Модуль: Интегрирование рациональных дробей (М4)

Цель: Научиться интегрировать рациональные дроби.

Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ1

Интегрирование рациональных дробей

Определение.

Рациональной дробью называется выражение вида, где - многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Простейшие дроби

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными):

При этом предполагается, что действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней ( т. е. )

Интегралы от простейших дробей

Последний интеграл считается с помощью рекуррентной формулы, позволяющей свести его к более простому интегралу.

Пример 1.

Вычислить интеграл от простейшей дроби

Решение:

Рациональная дробь первого типа :

Пример 2.

Вычислить интеграл от простейшей дроби

Решение:

Рациональная дробь второго типа

Пример 3.

Вычислить интеграл от простейшей дроби

Решение:

Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе подынтегральной дроби отрицательный, следовательно, необходимо выделить полный квадрат в знаменателе и свести к табличному интегралу

Пример 4.

Вычислить интеграл от простейшей дроби

Решение:

Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе подынтегральной дроби отрицательный, поэтому данная дробь – простейшая дробь третьего вида.

Сначала найдем производную от знаменателя

Затем выдели производную от знаменателя в числителе дроби:

Задания:

Записать необходимую информацию

Вопросы к допуску:

1. Что такое рациональная дробь?

2. Какую дробь называют правильной (неправильной)?

3. Виды простейших дробей (интегралы простейших дробей)

Примеры записать в тетрадь

Решить задания, проверить ответы.

УЭ2

Метод неопределенных коэффициентов

Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Пример 5.

Вычислить интеграл методом неопределенных коэффициентов

Решение:

Подынтегральная дробь правильная. Разложим её на множители

Для того что бы найти коэффициенты, приведем дроби правой части к общему знаменателю.

Пример 6.

Вычислить интеграл

Решение:

Данная подынтегральная дробь не правильная, сначала выделим целую часть.

То есть

Отсюда

Представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей:

Приведем к общему знаменателю, найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда

Пример 7.

Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная дробь правильная.

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:

Для того что бы найти коэффициенты, приведем дроби правой части к общему знаменателю.

Тогда,

Задания:

Записать необходимую информацию

Примеры записать в тетрадь

Решить задания, проверить ответы.