Брянская корпоративная региональная олимпиада учащейся молодежи
Задания по математике
Заочный тур, 2012 год
Решение
Задание 1.
Решите уравнение:
Решение:
Пусть 
, t≥0,тогда 
=>
посторонний корень,
.
Итак, 
=6, 
=36, 
x=±5.
Ответ: 5;-5.
Задание 2.
Найдите разность между наибольшим и наименьшим целыми решениями неравенства:
(
)(
)≤5.
Решение:
Пусть 
тогда (t+1)(t-3)≤5;
(t-4)(t+2)≤0
+ - +
-2 4 t t
[-2;4].
, 
,
. 
.
x R;
x[-1-
] => x[-1-]
; D=4+16=20;
+ - +
-1-
-1+ t ; t[-1-]
Наибольшее целое решение неравенства: 1. Наименьшее целое решение неравенства: -3. Разность между наибольшим и наименьшим целыми решениями неравенства: 4.
Ответ: 4.
Задание 3.
Найдите значение выражения:
,если 
Решение:
=
=
;
; 
.
.
Ответ: 7.
Задание 4.
В 
АВ=5, BC=10, AC=
Найти 
образованного высотой АН, медианой АМ и биссектрисой ВК данного треугольника
 | |
 | |
| |
(по формуле Герона)
2) Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно 
3) Треугольник АВМ –равнобедренный. Следовательно ВР - медиана, высота. 
4) Найдём АМ. (Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).
Пусть АМ=m
5) Из треугольника АВМ найдём ВР.
6) Треугольник АОР подобен 
ВАР ;
7) 
Ответ: 
Задание 5.
Решите систему уравнений:
x+y+xy=41
x+z+xz=26
y+z+yz=125.
Решение:
1+x+y(1+x)=42 (1+x)(1+y)=42
1+x+z(1+x)=27 ; (1+x)(1+z)=27;
1+y+z(1+y)=126 (1+y)(1+z)=126
(1+x)(1+y)(1+z)=±378;
Решая данное уравнение с каждым из уравнений системы, получим две тройки чисел: (-4;-15;-10); (2;13;8).
Ответ: (-4;-15;-10); (2;13;8).
Задание 6.
Решите уравнение:
Решение:
94cos (
)= 
Рассмотрим функцию y=
, тогда данное уравнение примет вид: y()=y(8+6x).
С учетом, что y= - функция четная, докажем ее монотонность на промежутке t
[0;+∞].
Непосредственная проверка показывает, что при любом t [0;+∞), 
=> функция y(t)- возрастает на данном промежутке, а, следовательно, все свои значения принимает только один раз, т. е. 
Учитывая, что y(t)- четная, имеем: 
)
; 
;
=0 ; 
D=68; 
Ответ: -4; -2;
.
