Модифицированные функционалы Лагранжа в механике

на правах рукописи

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЛАГРАНЖА

В МЕХАНИКЕ

01.01.07 – Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Хабаровск – 2011

Работа выполнена в ГОУВПО «Тихоокеанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

кандидат физико-математических наук,

Ведущая организация: Вычислительный центр ДВО РАН,

г. Хабаровск

Защита состоится «27» апреля 2011 года в 15-00 на заседании диссертационного совета К 212.294.02 при Тихоокеанском государственном университете 36, ауд. 315л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослан «__» __________ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета
Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости – задача Синьорини. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков -Л., Тремольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.

В данной работе используются функции Лагранжа, которые лежат в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных – прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). В работах Антипина А. С., Голикова А. А., Евтушенко Ю. Г., Поляка Б. Т., Третьякова Н. В., Рокафеллара Р. Т. исследовались модифицированные функции Лагранжа применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.

Известные двойственные методы решения вариационных неравенств в механике, основанные на поиске седловых точек функционалов Лагранжа, как правило, предполагают сильную выпуклость минимизируемых функционалов. Для подобных задач сходимость имеет место только по прямой переменной классического функционала Лагранжа и обеспечивается согласованием константы сильной выпуклости с шагом сдвига по двойственной переменной. Поэтому для полукоэрцитивных вариационных неравенств алгоритмы поиска седловых точек, основанные на классических функционалах Лагранжа, непригодны. Для преодоления этого затруднения рассматривается модифицированный функционал Лагранжа. Методы двойственности, основанные на модифицированном функционале Лагранжа обеспечивают сходимость к седловой точке, как по прямой, так и по двойственной переменной, причем не, только в коэрцитивных, но и в полукоэрцитивных вариационных неравенствах.

Вариационные задачи минимизации недифференцируемых функционалов часто возникают в задачах механики, учитывающих трение. Конечноэлементная аппроксимация таких задач приводит к конечномерной выпуклой задаче негладкой оптимизации. Поэтому стандартный подход к решению таких задач заключается в сглаживании недифференцируемого слагаемого в исходной задаче, либо в применении специальных алгоритмов негладкой оптимизации. В некоторых случаях задачу безусловной минимизации недифференцируемого функционала удается свести к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, для решения которой можно применить эффективные методы условной оптимизации. В данной работе исследуется метод решения полукоэрцитивной задачи с заданным трением, позволяющий сглаживать вспомогательный функционал на каждом шаге итерационного процесса.

Цель работы. Построение и обоснование новых методов двойственности для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, соответствующих скалярной задаче Синьорини и модельной задаче с заданным трением.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств , общая теория нелинейных краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1.  Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методами двойственности, основанными на модифицированном функционале Лагранжа.

2.  Сравнение классических и модифицированных методов двойственности при решении коэрцитивных задач.

3.  Исследование модифицированных методов двойственности для решения модельной задачи с трением.

Научная новизна. В диссертации исследуется задача Синьорини в полукоэрцитивной и коэрцитивной постановках и полукоэрцитивная модельная задача с заданным трением. Для данных задач были получены следующие результаты:

-  разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

-  показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане;

-  введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на X (2007 г., г. Хабаровск) и XIII (2011 г., г. Хабаровск) краевых конкурсах молодых ученых; на научных семинарах по дифференциальным уравнениям в ТОГУ (руководитель проф. ); на XXXIV (2009 г., г. Хабаровск) и XXXV (2010 г., г. Владивосток) Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика ; на девятом международном форуме студентов, аспирантов и молодых учёных стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2009 г., г. Владивосток); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д. ф.-м. н., ), г. Хабаровск (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию метода итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа для решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини и построению алгоритмов её численного решения рассмотренным методом.

Рассматривается полукоэрцитивная задача Синьорини, вариационная постановка которой имеет следующий вид (§ 1):

(1)

где – ограниченная область с достаточно гладкой границей , – заданная функция и – след функции на .

Условие существования и единственности решения задачи (1) имеет вид

. (2)

Соответствующая вариационной постановки задачи (1) краевая задача имеет вид:

Решаем задачу (1) используя метод двойственности.

Введем классический функционал Лагранжа:

.

Определение 1. Точка называется седловой точкой функционала , если выполнено двустороннее неравенство

.

Модифицированный функционал Лагранжа имеет следующий вид:

,

где - const, символ означает положительную срезку, т. е. .

Определение 2. Точка называется седловой точкой функционала , если выполнено двустороннее неравенство

.

Известно, что седловые точки для классического и модифицированного функционалов совпадают.

В § 2 рассматривается метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Пусть – произвольная стартовая точка. Построим последовательность в два этапа:

(i)  на -ой итерации строится сильно выпуклый в функционал и определяется точка из условия , где , , ;

(ii)  двойственная переменная корректируется по формуле .

Обозначим . В работе показывается, что последовательность ограничена в и, более того, последовательность является компактной в . Предположения регулярности

(A) ,

(B)

обеспечивают единственность седловой точки функционала (а, значит, и ) и сходимость к ней в пространстве последовательности .

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача:

(3)

Задача (3) решается с помощью метода конечных элементов в предположении, что – ограниченный многоугольник. Пусть – триангуляция области , – характерный параметр триангуляции, – множество всех узлов триангуляции , – множество узлов триангуляции на границе области , – линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций ( – количество узлов ), – множество индексов узлов триангуляции, – множество индексов граничных узлов.

Получаем конечно-элементную задачу

(4)

Введем обозначения: - решение задачи (3), - решение задачи (4).

Теорема 1. Пусть – ограниченный многоугольник в , выполнены предположения (A), (B). Тогда имеет место оценка

, .

В § 3 рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Обозначим , . Пусть – граничный узел, (– количество граничных узлов триангуляции области ). Тогда, используя квадратурную формулу трапеций, и учитывая, что расстояние между двумя соседними узлами на границе равно , получаем

Получаем конечномерную задачу

(5)

Для решения задачи (5) применим метод поточечной релаксации.

Выберем начальный вектор . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

Модифицированная функция непрерывно дифференцируема по . Для положим , где , .

Для обозначим . Получаем

В § 4 рассмотрен метод Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа для конечномерного случая.

Задача (1) аппроксимируется с помощью метода конечных элементов по аналогии § 2 главы 1 (– характерный параметр триангуляции).

. Решение конечномерной задачи

(6)

существует, единственно, причем , где, – решение задачи (1). При условии, что , доказывается оценка , где . Обозначим , .

Составляем классическую функцию Лагранжа

.

Определение 3. Пара называется седловой для , если выполняется двустороннее неравенство

, где .

Вводим модифицированную функцию Лагранжа

, где .

Определение 4. Пара называется седловой для , если выполняется двустороннее неравенство

.

Метод Удзавы с модифицированной функцией выглядит так: выбираем начальный вектор . Далее

1)  на -м шаге решаем задачу безусловной минимизации по переменной , то есть находим ;

2)  полагаем и переходим на шаг 1.

Теорема 2. Пусть выполнено условие разрешимости (2). Тогда для любого задача

имеет решение.

Далее рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа. На каждом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу вида

(7)

Функция , построенная в § 4 для задачи (1), не является сильно выпуклой по переменной . Это затрудняет применение метода Удзавы для решения рассматриваемой задачи. Для преодоления этой проблемы в § 5 рассматривается метод Удзавы с одновременной итеративной проксимальной регуляризацией модифицированной функции .

Пусть – произвольная стартовая точка. Метод вырабатывает последовательность в два этапа:

(i)  на -ой итерации строится сильно выпуклый в функционал и определяется точка из условия , где , , ;

(ii)  двойственная переменная корректируется по формуле .

На шаге (i) решается задача

(8)

Для решения задачи (8) применяется метод поточечной релаксации.

Зададимся начальным вектором . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

Модифицированная функция непрерывно дифференцируема по . Для координаты

, где , ,

Для обозначим . Получаем

Вторая глава посвящена исследованию методов двойственности на основе модифицированных функционалов Лагранжа при решении коэрцитивной скалярной задачи Синьорини.

Рассматривается коэрцитивная вариационная задача Синьорини

(9)

где – ограниченная область с достаточно гладкой границей , – заданная функция и – след функции на .

Вводим классический функционал Лагранжа

.

Пусть – конус неотрицательных функций из .

Для решения задачи (9) рассмотрим метод Удзавы. Пусть . Далее, для , вычислим по формулам:

, (10)

, (11)

где – оператор проектирования на в норме , .

Сходимость итерационного процесса (10), (11) по прямой переменной можно установить только при достаточно малых (). Для преодоления этого затруднения вводится модифицированный функционал Лагранжа

,

где – const.

Для модифицированного функционала можно рассмотреть аналогичный (10), (11) алгоритм решения задачи (9).

Пусть . Для , вычислим по формулам:

, .

Решим задачу (9) по методу конечных элементов в предположении аналогично § 3 главы 1. Получаем конечно-элементную задачу

(12)

Для решения задачи (12) , где – решение задачи (9).

В § 2 рассматривается алгоритм решения задачи (9) методом Удзавы на основе классической функции Лагранжа.

Вводим классическую функцию Лагранжа для задачи (13)

.

На первом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу

(14)

Для решения задачи (14) применяется метод поточечной релаксации.

Выберем начальный вектор . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

Функция непрерывно дифференцируема по .

для ,

для ,

где , .

В § 3 рассматривается алгоритм решения задачи (9) методом Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа.

Вводим модифицированную функцию Лагранжа для задачи (13)

,

где – произвольная постоянная. На первом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу вида

(15)

Для решения задачи (15) применяется метод поточечной релаксации аналогично § 3 главы 1.

Третья глава посвящена исследованию модифицированных функционалов Лагранжа для решения модельной задачи с трением. Рассматривается задача

(16)

Здесь - ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, , - заданные функции, на . Функционал в (16) не является сильно выпуклым в и, задача разрешима, если выполнено условие

. (17)

Решение задачи единственно в классе . Переходим к задаче, эквивалентной исходной:

(18)

Используем метод двойственности для решения задачи (18).

На пространстве вводим классический функционал Лагранжа .

Определение 5. Точка называется седловой, если .

Введем функционал

Определяется модифицированный функционал Лагранжа

.

Вводим функцию чувствительности . (19)

Вводим двойственный функционал , определяемый двояко:

, (20)

. (21)

Теорема 3. Пусть - решение задачи (20). Если , , то решение единственно в .

Далее рассматривается задача . Для упрощения дальнейшего изложения возьмем , получаем

.

Отдельно исследуется задача . Получаем

Известно, что . Имеем

(22)

Для поиска седловой точки рассматривается следующий алгоритм:

1)  задаемся ;

2)  определяем ;

3)  .

Теорема 4. Пусть , и, кроме того,

где - const. Тогда последовательность компактна в , и любая её предельная точка является седловой точкой для классического или модифицированного функционала Лагранжа.

В § 3 рассматривается метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа.

Возьмем произвольную начальную точку и построим последовательность следующим образом.

(i)  На -ой итерации строим функционал и находим из критерия , , где , , .

(ii)  Корректируем двойственную переменную по формуле

.

Вместе с введем . Обозначим , .

Теорема 5. Пусть функционал Лагранжа имеет непустое множество седловых точек. Тогда последовательность , генерируемая алгоритмом (i), (ii) ограничена в . Более того, является компактной в , а в .

Теорема 6. Пусть , , и, кроме того,

где . Тогда последовательность сходится в к седловой точке функционала . Более того, .

Вспомогательная задача минимизации на недифференцируемого функционала сводится к минимизации в дифференцируемого функционала .

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача

, . (23)

Используя метод конечных элементов, получаем конечно-элементную задачу

(24)

Введем обозначения: - решение задачи (23), =, где - решение задачи (24).

Теорема 7. Пусть - ограниченный многоугольник в , выполнены предположения , . Тогда имеет место оценка , .

В § 4 рассматривается алгоритм численного решения задачи (24). Получаем конечномерную задачу

(25)

Для решения задачи (25) применим метод поточечной релаксации.

Выбираем начальный вектор . На -ом шаге итерационного процесса координаты определяются из условия

(26)

Получаем для . Для

В заключении приводятся основные результаты работы:

1)  разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

2)  показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане (параметр сдвига для классического функционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным ());

3)  введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

В приложениях 1, 2 и 3 приведены результаты численных расчетов с применением метода конечных элементов.

О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задач различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием и методами двойственности, как с классическим, так и с модифицированным функционалом Лагранжа.

Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа открывают новые возможности при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Намму Роберту Викторовичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1.  Ткаченко, полукоэрцитивной задачи Синьорини методом итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа / , // Известия вузов. Математика. – 2010. – № 4. – С. 36-46.

2.  Ткаченко, полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини методом Удзавы / , // Вестник Тихоокеанского государственного университета. – 2007. – № 4 (7). – С. 161-170.

3.  Ткаченко, А. С. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини / // Дальневосточный математический журнал. – 2010. – Т. 10, № 1. – С. 70-80.

4.  Ткаченко, А. С. О сглаживающем методе двойственности для решения модельной задачи с заданным трением / , // Вестник Тихоокеанского государственного университета. – 2010. – № 3 (18). – С. 13-23.