УДК 531/532:576.72+611.08:539.4
Влияние параметров модели вязкоупругой среды на деформирование в симметричном цикле нагрузки
, *
Коми филиал ГБОУ ВПО Кировская государственная медицинская академия Минздрава России, г. Сыктывкар, Бабушкина, 11
*ГБОУ ВПО Сыктывкарский лесной институт (филиал) Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии имени , г. Сыктывкар, Ленина, 39
*****@***ru, *****@***ru
Выполнено численное моделирование деформирования модельного вязкоупругого материала воздействием симметричной циклической нагрузки. Расчеты проведены для двух - и трех - параметрических моделей стандартного вязкоупругого континуума. Проанализировано влияние параметров моделей на деформацию и диаграмму напряжений. Рассмотрена возможность применения моделей для прогнозирования механических свойств биологических вязкоупругих материалов, в частности, костной ткани.
Ключевые слова: вязкоупругий материал, механическое напряжение, деформация, циклическая нагрузка, Модель Максвелла, модель Фойгта, стандартное вязкоупругое тело.
Вязкоупругие материалы проявляют ряд специфических свойств: релаксацию напряжения при постоянной деформации, ползучесть при постоянном напряжении, гистерезис деформации при циклическом нагружении и разгрузке и т. п. Подобными свойствами обладают пластмассы, некоторые композиционные материалы, биоткани и т. д. [1-2]. Моделирование механических свойств вязкоупругих сред в разных условиях нагружения, с одной стороны, интересно как задача механики, с другой - представляет медицинский интерес, так как выполнение экспериментальных исследований, особенно с биологическими тканями in vivo, зачастую невозможно.
Большой практический интерес представляет отклик материала на циклическое деформирование, так как в обычных физиологических условиях биологические ткани чаще всего подвергаются воздействию именно периодически изменяющихся нагрузок [3-5]. Известно, что сопротивление материалов нагрузкам, систематически изменяющими свою величину и знак, существенно отличается от сопротивления тех же материалов статическому или ударному действию нагрузок [6-7].
Цель настоящей работы - моделирование временной зависимости деформации вязкоупругого материала, подвергаемого действию периодической нагрузки. Расчеты выполнены для двухпараметрических моделей Максвелла и Фойгта и трехпараметрической модели Кельвина (стандартного вязкоупругого тела).
Одноосное деформирование вязкоупругого материала можно представить сочетанием простейших структурных элементов: упругого, подчиняющегося закону Гука 
, и вязкого, в котором напряжение и скорость деформации связаны соотношением ньютоновского типа 
(здесь и далее точка обозначает дифференцирование по времени). Параметром упругого элемента является модуль упругости Е, вязкого – коэффициент вязкости h. В модели Максвелла упругий и вязкий элементы соединены последовательно, в этом случае деформация и механическое напряжение связаны дифференциальным уравнением
. (1)
При параллельном соединении упругого и вязкого элементов, как предлагается в модели Фойгта, определяющим является дифференциальное уравнение
,
которое может быть представлено в виде,
. (2)
Известно[15], что общее решение уравнения (2) имеет вид
. (3)
Выполнив замену переменной под интегралом, получим
. (4)
В начальный момент времени 
примем 
, тогда из (4) следует
. (5)
С учетом (5) уравнение (4) запишется в виде
. (6)
Уравнение вида (6) называется интегральным уравнением Вольтера II рода. При решении уравнения (6) для различных временных зависимостей напряжения, в модели Фойгта определяются соответствующие временные зависимости для деформаций, т. е. отклик материала на внешнее воздействие.
В стандартной трехпараметрической модели вязкоупругого тела (модели Кельвина) упругий элемент с модулем 
последовательно соединяется с параллельно соединенными между собой упругим 
и вязким 
элементами. Дифференциальное уравнение, описывающее стандартную модель,
. (7)
Расчеты в представленных моделях выполняли для симметричного цикла нагружения с коэффициентом асимметрии
(8)
Напряжение задавали в виде
, (9)
где А – амплитуда напряжения, 
– круговая частота. Получены временные зависимости деформации при следующих характеристиках прикладываемого напряжения: частота - 1 Гц, амплитуда напряжения - 10 МПа. Параметры модели (модуль упругости и коэффициент вязкости) выбирали близкими к значениям модуля Юнга и модуля сдвига костной ткани.
Для модели Максвелла решение уравнения (1) относительно деформации имеет вид
. (10)
Расчеты показали, что зависимость деформации от времени является также периодической функцией (рис.1а). При варьировании коэффициента вязкости и постоянном модуле упругости амплитуда деформации изменяется незначительно, что свидетельствует о более сильном влиянии в модели параметра упругого элемента по сравнению с вязким элементом. Это подтверждается результатами расчетов в режиме варьирования модуля упругости и постоянном коэффициенте вязкости (рис.1б). В этом случае амплитуда деформации уменьшается в 2,2 раза при уменьшении модуля в 2,5 раза. Независимо от параметра, который изменяется в модели Максвелла, фаза деформации совпадает с фазой напряжения, график деформации симметричен относительно временной оси.
Решение уравнения Вольтерры (6) для модели Фойгта в условиях действия симметричного напряжения (9) и начальных условиях 
и 
:
. (11)
Параметром, оказывающим сильное влияние на деформацию в модели Фойгта, является коэффициент вязкости. Полученная серия кривых для фиксированного модуля упругости и различных коэффициентах вязкости (рис.2а) показывает, что при увеличении h в 10 раз амплитуда деформации уменьшается на порядок. Величина модуля упругости в этой модели незначительно влияет на величину деформации (рис.2б). Временная зависимость деформации в модели Фойгта имеет ассиметричность в первых периодах нагрузки, а при последующем нагружении становится симметричной. Деформация отстает по фазе от напряжения.
Решение уравнения (7) для модели Кельвина при периодической нагрузке имеет вид:
.(12)
Временные зависимости деформации, построенные для стандартной модели (рис.3а, б) качественно аналогично графикам 2а, б для модели Фойгта, однако амплитуда деформации в 2 раза больше в модели Кельвина. В данной модели изменение модуля упругости Е2 элемента, параллельно соединенного с вязким элементом, оказывает незначительное влияние на деформацию, также как и модуль упругости Е1. В расчетах, выполненных в стандартной модели вязкоупругого тела, также наблюдалось запаздывание деформации от напряжения по фазе.
Таким образом, проведенное исследование показывает, что наилучшее согласование известными с экспериментальными результатами по циклическому деформированию вязкоупругого материала имеет модель стандартного вязкоупругого тела.
Литература:
1. , Комлев на основе фосфатов кальция. М.: Наука, 20с.
2. Кнетс биологических тканей // Механика полимеров. 1977. № 3. С.510-518.
3. , Шукейло . СПб.: Политехника, 20с.
4. Биоматериалы, искусственные органы и инжиниринг тканей. М.: Изд-во «Техносфера». 20с.
5. Dominique P. Pioletti. Biomechanics in bone tissue engineering // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, Vol. 13, No. 6. December 2010, С. 837–846.
6. Беляев материалов. М.: Наука, 19с.
7. Гастев курс сопротивления материалов. М.: Наука, 19с.
Рис.1а. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Максвелла при частоте 1 Гц, модуле упругости 0,6 ГПа, коэффициенте вязкости от 1 ГПа (1) до 10 ГПа (2)
Рис.1б. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Максвелла при частоте 1 Гц, коэффициенте вязкости 1 ГПа, модуле упругости от 0,6 ГПа (1) до 1,5 ГПа (2)
Рис.2а. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Фойгта при частоте 1 Гц, модуле упругости 0,6 ГПа, коэффициенте вязкости от 1 ГПа (1) до 10 ГПа (2)
Рис.2б. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Фойгта при частоте 1 Гц, коэффициенте вязкости 1 ГПа, модуле упругости от 0,6 ГПа (1) до 1,5 ГПа (2)
Рис.3а. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Кельвина при частоте 1 Гц, модулях упругости Е1 = 90 ГПа и Е2 = 0,6 ГПа, коэффициенте вязкости от 1 ГПа (1) до 10 ГПа (2)
Рис.3б. Временная зависимость напряжения (пунктирная линия) и деформации для симметричного цикла нагружения в модели Кельвина при частоте 1 Гц, модуле упругости Е1 = 90 ГПа, модуле упругости Е2 от 0,6 ГПа (1) до 1,5 ГПа (2), коэффициенте вязкости 1 ГПа
Influence of model parameters of a viscoelastic medium on the deformATION in a symmetric cycle OF load
M. Y.Demina, *L. S.Polugrudova
Komi Branch GBOU VPO Kirov State Medical Academy, Russian Ministry of Health, *GBOU VPO Syktyvkar Forest Institute (branch) of the St. Petersburg State Forest Technical Academy named S. M.Kirov
Numerical simulation of deformation of model viscoelastic material by symmetrical cyclic loading is completed. The calculations were performed for two-and three-parameter's models of the standard viscoelastic continuum. The influence of model parameters on the deformation and diagram of stress have analyzed. Possibility of application models to predict the mechanical properties of viscoelastic biological materials, particularly bone tissue, have examined.
Key words: a viscoelastic material, the stress, strain, cyclic loading, the Maxwell model, the Voigt model, the standard viscoelastic body.
