Уравнения в натуральных числах

Занятие 5

Уравнения в натуральных числах

Здравствуйте, дорогие курсанты! Продолжаем нашу работу.

На этом занятии мы попробуем учиться решать линейные уравнения с двумя переменными (т. е. уравнения вида ax + by = c) в натуральных числах. Умения решать задачи такого вида пригодятся вам не только на олимпиадах, но и на экзаменах по математике в 9 и 11 классах, и в жизни.

Предлагаю вам такую сюжетную задачу №1: «В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки 3 ножки, у каждого стула 4 ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, то в комнате 39 «ног». Сколько стульев и сколько табуреток в комнате?»

Попробуйте сначала рассуждать самостоятельно и только после этого проработайте готовое решение.

Пусть в комнате x стульев и y табуреток. Тогда 4x «ног» – у стульев, 3y «ног»- у табуреток, 2x ног – у людей, сидящих на стульях и 2y ног – у людей, сидящих на табуретках. Так как в комнате всего 39 «ног», то получаем уравнение:

4x + 3y + 2x + 2y = 39; 6x + 5y = 39; 5y = 39 – 6x; y = .

А далее учтем, что x и y могут принимать только натуральные значения (это количество стульев и табуреток). 39 – 6x тоже натуральное число, да ещё и кратное 5. Поэтому для принятия окончательного решения следует применить метод перебора. Подставляя вместо x значения 1; 2; 3; 4; 5; 6, получаем, что x = 4, y=3.

Ответ: 4 стула, 3 табуретки.

Задача №2 для вас с готовым решением.

Кусок проволоки длиной 102см нужно разрезать на части длиной 15см и 12см так, чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?

Решение. Пусть х – количество частей проволоки длиной 15см, у – количество частей проволоки длиной 12см. Получаем уравнение 15х + 12у = 102 или 5х + 4у = 34 (разделили обе части первого уравнения на 3);

5х = 34 – 4у; x = .

По смыслу задачи переменные х и у могут принимать только натуральные значения. Применяя метод перебора, получаем: .

Ответ. Задача имеет два решения:= 15 · 6 + 12 · 1;= 15 · 2 + 12 · 6.

И ещё одна задачка: №3.

Андрею в 1987 году было столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Решение. Пусть Андрей родился в 19хугоду. Тогда в 1987 году ему было (1987 – 19ху) лет или (1 + 9 + х + у) лет. Получаем уравнение:

1987 – (1000 + 900 + 10х + у) = 1 + 9 + х + у.

В скобках число 19ху представлено в виде суммы разрядных слагаемых.

Упрощая обе части уравнения, получаем равносильное уравнение:

87 – 10х – у = 10 + х + у;

77 – 11х = 2у;

Учитывая, что х и у - цифры десятичной системы счисления, подбором находим х = 7, у = 0.

Ответ. Андрей родился в 1970 году.

Далее попробуйте действовать самостоятельно. И в первую очередь после разбора готовых решений составьте своё мнение (алгоритм) о том, как поступать при решении уравнения ах + by = c в натуральных числах.

Домашнее задание №5.

Запишите составленный вами алгоритм. Решите в натуральных числах уравнения:

а) 3x + 7y = 23;

б) 4x + 6y = 12.

В отчете №5 пришлите, пожалуйста, составленный алгоритм (не бойтесь такого задания, просто опишите чётко, немногословно план ваших действий) и ответы, полученные при решении уравнений.

Дополнительную, полезную информацию по теме можете взять, например, на сайте http://otvet. *****/question/

Желаю успешных решений!