МОУ Удельнинская гимназия
Моделирование при формировании у учащихся
умения решать задачи.
,
учитель начальных классов
Важнейшей задачей современной системы образования является формирование совокупности “универсальных учебных действий”, обеспечивающих компетенцию “научить учиться”, а не только освоение учащимися конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельных дисциплин. УУД создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения.
Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия. При решении задач на уроках математики осуществляется перевод текста на язык графических моделей, понимаемый как представление текста с помощью моделей различного вида: чертежа, схемы, графика, таблицы, символического рисунка. Перевод текста в форму модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто с трудом выявляются при чтении текста.
Моделирование позволяет видеть предмет как объект исследования, определять действия с ним задолго до того, как будет получен конечный результат. А это означает, что с самого первого момента конструирования создается образ, который позволит ориентироваться в предмете и анализировать его, служит средством продвижения в содержании. Модели упрощают восприятие учащимися какой-либо ситуации и обеспечивают целостность восприятия, развивают компоненты абстрактного мышления (анализ, сравнение, обобщение, абстрагирование и др.), совершенствуют логическое мышление и помогают глубже усвоить учебный материал, так как позволяют изучать свойства объекта в «чистом» виде.
Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала.
Первый этап работы над задачей – это знакомство с ней. Уже в этом первичном знакомстве содержится анализ, который развивается в дальнейшем. Цель анализа при решении текстовой задачи – выделение «ведущего» отношения среди множества других, установление связей данных и искомого. На первый взгляд, в этом нет ничего сложного, но действительность убеждает в обратном: нередко у учащихся формируется привычка выделения, выхватывания отдельного слова из контекста задачи как опорного, без осознания конкретного содержания, что приводит к ошибочным решениям. Для устранения этого используются различные методические приемы, способствующие осмыслению текста задачи: представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, мысленное участие в ней, разбиение текста задачи на смысловые части, отбрасывание несущественных слов в условии задачи и др. Но чтобы каждый ученик смог выделить все отношения при первичном анализе задачи, их нужно увидеть. Поэтому одним из основных приёмов является моделирование, т. к. моделирование помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти способ её решения.
Что происходит в действительности? Как правило, в процессе анализа задачи учитель, а следовательно, и ученики используют лишь различные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели на глазах у детей или самими учащимися в процессе решения задач применяется крайне редко. Учителя при фронтальном анализе и решении задачи нередко ограничиваются правильными ответами двух – трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого понимания. А можно ли научить самостоятельно решать задачи каждого ученика? Это вполне возможно. Следует, прежде всего, решительно улучшить методику первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить каждому ученику осознанный доказательный выбор арифметического действия. Главное для каждого ученика на этом этапе – понять задачу, т. е. уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомым. Для этого везде, где это возможно, следует применять моделирование и обучать этому детей.
Что понимается под моделированием текстовой задачи? Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т. д. В роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, а их обобщенные заменители, например: круги, квадраты, отрезки, точки и т. д.
Модель помогает увидеть задачу в целом, уточнить содержание отношений между данными и искомым.
Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но без должной системы и последовательности. Особенно резко снижается применение моделирования в 3-4м классах; так, многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательна только на начальном этапе обучения, а с развитием абстрактного мышления у детей она своё значение теряет.
Уже при обучении решению простых задач важно применить графическое моделирование. Познакомив детей на примере простых задач с основными видами графических изображений, можно подготовить их к самостоятельному использованию рисунков и чертежей в качестве важного средства, облегчающего поиски пути решения составной задачи.
Работа над задачами на нахождение суммы и остатка начинается с первых же уроков математики и вначале носит характер практических упражнений. В качестве средства, помогающего детям воспроизвести содержание задачи, представить образно это содержание, является рисование предметов, о которых говорится в задаче (флажки, яблоки, огурцы и т. п.). Уже на этом этапе можно использовать и более отвлеченную, условную наглядность. Например, решаем такую задачу: « У Коли 5 книг, а у Саши 2 книги. Сколько книг у Коли и Саши вместе?» Ученики анализируют задачу, выполняя одновременно с анализом соответствующие зарисовки:
- О чем говориться в задаче? (О том, что у Коли и у Саши были книги.)
- Что известно про книги, которые были у Коли? (У Коли было 5 книг.)
- Обведите столько клеток, сколько книг было у Коли, закрасьте их.
- Что известно про книги, которые были у Саши?
- Обведите столько клеток, сколько книг было у Саши.
- О чем спрашивается в задаче? Обозначьте это.
В иллюстрации важную роль играет условный знак – объединяющая скобка (на первых порах дуга или прямая черточка), указывающая на необходимость объединения элементов двух данных множеств.
Рассмотрим теперь задачу на нахождение остатка.
«У Мити было 7 шаров. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров осталось у Мити?»
Иллюстрация выполняется одновременно с анализом задачи, т. к. только в этом случае она будет действенным средством, оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоятельному решению задач:
- Что известно про шары, которые были у Мити? Нарисуйте столько кружков, сколько шаров было у Мити.
- Что еще известно в задаче? Перечеркните столько кружков, сколько шаров улетело.
- О чем спрашивается в задаче? Покажите эти шары на своём рисунке, обозначьте эти шары на своем рисунке, обозначьте скобкой, о каких шарах спрашивается в задаче.
Опыт показывает, что затруднения в выборе действия возникают при решении такого вида: «Когда сожгли 6 поленьев, то осталось еще 3 полена. Сколько всего было поленьев?»
- Нарисуйте столько палочек, сколько поленьев было сожжено. Эти палочки перечеркните, чтобы показать, что поленья сожгли.
- Нарисуйте столько палочек, сколько осталось поленьев.
- Покажите на рисунке все те поленья, которые были сначала. Обозначьте с помощью объединяющей скобки, что нужно узнать в задаче.
С опорой на такой рисунок задача решается легко.
Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц вводятся сразу же после задач на нахождение суммы и остатка.
«В автобусе было 7 пассажиров. После остановки число пассажиров увеличилось на 2. Сколько пассажиров стало в автобусе после остановки?»
Зарисуем задачу. Вместо каждого пассажира будем рисовать кружок.
- Сколько кружков надо нарисовать, чтобы показать, сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (7)
- Что сказано в задаче о числе пассажиров в автобусе после остановки? (Увеличилось на 2)
–Как это понять: больше стало пассажиров после остановки или меньше?
- На сколько больше стало пассажиров? (На 2)
- Сколько кружков еще надо нарисовать, чтобы показать, сколько стало в автобусе пассажиров после остановки?
- Нарисуйте их и покажите на своём рисунке, что же нужно узнать.
Дальнейшая работа состоит в том, чтобы научить детей изображать условия таких задач в «отрезках». Сначала решаются задачи, условия которых связаны с мерами длины.
Например: «У Кости было 2 куска проволоки: первый длиной 5м., а второй на 2 м. короче. Какой длины был второй кусок проволоки?»
С большими трудностями дети сталкиваются при встрече с задачами, выраженными в косвенной форме.
«На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?» По ходу разбора задачи выполняется рисунок так:
- Нарисуем в ряд 8 чашек, а ниже под каждой чашкой по 1 стакану. Получим, что стаканов столько же, сколько и чашек. Но в задаче сказано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего должно быть 8 чашек (как изображено на рисунке). Значит, их трогать нельзя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стаканов, нужно «убрать» 3 стакана.
Такая иллюстрация помогает оживить в сознании детей уже известные им соотношения: а) если в одном из сравниваемых множеств на сколько-то предметов больше, то в другом – их на столько же меньше; б) чтобы стаканов стало на 3 меньше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько и чашек, но без 3. Отсюда вытекает и запись решения: 8-3=5(ст.)
Построение схематического чертежа к этой задаче комментируется так: «изобразим с помощью произвольного отрезка число чашек, напишем над ними, что он изображает «8ч.», начертим ниже равный ему отрезок, который должен условно изображать столько же стаканов. Значит, верхний отрезок должен быть больше, а нижний, изображающий число стаканов, - меньше.
К схематическому изображению можно приступить при разборе задачи на разностное сравнение.
«В саду росло 6 кустов малины и 9 кустов смородины. На сколько больше кустов смородины росло в саду?»
- Изобразим кусты малины кружками, а смородины треугольниками?
Полученный условный рисунок помогает выбрать действие при решении задачи: «Чтобы узнать, на сколько больше треугольников, чем кружков, надо из всех треугольников вычесть столько треугольников, сколько нарисовано кружков».
Можно решить графически, с помощью чертежа задачу:
«Васе 9 лет, а Кате 7. На сколько лет Вася старше Кати?»
(условимся 1 год изображать отрезком, длина которого равна длине 1 клетки тетради)
Задачи, раскрывающие конкретный смысл действий умножения и деления, иллюстрируются с помощью рисунка или чертежа. Например, решается задача:
«В магазин привезли 3 ящика апельсинов по 9 кг в каждом. Сколько килограммов апельсинов привезли»?» Рассуждения при построении схематического чертежа: «Если изобразить 1кг в виде клетки ученической тетради, то число кг апельсинов в 1 ящике изображается в виде прямоугольной полоски, содержащей 9 клеток, а в 3 таких ящиках – в виде трёх таких полосок, каждая из которых содержит по 9 клеток».
При этом образуется прямоугольник, составленный из трёх одинаковых полосок. Чтобы помочь осознанию того, какое слагаемое повторяется и сколько раз, полезно верхнюю полоску заштриховать.
Конкретный смысл действия деления раскрывается при решении задач на деление по содержанию и на равные части (с опорой на наглядность). Основное назначение наглядности на данном этапе – демонстрация самого процесса деления. С этой целью используются дидактический материал, предметные и условные рисунки. Далее надо осуществить переход к изображению условий таких задач в отрезках. Рассмотрим несколько задач.
«Полено длиной 30 см распилили на 3 равные части. Чему равна длина каждой части?»
«Из 12 м ткани в мастерской сшили несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м ткани. Сколько платьев получилось из этого куска ткани?»
- Изобразим графически 12 м ткани. Для этого надо отложить отрезок длиной 12 клеток
(1 клетка условно равна 1м ткани). Отметим чёрточками на отрезке сначала 3 м, потом ещё 3 м, всего 6 м, затем ещё 3 м, всего 9 м, и, наконец, ещё 3м, всего 12м.
Задача решена графически: 12:3=4(пл.)
Процесс построения схематических чертежей проиллюстрируем на примере задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз.
«В мастерской изготовили 50 парт, а столов в 5 раз меньше. Сколько столов изготовили в мастерской?»
Чертим произвольный отрезок и договариваемся, что он изображает общее число парт (50). Т. к. число столов в 5 раз меньше, то начертим II отрезок, соответствующий числу столов. Первый отрезок делим (на глаз) на 5 равных частей и под ним чертим II отрезок, равный одной из полученных частей.
Для решения текстовых задач моделирование является основой, особенно в поисках самими учащимися разных способов решения одной и той же текстовой задачи. Рассмотрим это на примере задачи. «Группа экскурсантов разместилась в двух катерах по 16 человек в каждом и в двух лодках по 4 человека в каждой. Сколько всего человек было в группе?»
Учитель предложил решить задачу разными способами. У некоторых учащихся возникли затруднения. Учитель предложил составить схематический рисунок к задаче.
- Как мы обозначим на рисунке катер? (прямоугольником)
- Сколько всего прямоугольников? (2)
- Какие это прямоугольники? (одинаковые, т. к. в задаче два одинаковых катера)
- Как мы обозначим лодку? (квадратом)
Что нужно узнать? (сколько людей в катерах и лодках вместе?)
Окончательно схема выглядит так.
Данная схема даже без дополнительного разбора помогла детям самостоятельно увидеть и записать 2 способа решения: 16*2+4*2=40(чел.) и (16+4)*2=40(чел.)
Модель не только помогает выявить заданные отношения, но и увидеть новые, не отражённые в тексте задачи. Рассмотрим это на примере задачи. «В школьном математическом кружке 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем в математическом, а в спортивном - на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?»
Дети предложили следующую модель этой задачи:
На основании этой модели было найдено решение: (18+12)-5=25(чел.)
После этого некоторые ученики, анализируя модель, увидели в ней новые отношения между количеством учащихся в математическом кружке и спортивном, что в спортивном больше, чем в математическом, и определили, на сколько больше. В результате был найден новый способ решения: 18+(12-5)=25(чел.)
Модель помогает найти арифметические решения и таких задач, которые не предусмотрены программой начальной школы, например: «За два дня посадили 14 яблонь, во II день посадили на 2 яблони больше, чем в I день. Сколько яблонь посадили в I день?»
К этой задаче была составлена такая модель.
Проводя анализ модели, ученики проявили гибкость мышления и нашли решение:
(14-2):2=6(ябл.)
Учитель должен помнить, что одного составления моделей к задачам недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно составление текстов различных задач по модели. Для этого учитель предлагает некоторую модель, а дети по ней самостоятельно составляют текст задачи, что способствует развитию творческого мышления каждого ученика.
Для формирования умения решать задачи у всех школьников можно включать также такие задания:
- постановка различных вопросов к условию;
- составление условия по данному вопросу;
- подбор числовых данных или их изменение;
- составление задач по аналогии;
- составление задач по данному решению;
- составление обратных задач.
На одной и той же модели путём её преобразования следует рассматривать одновременно прямые и обратные задачи, чтобы более глубоко и осознанно выявить все связи между данными и искомым.
Следует включать и задачи с изменениями и недостающими данными, нестандартные задачи.
К нестандартным задачам можно отнести, например, такую задачу.
«На двух полках одинаковое количество книг. С первой полки переложили на вторую 4 книги. На сколько книг стало больше на второй полке, чем на первой?»
При решении этой задачи используем такую модель:
По ней было найдено верное решение: 4+4=8(кн.)
Можно рассмотреть условия ещё нескольких задач и соответствующие им схематические чертежи: «В беге на дальнюю дистанцию Иванов опередил Петрова на 378м. Петров опередил Смирнова на 163м. На сколько метров отстал Смирнов от Иванова?»
Решение: 378+163=541(м.)
«На станции стояли 2 состава товарных вагонов(одинаковой длины).В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом. Когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?»
Рассмотрим задачу на нахождение неизвестного по двум разностям. «С первого огорода собрали 3 одинаковых ящика огурцов, а со второго 5 таких ящиков. Причём со второго огорода собрали на 50 кг. огурцов больше, чем с первого. Сколько кг. огурцов собрали с каждого огорода?» Для схематического изображения условия задачи можно каждый ящик с огурцами изобразить в виде квадрата.
Рисунок помогает понять, что в 2 ящиках было 50 кг огурцов.
Наблюдения, беседы с учителями и учащимися позволяют сделать вывод, что графическое моделирование, т. е. использование рисунков, схем и чертежей в начальной школе при решении текстовых задач делает задачу понятной для каждого ученика, обеспечивает качественный анализ задачи, обоснованный выбор необходимого арифметического действия, повышает активность и гибкость мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же текстовой задачи. А главный итог систематической работы в этом направлении – способность каждого ученика самостоятельно решать текстовые задачи.
Можно сделать вывод:
– одной из важных задач курса обучения детей математике является овладение детьми моделированием. Овладение школьниками общеучебным (универсальным) умением моделировать предполагает поэтапное овладение ими конкретными предметными умениями: представлять задачу в виде таблицы, схемы, числового выражения, формулы (уравнения), чертежа и уметь осуществлять переход от одной модели к другой;
– моделирование в обучении должно быть усвоено учащимися и как способ познания, которым они должны овладеть, и как важнейшее учебное действие, являющееся составным элементом учебной деятельности. С этой целью обучение элементам математического моделирования начинается еще в начальной школе;
– обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение;
– модели и связанные с ними представления являются продуктами сложной познавательной деятельности, включающей прежде всего мыслительную переработку исходного чувственного материала, его «очищение» от случайных моментов. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой деятельности;
– включение моделирования в учебный процесс рационализирует его и одновременно активизирует познавательную деятельность учащихся. Следовательно, решается не только конкретная учебная задача, но и осуществляется развитие учащихся. Широкое использование моделирования - одно из методических средств развивающего обучения математике. Моделирование отражает преимущественно теоретический стиль мышления, который в большей мере содействует развитию учащихся, приобщает их к научному стилю мышления.
