Ток и плотность вероятности. Уравнение Клейна-Гордона. Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. Структура дираковского спинора, Физическая интерпретация решений уравнения Дирака:
античастицы, спиральность, оператор спина.
Взаимодействия элементарных частиц – H
Фотон – поле векторного потенциала Am
Электрон – фермионное поле y
КЭД : H ~ J × A = Jm Am
Операции с 4-х векторами, Лоренц-инвариантность
Лоренц-инварианты:
c2t2 – x2 E2 – p2
Контравариантный 4-х вектор:
am = (a0 , - a1 , - a2 , - a3 )
Ковариантный 4-х вектор:
am = (a0 , a1 , a2 , a3 )
A × B = Am Bm = Am Bm = gmn Am Bn = gmn Am Bn
g00 = 1, g11 = g22 = g33 = -1, gi¹j =0, gmn =gmn
xm = (t, x), pm = (E, p), ¶m = (¶/¶t, -Ñ)
pm pm = E2 - p2 , pm xm = E t - p x
Ток и плотность вероятности
r - плотность электрического заряда
J – плотность тока
Закон сохранения заряда выражается в виде уравнения непрерывности:
Вводим 4-х вектор плотности тока - Jm =(r, J)
¶m Jm =0
Нерелятивистская квантовая механика
Сделаем замены:
, 
Получим уравнение Шредингера:
(1)
- плотность вероятности
Введем определение плотности потока вероятности.
Сконструируем аналог уравнения непрерывности:
Возьмем комплексно-сопряженное уравнение:
(2)
Умножим (1) на -i y*,
умножим (2) на - i y
Вычтем (2) из (1):
Сравним с уравнением непрерывности:
Поток j
Для свободной частицы:
Релятивистская квантовая механика
Сделаем замены:
,
Получим уравнение Клейна-Гордона:
(1)
Возьмем комплексно-сопряженное уравнение:
(2)
Умножим (1) на -i y*, умножим (2) на - i y, вычтем (2) из (1)
Структура r и j - одинакова
4-x вектор тока:
jm = (r, j ) = i (Y*¶m Y - Y¶m Y* )
Условие непрерывности:
¶m jm = 0
Оператор Даламбера
2 = ¶m ¶m
Уравнение Клейна-Гордона
(2 + m2) y =0
Для свободной частицы:
Что подозрительно?
Плотность вероятности зависит от энергии?
ПРОБЛЕМА:
Собственные значения уравнения К-Г
E = ± (p2 + m2)1/2
При E<0 r <0
Возникают отрицательные плотности вероятности
Именно этого хотел избежать Дирак ….
Уравнение Дирака
Уравнение К-Г
квадратичное по координатам.
Отсюда проблема отрицательных плотностей вероятности.
Надо: 1) линейное уравнение, только с первыми производными
2) релятивистское
H Y = E Y
H Y = ( a p + b m) Y - линейность
X=E
H2 Y = ( p2 + m2 ) Y - релятивизм
X2 = p2 + m2
Подсказка:
Матрицы Паули
, 
, 
Известно, как сделать сумму 3 квадратов из перемножения с матрицами 2х2
Найти сумму 4 квадратов…
H2 Y =
( ai pi + b m) ( aj pj + b m)Y=
(a2i p2i + ( ai aj + aj ai ) pi pj +
+ ( ai b +b aj ) pi m +b2m2 )Y
a2i =1 b2=1
( ai aj + aj ai )=0 [ai aj ]+ =0
( ai b +b aj )=0 [ai b ]+ =0
Дирак нашел матрицы, которые удовлетворяют этим
перестановочным соотношениям
Есть несколько наборов таких матриц:
· Представление Паули-Дирака
где s - 2 х 2 матрицы Паули
, ,
· Представление Вейля
(киральное представление)
Уравнение Дирака
H Y = ( a p + b m) Y
Умножим слева на b
m =0,1,2,3
Гамма-матрицы
(в киральном представлении)
Получить вид гамма-матриц в представлении Дирака
 |
[gm gn]+ =0, m¹n
(gm)2 = - I, m=1,2,3
(gm)2 = I, m=0
Уравнение Дирака - 4 дифференциальные уравнения, связывающие 4 компоненты вектор-столбца Y
Сохранение тока
Возьмем эрмитово сопряжение:
Умножим справа на g0 и введем обозначение:
Умножим справа на Y
|Y
Слева на `Y и сложим
`Y|
- уравнение непрерывности
- ток
А что же плотность?
Всегда больше нуля!
Именно этого хотел Дирак
Но помимо этого, в уравнении Дирака оказались
· Античастицы
· Спин
Решения уравнения Дирака для свободных частиц
Свободная частица с импульсом p
Найдем явный вид функций u(p) – 4-x компонентный спинор
1) p=0
H Y = ( a p + b m) Y
Представление Паули-Дирака
Подставим волновую функцию свободной частицы
H u(p) = b m u(p) = E u(p)
Имеем 4 решения:
E= m, m, - m, - m
Вид соответствующих спиноров:
Проблемы:
1. Физический смысл решений с E<0
2. Физический смысл удвоения решений
Решения с E>0 – частицы
Решения с E<0 – античастицы
Удвоение – две проекции спина
2) p¹0
H Y = ( a p + b m) Y
Система уравнений:
(*)
(**)
Для E>0 выберем решения в виде:
Тогда из (**)
Общее решение, E>0:
N – нормировочный фактор
Для E<0 выберем решения в виде:
Тогда из (*)
Таким образом, электрон с импульсом р –
4 независимых ортогональных решений:
E>0, n=1,2
E<0, n=1,2
Нормировочный фактор N:
для E>0
- 
· Иерархия: верхние и нижние (~v/c)компоненты
В нерелятивистcком пределе:
Нижняя компонента подавлена на фактор v/c
Спиральность
- единичный вектор импульса,
Коммутирует с гамильтонианом:
[HL] = 0, [p L]=0
Правая спиральность – R, , l=+1
Левая спиральность – L, ¯, l=-1
l=+1 l= -1
Физ. смысл S
Орбитальный момент 
Тогда 
Полный угловой момент J – сохраняется
Оператор спина
,
собственные значения оператора спина
ms = ± ½
Античастицы: время – назад!
“ Попугай –контрамот действительно мог знать кое-что о космосе. Он же живет из будущего в прошлого. ….
Послушайте, а разве это возможно контрамоция? – сказал я.
Теоретически возможно, -- сказал Эдик. –Ведь половина вещества во Вселенной движется в обратную сторону по времени. Практически же этим никто не занимался.”
А. и Б. Стругацкие “Понедельник начинается в субботу”
Отрицательные энергии
- уравнение непрерывности
- ток
, 
Для свободной частицы:
,
Ток отрицательных зарядов:
Ток положительных зарядов:
Поменяем знак у Е и р:
а теперь еще у заряда e
Электрон с E>0, t>0 º
Позитрон с E<0, t<0
Литература:
1. Ф. Хелзен, А. Мартин. Кварки и лептоны. Москва, Мир, 1987. гл.3
