Тригонометрические формулы (стр. 2 )

Решение. Так как sin2  = 1 – cos2  = 1 – = и 0 < < , то sin  > 0. Поэтому sin  = = .

Замечание. При выполнении этого зания лучше избегать записи: sin  =
= , так как, имея опыт вычисления корней квадратного уравнения по формуле , учащиеся могут подумать, что имеется два значения sin , отвечающих условию задачи, а это не так.

577(823). Если 0 и sin  = 1 + b, то какие значения может принимать b? Определите cos .

Решение. Так как 0 , то 0 sin  1, то есть то 0 1 + b 1, откуда следует, что –1 b 0. Так как 0 , то cos  0 и cos  =
= = = .

582(828). Расположите в порядке возрастания числа:

а) sin (–55°), sin 600°, sin 1295°.

Решение. Выразим синусы данных углов через синус углов из первой четверти:

sin (–55°) = –sin 55°,

sin 600° = sin (240° + 360°) = sin 240° = sin (180° + 60°) = –sin 60°,

sin 1295° = sin (215° + 3×360°) = sin 215° = sin (180° + 35°) = –sin 35°.

Так как углы 55°, 60° и 35° принадлежат первой четверти, в которой большему углу соответствует больший синус, то sin 35° < sin 55° < sin 60°.

Но тогда –sin 35° > –sin 55° > –sin 60°, поэтому sin 1295° > sin (–55°) > sin 600°.

583(829). Сравните: а) sin 91° и sin 92°.

Решение. 91° и 92° — углы второй четверти, в которой большему углу соответствует меньший синус. Так как 91° < 92°, то sin 91° > sin 92°.

584(830). Сравните: а) cos 101° и cos 157°.

Решение. 101° и 157° — углы второй четверти, в которой большему углу соответствует меньший косинус. Так как 101° < 157°, то cos 101° > cos 157°.

585(831). Сравните: а) cos 1,6 и cos 1,68.

Решение. 1,6 и 1,68 — углы четвертой четверти, в которой большему углу соответствует больший косинус. Так как 1,6 < 1,68, то cos 1,6 < cos 1,68.

Промежуточный контроль. С–24*.

10.3. Тангенс и котангенс угла

В данном пункте учебника вводятся понятия тангенса и котангенса угла как отношения синусов и косинусов этого угла: и , выписываются углы , для каждого из которых не определён tg  или ctg . Подчёркивается, что для тех углов , для которых определён tg , он единственный; для тех углов , для которых определён ctg , он единственный.

Здесь, как и при введении синуса и косинуса угла, желательно начать с определений tg  и ctg  для острого угла прямоугольного треугольника, получить все «табличные» значения tg  и ctg  для острого угла .

Если учащиеся выучат эти значения, то, с учётом знака тангенса и котангенса, они будут легко находить значения тангенса и котангенса для углов, связанных с точками, отмеченными на рисунках 41 (а – г).

С помощью определений тангенса и котангенса угла и свойств синуса и косинуса угла, доказаны основные свойства тангенса и котангенса угла:

tg ×ctg  = 1, , k Z,

tg (–) = –tg ,

tg ( + n) = tg , n Z,

ctg (–) = ctg ,

ctg ( + n) = ctg , n Z.

Свойства

tg2  + 1 = , + k, k Z,

ctg2  + 1 = , k, k Z

можно доказать при выполнении задания 598.

Желательно, чтобы материал этого пункта усвоили все учащиеся.

Решения и комментарии

597(845). а) Определите знак произведения:

tg 71° tg 139° tg 235° tg 304° tg (–393°) tg 1000°.

Решение.

tg 71° > 0, так как 71°— угол первой четверти, где тангенс положительный;

tg 139° < 0, так как 139°— угол второй четверти, где тангенс отрицательный;

tg 235° = tg (235° – 180°) = tg 55° > 0, так как 55°— угол первой четверти, где тангенс положительный;

tg 304° = tg (304° – 180°) = tg 124° < 0, так как 124°— угол второй четверти, где тангенс отрицательный;

tg (–393°) = tg (–393° + 2 × 180°) = tg (–33°) = –tg 33° < 0, так как 33°— угол первой четверти, где тангенс положительный;

tg 1000° = tg (100° + 5 × 180°) = tg 100° < 0, так как 100°— угол второй четверти, где тангенс отрицательный.

Произведение содержит 4 отрицательных множителя, остальные положитель­ные, следовательно, произведение положительно.

599(847). Вычислите: в) sin , tg  и ctg , если < < и cos  = –0,6.

Решение. Так как cos  = –0,6, то sin2  = 1 – cos2  = 1 – 0,36 = 0,64.

Так как < < , то sin  < 0, поэтому sin  = – = –0,8.

tg  = = = ; ctg  = = .

Замечание. Здесь также лучше избегать записи sin  = по описанной выше причине.

Упростите выражение (601 – 606):

601(849). ж) ; з) .

Решение. ж) = =

= =
= = = tg ×tg .

з) = = =
= = = = ctg6 .

605(853). а) .

Решение. = =

= = sin2 .

606(854). а) ; б) .

Решение. а)

= .

б)

= .

Промежуточный контроль. С–25*, К–6.

Дополнения к главе 4

1. Косинус разности и косинус суммы двух углов

2. Формулы для дополнительных углов

3. Синус суммы и синус разности двух углов

В трёх первых пунктах дополнения к главе 4 доказаны формулы синусов и косинусов разности и суммы двух углов.

Отметим, что основной формулой, из которой получаются остальные, является формула cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin . Она доказывается с помощью скалярного произведения векторов. Доказательство этой формулы достаточно сложное, его надо разобрать с классом и можно не требовать от учащихся его воспроизведения. Для доказательства формулы cos ( + ) достаточно выпол­нить преобразование cos ( + ) = cos ( – (–)), затем применить формулу косинуса разности двух углов и свойства синуса и косинуса.

Остановимся на способе запоминания этих двух формул:

cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin , (1)

cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin , (2)

Если обратить внимание учащихся на чередование функций[1] в правых частях формул (1) и (2): «косинус-косинус, синус-синус», и на то, что знаки в левых и в правых частях этих формул различны, то это поможет запомнить формулы.

Забегая вперед, отметим, что на чередование функций можно будет опираться при запоминании формулы cos 2 = cos2 – sin2, которая получится из формулы (2) заменой на .

Следствиями формул (1) и (2) являются формулы для дополнительных углов:

cos  = sin , (3)

sin  = cos , (4)

доказанные в п. 2. Они очень часто используются в дальнейшем.

В пункте 3 с использованием формул (3) и (4) доказаны формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

sin ( – ) = sin  cos  – cos sin ,

sin ( + ) = sin  cos  + cos sin .

Если эти формулы записать так:

sin ( – ) = sin  cos  – sin cos, (5)

sin ( + ) = sin  cos  + sin cos, (6)

то, обратив внимание учащихся на чередование функций в правых частях формул: «синус-косинус, синус-косинус» для формул (5) и (6), на то, что знаки в левых и правых частях в формулах (5) и (6) — одинаковы, мы облегчим запоминание этих формул.

Забегая вперед, отметим, что на чередование функций можно будет опираться при запоминании формулы sin 2 = 2sin  cos , которая получатся из формулы (6) заменой на .

Дополнительно к материалам учебника по дидактическим материалам можно изучить формулы приведения для синуса и косинуса (С–27).

Решения и комментарии

608(856). а) Вычислите cos 150.

Решение. а) cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45°×cos 30° + sin 45°×sin 30° =

= × + × = .

613(861). Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) cos ( – ) = –sin ; б) cos ( + ) = sin .

Решение.

а) cos ( – ) = cos ×cos  + sin ×sin  = 0×cos + (–1)×sin  = –sin ;

г) cos ( + ) = cos ×cos  – sin ×sin  = 0×cos  – (–1)×sin  = sin .

618(867). а) Вычислите cos 75° + cos 15°.

Решение. cos 75° + cos 15° = cos (45° + 30°) + cos (45° – 30°) =

= cos 45°×cos 30° – sin 45°×sin 30° + cos 45°×cos 30° + sin 45°×sin 30° =

= 2cos 45°×cos 30° = 2×× = .

619(868). Упростите выражение:

а) cos ( + )×cos ( – ) – sin ( – )×sin ( + );

б) cos  + cos  + cos .

Решение. а) cos ( + )×cos ( – ) – sin ( – )×sin ( + ) =
= cos ( + + – ) = cos  = 0;

б) cos  + cos  + cos  = cos ×cos  – sin ×sin  +

+ cos ×cos  + sin ×sin  + cos  = 2 cos ×cos  + cos  =

= 2××cos  + cos  = 0.

627(876). Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего 45°:

б) sin 70°; в) cos 82°.

Решение. б) sin 70° = sin (90° – 20°) = cos 20°;

в) cos 82° = cos (90° – 8°) = sin 8°.

628(877). Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего : а) cos ; в) sin .

Решение. а) cos  = cos  = sin ;