Материалы XLII Всероссийской олимпиады
школьников по физике (2007 – 2008 учебный год)
Региональный этап
Теоретический тур
Задача 1. Встречное движение
Из пункта А в пункт В выехал автомобиль «Волга» со скоростью 80 км/ч. В то же время навстречу ему из пункта В выехал автомобиль «Жигули». В 12 часов дня машины проехали мимо друг друга. В 12:32 «Волга» прибыла в пункт В, а ещё через 18 минут «Жигули прибыли в А. Вычислите скорость «Жигулей».
Возможное решение
«Волга» проехала путь от пункта А до места встречи с «Жигулями» за время tx, а «Жигули» этот же участок проехали за t1=50 минуты. В свою очередь, «Жигули» проехали путь от пункта В до места встречи с «Волгой» за время tx, а «Волга» этот же участок проехала за t2=32 минуты. Запишем эти факты в виде уравнений:
, 
,
где v1 – скорость «Жигулей», а v2 – скорость «Волги». Поделив почленно одно уравнение на другое, получим:
.
Отсюда v1=0,8×v2=64 км/ч.
Задача 2. Н-образная несимметричная трубка
Какой максимальный объём воды плотностью r1=1,0 г/см3 можно налить в Н-образную несимметричную трубку с открытыми верхними концами, частично заполненную маслом плотностью r2=0,8 г/см3? Площадь горизонтального сечения вертикальных частей трубки равна S. Объёмом горизонтальной части трубки можно пренебречь (рис. 1). Вертикальные размеры трубки и высота столба масла приведены на рисунке (высоту h считать заданной).
Примечание. Затыкать открытые концы трубки, наклонять её или выливать из неё масло запрещено.
Возможное решение
Важно, чтобы в коротком колене осталось как можно меньше масла. Тогда в высокой трубке можно будет создать столб максимальной высоты, превышающей 4h. Для этого начнём наливать воду в правое колено. Так будет продолжаться до тех пор, пока уровень воды не достигнет 2h в правом колене, а уровень масла, соответственно, – 3h в левом. Дальнейшее вытеснение масла невозможно, так как граница раздела масло-вода в правом колене станет выше соединительной трубки, и в левое колено начнёт поступать вода. Процесс добавления воды придётся прекратить, когда верхняя граница масла в правом колене достигнет верха колена. Условие равенства давлений на уровне соединительной трубки даёт:
,
откуда 
. Окончательно, воды удалось налить 4,25h.
Задача 3. Электронагреватель
Пространство между двумя коаксиальными металлическими цилиндрами заполнено водой, находящейся при температуре t0=20 оС (рис. 1). Расстояние между цилиндрами равно 1 мм и значительно меньше их радиусов. Цилиндры подключают к источнику постоянного напряжения U=42 В. Через какое время вода между цилиндрами закипит? Теплоемкостью цилиндров и потерями теплоты пренебречь. Атмосферное давление нормальное. Плотность воды r=1000 кг/м3, удельная теплоемкость воды с=4200 Дж/(кг×оС); удельное электрическое сопротивление воды rэ=3200 Ом×м.
Возможное решение
Электрическое сопротивление слоя воды можно рассчитать по формуле
,
где d – расстояние между цилиндрами; S – площадь поверхности контакта, ℓ – длина окружности цилиндров; h – высота цилиндров. Согласно закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделившейся при прохождении электрического тока, равно 
, (1)
где t – время прохождения тока. Этого количества теплоты должно хватить для нагревания воды: 
. (2)
Приравнивая выражения (1) и (2), находим время нагревания
с »10 мин.
Задача 4. Симметричная схема (1)
В электрической цепи (рис. 1) сила тока, текущего через амперметр А0, равна I0. Сопротивление всех резисторов одинаково и равно R. Вычислите силу тока I1, текущего через амперметр А1. Подвижные контакты переменных резисторов установлены на середину так, что сопротивление от них до соответствующих выводов резистора равно R/2.
Возможное решение
Пусть сила тока, протекающего через резистор R1, равна I2 (рис. 2). В силу симметрии схемы относительно оси ВС (пунктирная линия) сила тока, протекающего через R2, также равна I2. Сила тока, протекающего через остальные резисторы, легко находится из той же симметрии. Если схему «сложить» относительно осевой линии ВС, то получится эквивалентная схема, представленная на рисунке 3. Сопротивления резисторов в ней равны R/2 и R/4 из-за возникшего параллельного соединения резисторов сопротивлением R и R/2 после операции «сложения». Ещё упростим схему (рис. 4). Поскольку в цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов, силы тока обратно пропорциональны их сопротивлениям, то
, откуда 3I1=2I2.
С другой стороны, I1+2I2=I0. Отсюда находим I1=0,25I0.
Задача 1. Две планки
Тонкую длинную планку перемещают вдоль оси Ox с постоянной скоростью v1. Её пересекает под углом a другая планка (рис. 1), скорость которой v2. С какой скоростью движется вдоль оси Oy точка А, лежащая на пересечении планок?
Возможное решение
Пусть в некоторый момент времени планки пересекаются в точке А, лежащей на оси Ox. Через промежуток времени Dt они будут пересекать ось Ox соответственно в точках А1 и А2, которые отстоят друг от друга на расстояние 
.
За время Dt место пересечения планок сместилось вдоль оси Oy на расстояние 
. Следовательно, искомая скорость
.
Задача 2. Любителям водных походов
При гребле на байдарке по «гладкой воде» в месте вытаскивания весла из воды образуется маленький водоворотик. Если гребец делает n1=24 гребка в минуту, то расстояние между соседними водоворотиками равно L1=4 м. Вычислите расстояние L2 между водоворотиками, если тот же гребец на той же лодке будет делать n2=20 гребков в минуту. Считайте, что в обоих случаях за один гребок спортсмен всегда совершает одну и ту же работу, а лодка движется с постоянной скоростью. Со стороны воды на лодку действует сила сопротивления F, прямо пропорциональная скорости лодки.
Возможное решение
Пусть любителем водных походов за один гребок совершается работа А0. Тогда в первом случае он развивает мощность 
, а во втором случае 
.
По условию скорости лодок в обоих случаях постоянны и равны v1 и v2. Следовательно, мощность гребца затрачивается на преодоление сопротивления воды: 
, 
.
С учетом того, что 
, где a – коэффициент пропорциональности, последние равенства можно переписать в виде: 
, 
.
Приравняв известные выражения для мощностей, получим:
, 
.
Следовательно, 
.
Расстояние между соседними водоворотами в первом и во втором случаях равны соответственно: 
, 
.
Отсюда 
.
Окончательно 
»4,4 м.
Задача 3. О свинце, плавающем в ртути
U-образная длинная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения заполнена ртутью так, что в каждом из открытых в атмосферу вертикальных колен остаётся слой воздуха высотой H=320 мм. Правое колено плотно закрыли пробкой, а в левое опустили кусок свинцовой проволоки. Зазор между проволокой и трубкой много меньше диаметра трубки (рис. 1). Какой максимальной длины L могла быть проволока, если при этом ртуть не вылилась из зазора между проволокой и трубкой?
Примечание. Плотность ртути rHg=13,55 г/см3, плотность свинца rPb=11,35 г/см3. Атмосферное давление p0=720 мм. рт. ст., температура в течение всего опыта оставалась постоянной.
Возможное решение
Пусть площадь сечения проволоки равна S. Плотность свинца меньше плотности ртути, поэтому проволока плавает в левом колене трубки, опустившись ниже первоначального уровня ртути на глубину DН. При наибольшей длине проволоки ртуть слева доходит до края трубки. Давление воздуха в правом колене возрастет до p за счёт подъёма уровня ртути на высоту DН.
По закону Паскаля
, 
.
По закону Бойля-Мариотта для воздуха в правом колене
.
Определим отсюда DН:
,
.
Отсюда 
мм.
Условие плавания проволоки: 
.
Окончательно 
480 мм.
Задача 4. Испарение тумана
В закрытой камере находится m1=1 мг взвеси мельчайших капелек воды и m2=100 мг водяного газа (пара). На сколько процентов возрастёт давление в камере к тому моменту, когда в результате испарения радиус капелек r уменьшится на 4%? Считайте, что температура в камере поддерживается постоянной, а диаметр всех капелек одинаков.
Возможное решение
Пусть сначала давление пара в камере равно
.
При испарении Dm граммов воды с поверхности капель давление в камере возрастет на 
.
Отношение 
.
Масса воды, содержащейся в капельной форме, как функция от r, равна
,
где N – число капель; r - плотность воды; а a – некоторый численный коэффициент.
Масса капель после испарения (новый радиус r'=r-Dr):
.
Следовательно, испарившаяся масса воды равна
.
Отношение 
. Следовательно,
.
Задача 5. Симметричная схема (2)
В электрической цепи амперметр А показывает I1=32 мА. Сопротивление всех резисторов одинаково и равно R. Вычислите силу тока Ix, который будет протекать через амперметр, если перегорит резистор, заштрихованный на схеме. Напряжение, подаваемое на разъёмы P и Q цепи, постоянно (рис. 1).
Возможное решение
Пусть ток течет от узла P к узлу Q. Укажем на схеме направление тока и силу тока в соответствующих участках цепи (рис. 2). С учетом симметрии схемы относительно пунктирной линии) её можно упростить, «сложив» верхнюю и нижнюю части (рис. 3). Приведем последнюю схему к более удобному виду (рис. 4). Сила тока I2 в нижней ветви в два раза меньше, чем I1. Следовательно, сила тока, втекающего в цепь, 
.
Сопротивление всей цепи 
,
а напряжение между узлами P и Q равно 
.
Если перегорит резистор, заштрихованный на схеме, ток через нижнюю часть цепи течь не будет. В этом случае эквивалентная схема цепи может быть представлена в виде (рис. 5). Теперь сопротивление всей цепи 
, а сила тока 
.
Сила тока, протекающего через амперметр и последовательно соединённый с ним резистор R, вдвое больше, чем через верхний участок цепи с сопротивлением 2R (при параллельном соединении силы токов обратно пропорциональны сопротивлению резисторов). Следовательно, 
мА.
Задача 1. Об одной проблеме общения с инопланетянами
Ученые обратили внимание на то, что единицы длины, времени и массы «приспособлены» к людям и связаны с особенностями планеты Земля, но могут оказаться «неудобными» при контактах с представителями внеземных цивилизаций. Поэтому было предложено в качестве основных механических единиц взять фундаментальные постоянные с»3×108 м/с, G»7×10-11 Н×м2/кг2 и ħ»1×10-34 Дж×с. Тогда единицы длины ℓp, времени tp и массы mp будут производными от этих физических величин и выражаться через них. Такие единицы назвали планковскими.
Выразите единицы длины ℓp, времени tp и массы mp через «новые» основные единицы c, G и ħ, взятые в соответствующей степени. Примите коэффициент пропорциональности между производной единицей и основными единицами равным 1. Сколько метров в единице длины ℓp, секунд в единице времени tp и килограммов в единице массы mp?
Возможное решение
Размерность скорости света – м/с. Заметив, что Н=кг×м/с2, а Дж=кг×м2/с2, получим соответствующую размерность для гравитационной постоянной м3/(кг×с2) и постоянной Планка кг×м2/с.
Найдем размерность комбинации 
:
.
Для ℓp имеем
откуда 
Отсюда 
м.
Для tр:
откуда 
Отсюда 
с.
Отметим, что можно было не решать систему, а сразу заметить, что tр=ℓр/с. Для mр:
откуда 
Отсюда 
кг.
Задача 2. Цилиндр и кубик на наклонной плоскости
На наклонной плоскости лежит кубик массой m. На ту же плоскость аккуратно кладут цилиндр так, что он соприкасается с боковой гранью кубика (рис. 1). При какой максимальной массе Mmax цилиндра система будет оставаться в равновесии? Коэффициент трения между всеми поверхностями, о которых идет речь в задаче, m=0,5. Угол a наклона плоскости таков, что tga=1/4. Радиус цилиндра меньше длины ребра кубика.
Возможное решение
Направим ось Ox вдоль наклонной плоскости сверху вниз, а ось Oy – перпендикулярно ей вверх (рис. 2). В проекции на оси Ox и Oy сумма всех сил, действующих на кубик равна 0:
Из данной системы можем найти N1:
.
Для цилиндра в проекции на ось Ox сумма сил равна:
.
Так как цилиндр не вращается, сумма моментов сил, действующих на него, равна 0. В качестве полюса, относительно которого заданы моменты, удобно принять ось цилиндра:
.
Зная Fтр=mN1 и силу N1, находим
.
Задача 3. Расширение гелия
Один моль гелия расширяется так, что его давление линейно зависит от объёма. Температуры в исходном и конечном состояниях одинаковы. Вычислите работу, совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность между максимальной и минимальной температурой равна DT, а объём гелия увеличивается в k раз, причем k>1.
Возможное решение
Пусть в начальном состоянии объём гелия V0, давление p0, а температура T0. По условию конечный объём V1. Так как начальная и конечная температуры газа равны, из уравнения состояния найдём конечное давление:
.
Работа, совершённая газом в указанном процессе, численно равна площади под графиком (рис. 1):
.
Запишем уравнение процесса расширения гелия:
.
Перепишем его в виде:
. (2)
Продифференцируем это уравнение по объёму:
. (3)
Найдем объём и давление гелия в состоянии, где его температура максимальна. Для этого продифференцируем уравнение состояния (pV=nRT) по объёму:
. (4)
Из (2), (3), и (4) найдём:
, 
.
Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния и состояния, в котором температура гелия максимальна и равна Т0+DТ:
, 
.
Из этих двух уравнений найдём:
.
С учётом последнего уравнения, выражение для работы примет вид:
.
Задача 4. Замыкание и размыкание ключа
В электрической цепи (рис. 1) ключ K замкнули на некоторое время t, а потом разомкнули. За время после размыкания ключа через катушку индуктивности прошёл заряд q2=9 мкКл. Какой заряд q1 протёк через резистор R за время, пока ключ был замкнут? Вычислите продолжительность времени t, на которое замкнули ключ K. Сопротивление резистора R=500 кОм, ЭДС батарейки U=9 В. Внутренним сопротивлением батарейки и сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.
Возможное решение
После замыкания ключа в катушке индуктивности возникает ЭДС индукции, равная
.
Так как все элементы цепи можно считать идеальными, а в момент замыкания ключа ток по цепи не протекал, можно записать
.
Отсюда
. (1)
За время t через резистор протечёт заряд
. (2)
После размыкания ключа сила тока в цепи будет изменяться по закону
,
то есть
.
За время переходного процесса сила тока в цепи упадет от IK до 0, а через резистор протечёт заряд
. (3)
Из уравнений (1) и (3) следует:
с.
Подставив найденное время t в уравнение (2), получим:
мкКл.
Задача 5. Призма в аквариуме
В аквариуме, заполненном прозрачной жидкостью, закреплена тонкостенная полая равнобедренная призма. Схематично эта ситуация изображена на рисунке 1. Узкий пучок света, распространяющийся параллельно дну аквариума, после прохождения призмы выходит из неё перпендикулярно её боковой грани. Для каких значений показателя преломления жидкости такая ситуация возможна?
Возможное решение
Согласно теореме о равенстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами угол падения равен половинному углу при вершине полой призмы: 
, а угол преломления равен углу при вершине полой призмы: 
. По закону Снелла 
и после соответствующей подстановки получим
.
Воспользуемся тригонометрической формулой 
.
Тогда получим:
.
По физическому смыслу задачи 0<a<p/2. С учетом этого неравенства получаем:
.
Экспериментальный тур
9 класс
Задача 1. Нарушение изоляции длинной линии
В закрытой коробке находится два медных провода (витая пара) одинаковой длины. Выводы, соответствующие началу линии и её концу, подписаны. Между проводами на расстоянии x от входа произошло нарушение изоляции. Определите длину L одного провода. Найдите расстояние до места повреждения изоляции. Вычислите сопротивление R повреждённой изоляции. Удельное сопротивление меди r=17×10-3 Ом×мм2/м.
Оборудование. Коробка с четырьмя промаркированными выводами, мультиметр, микрометр.
Рекомендации для организаторов. Необходимо предоставить участникам описание микрометра и мультиметра.
Возможное решение
1. Определим длину провода. Для этого найдём, какие из выводов 1, 2, 3, 4 (рис. 1) принадлежит одному проводу (например, 1 соединён с 4, так как сопротивление между ними меньше, чем между 1 и 3). Тогда Rп=R1-4=R2-3. Далее, измерим микрометром диаметр провода d. Рассчитаем длину провода:
, и 
.
2. Пусть a=b. Определим a и R.
При разомкнутых концах 3 и 4 R1-2=2aRп+R.
При разомкнутых контактах 1 и 2 R3-4=2(1-a)Rп+R.
Вычитая, получим R1-2-R3-4=(4a-2)Rп и окончательно
, 
.
Складывая, найдём R:
.
10 класс
Задача 1. Физические свойства шприца
Определите массы корпуса шприца m1 и его поршня m2, а также расстояние ℓ1 от основания иглы до центра масс шприца и расстояние ℓ2 от основания поршня до его центра масс (в делениях шприца).
Оборудование. Шприц, вода, круглый карандаш.
Примечание. Плотность воды r=1000 кг/м3.
Возможное решение
Основной идеей данной задачи является исполтзование карандаша для сооружения опоры, уравновешивая на которой шприц или его части, можно находить положение их центра масс. Для измерения длин используется шкала на шприце.
1. Разберём шприц и уравновешиванием найдем положения ℓ1 и ℓ2 центров масс корпуса и поршня шприца.
2. Выдвинем поршень шприца на некоторое расстояние х0 (в делениях шкалы). Уравновешивая шприц на карандаше, найдём положение его центра масс х1 (рис. 1). Далее, наберём в шприц объём воды х0 (по шкале) и найдём новое положение центра масс системы х2 (рис. 2). В данном измерении положение центра масс шприца с поршнем также равно х1. Центр масс
воды отстоит от основания иглы на х0/2. Её массу можем узнать по известным плотности и объёму: 
.Тогда выражение для центра масс системы:
.
Отсюда найдем сумму масс корпуса и поршня шприца:
.
3. Аналогичным способом по двум измерениям положения центра масс системы корпус-поршень (например, при полностью выдвинутом и полностью вставленном поршне) определим отношение массы поршня к массе корпуса шприца: 
. Таким образом, получаем систему:
, откуда 
.
11 класс
Задача 1. Пустая коробка
Определите массу пустой коробки от сока. Для этого:
1. Исследуйте зависимость угла наклона a (или его тангенса) от массы m налитой в коробку воды для равновесного положения коробки, установленной на самое короткое ребро (рис. 1).
2. Выведите формулу зависимости a(m) для случая, когда уровень воды в коробке находится ниже точки О.
3. По результатам исследования (пункты 1 и 2) вычислите массу коробки не менее чем для 4-х различных значений.
4. Оцените погрешность измерения.
Оборудование. Пустая коробка из под сока (объёмом 1 л), стакан (200 мл) с водой, шприц (10 мл), линейка.
Рекомендации для организаторов. Вместимость коробки из-под сока должна быть 1 л.
Возможное решение
Обозначим а – ширина коробки, b – длина её короткого ребра, с – высота.
Прежде всего, определим, при каком условии уровень воды в коробке будет ниже точки О. Введем для этого обозначения AD=x, AE=y (рис. 2). Масса налитой воды равна произведению объёма треугольной призмы высотой b на плотность воды: 
. Поскольку 
, то
и 
.
Чтобы уровень воды не доходил до О, необходимо x<a, или
.
При проведении эксперимента следует следить за выполнением данного неравенства.
Условием равновесия коробки является равенство моментов сил Mg и mg относительно оси вращения (рис. 3). Сила тяжести, действующая на коробку, приложена в точке пересечения диагоналей O/, а сила тяжести, действующая на призму воды, приложена в точке Т – центре тяжести треугольника AED, находящемся в точке пересечения медиан треугольника, то есть на расстоянии одной трети длины отрезка AP от точки P (EP=PD).
Плечом силы Mg является отрезок GA. Его длина равна половине разности AJ-HJ, где AJ и HJ – проекции рёбер коробки с и а соответственно на горизонтальное направление. Таким образом,
.
Плечом силы mg является отрезок AF. Его длина составляет две трети от разности AK-PО, где AK – проекция отрезка длиной x на горизонтальное направление, а PО – половина гипотенузы прямоугольного треугольника AED с катетами x и y. Следовательно,
.
С учётом этих выражений равенство моментов сил Mg и mg можно записать в виде
.
После алгебраических преобразований получим
.
При проведении эксперимента необходимо измерить a, b и c. Далее, нальём в коробку некоторое количество воды и, измерив тангенс угла a, соответствующий положению равновесия, определим при помощи полученной формулы массу коробки.
