Классификация квазигармонических уравнений колебаний относительно преобразований обратной связи

УДК 514.8+517.935.4

КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

,

Московский государственный университет им. ,

физический факультет, Москва, Ленинские горы 1-2.
*****@, *****@***com

В работе рассматривается задача классификации квазигармонических уравнений колебаний с управляющим параметром относительно преобразований обратной связи. Найдены преобразования обратной связи, сохраняющие класс уравнений колебаний, и их дифференциальные инварианты. Найдены операторы инвариантных дифференцирований. Доказана теорема эквивалентности. В частности, проблема эквивалентности решена для параметрического осциллятора. Результаты предлагаемой работы были анонсированы в [1].

Ключевые слова: классификация уравнений, квазигармоническое уравнение колебаний, преобразования обратной связи, пространство джетов, инфинитезимальные преобразования, псевдогруппа Ли, дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования, локальная эквивалентность, параметрический осциллятор.

Введение

В работе [2] решена задача классификации гамильтоновых систем с одной степенью свободы и со скалярным управляющим параметром. Обобщение на гамильтоновы системы с произвольным числом степеней свободы проведено в работе [3]. В предлагаемой работе мы рассматриваем проблему классификации для дифференциальных уравнений второго порядка со скалярным управляющим параметром. Аналогичные методы классификации гамильтоновых систем с управляющим параметром применялись в работах [2–5].

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

где — гладкая функция. Здесь — скалярный управляющий параметр. Это уравнение имеет многочисленные приложения. Его частным случаем при является уравнение гармонических колебаний с частотой, зависящей от управляющего параметра.

Уравнение будем называть квазигармоническим уравнением колебаний с управляющим параметром.

Рассмотрим задачу эквивалентности и классификации квазигармонических уравнений колебаний с управляющим параметром относительно преобразований обратной связи [1]:

Такие преобразования образуют псевдогруппу. Они широко используются в теории управления (см. [6–16]).

Преобразования обратной связи, сохраняющие класс уравнений

Пусть — пространство 2-джетов гладких функций от трех переменных с каноническими координатами (см. [17]). В этом пространстве уравнение определяет гиперповерхность (см. [17]):

которую также будем называть квазигармоническим уравнением колебаний с управляющим параметром.

Пусть и — два уравнения, отвечающие различным функциям и . Преобразование обратной связи переводит уравнение в уравнение тогда и только тогда, когда

где — продолжение преобразования в пространство 2-джетов. Это равносильно выполнению равенства:

где — некоторая функция на пространстве .

Следуя подходу Софуса Ли (см. [18]), вместо общих преобразований обратной связи будем рассматривать инфинитезимальные преобразования:

Здесь — гладкие функции, зависящие от параметра , при нулевом значении этого параметра определяющие тождественное преобразованием пространства .

Векторные поля, отвечающие преобразованиям, которые сохраняют класс уравнений вида , можно представить как линейные комбинации с постоянными коэффициентами векторных полей:

Локальные группы сдвигов вдоль этих векторных полей имеют следующий вид:

Действие преобразований на функцию

Преобразование не меняет вида уравнений . Остальные преобразования действуют следующим образом:

Построим тривиальное векторное расслоение с базой :

Сечениями этого расслоения являются гладкие функции:

Преобразование не меняет вида функции f. Преобразования образуют псевдогруппу Ли . Соответствующая алгебра Ли порождена векторными полями

Здесь — произвольная гладкая функция.

Дифференциальные инварианты преобразований обратной связи

Определение. Функция на пространстве k-джетов сечений расслоения называется дифференциальным инвариантом порядка уравнения относительно псевдогруппы Ли , если она постоянна на орбитах продолженной псевдогруппы группы Ли (см. [19]).

Теорема. Функции

и

являются базовыми дифференциальными инвариантами второго и третьего порядков соответственно.

Инвариантные дифференцирования преобразований обратной связи

Определение. Оператор

называется G-инвариантным дифференцированием, если он коммутирует с каждым элементом любого продолжения алгебры Ли. Здесь и — функции на пространстве , и — операторы полных производных по переменным и соответственно (см. [17]).

Теорема. Дифференциальные операторы

являются G-инвариантными дифференцированиями.

Инвариантные дифференцирования позволяют получать новые дифференциальные инварианты из уже известных.

Теорема. Если — инвариантное дифференцирование и — дифференциальный инвариант, то функция также является дифференциальным инвариантом.

Эквивалентность уравнений

Определение. Уравнение будем называть регулярным, если

Здесь — значение дифференциального инварианта на функции .

Для регулярных уравнений функции , можно взять в качестве координат на вместо координат .

Поскольку функции , и также являются функциями аргументов , то между ними и функциями , существует функциональная зависимость:

Теорема. Два регулярных уравнения и локально G-эквивалентны тогда и только тогда, когда функции и тождественно равны .

Параметрический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера проблему эквивалентности для уравнения гармонических колебаний с частотой, зависящей от управляющего параметра.

Теорема. Уравнение локально эквивалентно уравнению

относительно преобразований обратной связи тогда и только тогда, когда

для некоторого натурального числа .

Литература

1. , Кирюхин инварианты

квазигармонических уравнений колебаний с управляющим

параметром // Тезисы докладов международной конференции

“Геометрические методы в физике и теории управления”,

17–23 декабря 2012, Москва. С. 34.

2. Kushner A., Lychagin V. Petrov Invariants for 1-D Control

Hamiltonian Systems // Global and Stochastic Analysis. 2012. Vol. 2,

No. 1. P. 241–264.

3. , Лычагин Петрова гамильтоновых

систем с управляющим параметром // Автоматика и телемеханика,

№ 3, 2013, стр. 83–102.

4. , Шиганкова обобщенных

уравнений Бюргерса // Известия ПГПУ им. , т. 30,

2012, стр. 89–97.

5. C. Классификация уравнений Клейна-Гордона на

плоскости // Известия ПГПУ им. т. 1, 2011.

6. , Сачков теория управления. //

М.: “Физматлит”, 20с.

7. Ким автоматического управления. Т.2.

Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. //

М.: “Физматлит”, 20c.

8. Петров труды. // М.: “Наука”, 1983. т. 1. Теория

автоматического управления.

9. , , Соколов

колебаниями. // М.: “Наука”, 19с.

10. Agrachev A., Zelenko I. On feedback classification of control-affine

systems with one and two-dimensional inputs // arXiv:math/0

2005, pp.1–26.

11. Gardner R. B., Shadwick W. F. Feedback equivalence for general

control systems // Systems & Control Letters,, p.15–23.

12. Hermann R. The theory of equivalence of Pfaffian systems and input

systems under feedback // Math. Systems Theory, p. 343–356.

13. Jakubczyk B. Equivalence and invariants of nonlinear control systems

// In “Nonlinear controllability and optimal control”. Ed. Sussmann H. J.,

NY, Marcel Dekker, 1990.

14. Lychagin V. V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control

Systems of the 1-st Order // In “Geometry, topology and there

applications”, Proceedings of the Institute of mathematics of NAS of

Ukraine, 2009, 6(2), pp. 288–302.

15. Lychagin V. V. Feedback Differential Invariants // Acta Applicandae

Mathematicae, 109(1), 2010, pp. 211–222.

16. Respondek W. Feedback classification of nonlinear control systems in

R2 and R3 // In “Geometry of Feedback and Optimal Control”.

Ed. Jakubczyk B. and Respondek W., NY, Marcel Dekker, 1997,

p. 347–382.

17. , , Лычагин в

геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. //

М.: “Наука”. – 1986. – 336 C.

18. Lie S. Vorlesungen über differentialgleichungen mit bekannten

infinitesimalen transformationen // S. Lie. – Vol. 1–3, Leipzig, 1891–

1896. // Перевод: С. Ли. Симметрии дифференциальных уравнений. –

Т. 1–3. – Москва-Ижевск.: “R&C Dynamics–ISLC”, 2011.

19. , , Лычагин

понятия дифференциальной геометрии. // Итоги науки и техники.

Серия “Современные проблемы математики. Фундаментальные

направления”. – T. 28. М.: ВИНИТИ, 1988, 297 С.

THE CLASSIFICATION OF QUASI-HARMONIC OSCILLATION EQUATION WITH RESPECT TO FEEDBACK TRANSFORMATIONS.

O. M. Kiriukhin, D. S. Gritsenko

Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Russia,

Moscow, GSP-1, 1-2 Leninskiye Gory.
*****@, *****@***com

The classification problem for the control-parameter-dependent quasi-harmonic oscillator equation with respect to feedback transformations is discussed. The feedback transformations preserving the class of equations and their differential invariants are constructed. The Lie pseudo-group of the feedback transformations is constructed. Finally, the equivalence problem for regular quasi-harmonic oscillation equation is solved. As an example we consider the equation of parametric oscillator.

Keywords: the classification problem, quasi-harmonic oscillation equation, feedback transformations, jet space, infinitesimal transformations, Lie pseudo-group, differential invariant, invariant differential operator, local equivalence, parametric oscillator.