполирования. В этом случае вычисляемые значения сглаженного ряда определяются по формуле:

(11)

А первое и последнее значение сглаженного ряда определяются по формулам:

(12)

(13)

("4") Метод простой скользящей средней показывает хорошие результаты в динамических рядах с линейной тенденцией развития.

Пусть в таблице приведены данные динамики урожайности некоторой культуры за 10 лет. Требуется рассчитать сглаженные ряды для интервалов сглаживания длины 3 и 5.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	16,3	21,2	18,1	8,7	16,3	17,3	20,9	15,4	19,7	21,2

("5") Применяя формулы (10), (11), (12) для , получим:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	17,63	18,5	16,0	14,37	14,1	18,17	17,87	18,7	19,93	22,08

("6") По формулам (11), (12) для получаем сглаженный ряд:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	-	16,12	64,32	16,26	15,72	17,92	19,0	-	-

("7") Сравнивая данные таблиц, можно заметить, что во втором случае тенденция на возрастание урожайности видна более наглядно. В первом же случае имеющиеся колебания в исходной таблице хоть и сгладились, но сохранились.

Сглаживание временных рядов по взвешенной скользящей средней.

Как уже отмечалось, метод простой скользящей средней хорош только для линейных тенденций временного ряда. Для рядов с нелинейной тенденцией развития применяются другие методы сглаживания, например метод взвешенной скользящей средней. Этот метод отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, входят в сумму с разными весовыми коэффициентами.

Если тенденции временного ряда отвечает полином 2-го, или 3-го порядков, то для пяти-членной взвешенной скользящей средней центральное вычисляемое значение интервала определяется по формуле:

(14)

Для нелинейных тенденций развития временного ряда, определяемые полиномами 2-го или 3-го порядков, весовые коэффициенты в формулах вычисляемых значений сглаживания в зависимости от длины интервала сглаживания представлены в следующей таблице:

Длина интервала сглаживания	Весовые коэффициенты суммирования
5
7
9

Интервалы сглаживания большей длины берутся для достаточно большого числа статистических данных, т. е. когда n достаточно велико, иначе сглаженный ряд получается коротким и по нему невозможно определить какие либо закономерности для исходного ряда.

Для приведенной выше таблицы данных динамики урожайности некоторой культуры за 10 лет вычислим ряд 5-летних скользящих средних взвешенных. Вычисленные значения сведем в таблицу.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	16,3	21,2	18,1	8,7	16,3	17,3	20,9	15,4	19,7	21,2
	-	-	16,2	12,7	13,5	19,1	18,3	18,1	-	-

("8") При сравнении сглаженных рядов, вычисленных значений 5-летних скользящих простых и 5-летних скользящих взвешенных, видно, что более гладкой является кривая скользящей простой, но ряд скользящей взвешенной более точно отражает поведение исходного ряда.

Экспоненциальное сглаживание временного ряда.

Выравнивание временного ряда может быть осуществлено методом так называемого экспоненциального сглаживания. Суть метода заключается в том, что в процедуре нахождения значения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем весовой коэффициент суммируемого уровня уменьшается по мере удаления его от уровня, для которого определяется сглаженное значение.

Если для исходного временного ряда (1) соответствующее сглаженное значение уровня обозначить через , где , то экспоненциальное сглаживание проводится по рекуррентному соотношению:

(15)

где - параметр сглаживания, причем , величина называется коэффициентом дисконтирования
.

Для уровня , если использовать рекуррентное соотношение последовательно для всех уровней, начиная с первого и заканчивая последним уровнем . можно получить, что экспоненциальная средняя, т. е. сглаженное данным методом значение уровня , является взвешенной средней всех предшествующих уровне и уровня . Запишем это формулой.

(16)

Зачастую начальный параметр принимается равным значению первого уровня исходного ряда . Иногда же начальный параметр принимается равным средней арифметической нескольких первых членов исходного ряда, например

(17)

Указанный порядок выбора начальной величины обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного временных рядов для первых уровней. Если же при этом при подходе к правому концу ряда сглаженные значения начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, то целесообразно перейти на другой параметр сглаживания .

Обычно для временных рядов в экономических задачах величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3 . Например, при вес текущего наблюдения равен 0,2. Вес предыдущего уровня будет равен . Для уровня вес составит и т. д.

В таблице приведены данные численности преподавателей высших учебных заведений страны (тыс. человек) по годам.

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
	233,5	239,9	239,8	261,9	261,8	268,7	260,7	298,6	299,4

("9") Произведем сглаживание временного ряда с использованием экспоненциальной средней для двух значений параметра сглаживания и . По результатам расчетов определим, какой из сглаженных временных рядов носит более гладкий характер.

Рассмотрим случай .

Рассмотрим теперь случай . По тем же самым формулам вычисляем, что

Сравнивая значения полученных временных рядов, заключаем, что при временной ряд имеет более гладкий характер, т. е. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания исходного временного ряда.

preview_end()