Статистика (стр. 3 )

Обощающие характеристики совокупностей

Анализ статистических совокупностей включает в себя: построение рядов распределения; графическое представление распределения; определение характеристик центра распределения, показателей вариации.

Рядами распределения называют числовые ряды, характеризующие структуру совокупности по некоторому признаку. Ряд распределения может быть получен в результате структурной группировки. Ряд распределения, образованный по количественному признаку (он называется вариационным рядом), может быть дискретным, если значения признака выражены целыми числами и каждая варианта представлена в вариационном ряде отдельной группой, или интервальным (непрерывным), если значения признака выражены вещественными числами или число вариант признака достаточно велико.

Ряд распределения состоит из следующих элементов:

xi - варианта- отдельное, возможное значение признака i=1,2,...,K, где K - число значений признака;

Ni - частоты - численность отдельных групп соответствующих значений признаков;

N - объём совокупности - общее число элементов совокупности;

qi - частость - доля отдельных групп во всей совокупности;

Di - величина интервала;

- абсолютная плотность распределения;

- относительная плотность распределения.

Полученный вариационный ряд оформляется в виде таблицы, где в первой графе указываются варианты (интервалы) значений признака, а в следующих графах частота, частость, или если необходимо абсолютная или относительная плотность распределения.

Ряд распределения по частоте (частости) в целом характеризует структуру совокупности по данному признаку. Однако для описания распределения совокупность могут использоваться и кумулятивные ряды, т. е. ряды накопленных частот (или частостей), которые иногда имеют даже некоторые преимущества.

Накопленная частота (частость) данного значения признака - это число (доля) элементов совокупности, индивидуальные значения признака которых не превышают данного.

Обозначим: F(x) - накопленная частота для данного значения x;

G(x) - накопленная частость для данного значения x.

Эти характеристики обладают следующими свойствами:

0 £ F(x) £ N; 0 £ G(x) £ 1

Рассмотрим интервалы [xi - xi+1], i=1,2,...,K:

.

Первым этапом изучения вариационного ряда является его графическое изображение. Способы построения графиков для разных видов рядов распределения различны.

Изображением дискретного ряда распределения является полигон. В системе координат по оси абсцисс откладываются варианты (xi), по оси ординат - частоты (частости), затем отмечают точки с координатами (xi;Ni), которые последовательно соединяются отрезками прямой.

Интервальный ряд распределения изображается графически в виде гистограммы. При её построении на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. Над осью абсцисс строятся прямоугольники, основанием которых является интервал, а высота - соответствующая этому интервалу абсолютная плотность распределения (или частота, частость - если ряд равноинтервальный).

Изображением ряда накопленных частот служит кумулята. Накопленные частоты наносятся в системе координат в виде ординат для границ интервалов; соединяя нанесенные точки отрезками прямых, получаем кумуляту.

Вторым этапом изучения вариационного ряда является определение характеристик центра распределения. Характеристика центра распределения представляет собой такую величину,

которая в некотором отношении характерна для данного распределения и является его центральной величиной.

К характеристикам центра распределения относятся: средняя арифметическая, медиана, мода.

Для сгруппированных данных, представленных в вариационном ряду средняя арифметическая (`x) определяется как:

,

т. е. в качестве веса при усреднении берётся частота Ni, соответствующая групповым значениям xi. Если ряд дискретный, то каждое значение признака представлено. Если же ряд интервальный, то его нужно превратить в условно дискретный: в качестве группового значения xi для каждого интервала вычисляется его середина.

Медиана(Me[x]) - это такое значение признака, которое делит объём совокупности пополам в том смысле, что число элементов совокупности с индивидуальными значениями признака, меньшими медианы, равна числу элементов совокупности с индивидуальными значениями больше медианы.

Численное значение медианы можно определить по ряду накопленных частот. Накопленная частота для Me[x] равна половине объёма совокупности ( F(Me[x]) = N/2 ); имея ряд накопленных частот, можно вычислить, при каком значении признака накопленная частота равна половине объёма совокупности. Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал в котором будет находиться Me[x], само значение приближённо можно определить как:

,

где x0 - начало интервала, содержащего медиану;

DMe - величина интервала, содержащего медиану;

F(x0) - накопленная частота на начало интервала, содержащего медиану;

N - объём совокупности;

NMe - частота того интервала, в котором расположена медиана.

Квартили (Q1, Q2, Q3) – значения признака, делящие упорядоченную по значению признака совокупность на 4 равные части. 1-ая квартиль (Q1) определяет такое значение признака, что ¼ единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем Q1, а ¾ - значения больше чем Q1. 2-ая квартиль (Q2) равна медиане. 3-я квартиль (Q3) определяет такое значение признака, что ¾ единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем Q3, а ¼ - больше чем Q3. Значения квартилей для сгруппированных данных определяются по накопленным частотам. При этом для 1-ой квартили накопленная частота сравнивается с величиной N·1/4; для 3-ей квартили – с величиной N·3/4. Значение квартили для интервального ряда распределения может быть уточнено по формуле:

Qi=x0+DQi (i*N/4 – F(x0))/NQi.

x0- нижняя граница интервала, в котором находится i-ая квартиль;

DQi - величина интервала, содержащего i-ую квартиль;

F(x0) - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится i-ая квартиль;

NQi - частота интервала, в котором находится i-ая квартиль.

Децили (D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9) – значения признака, делящие упорядоченную по значению признака совокупность на 10 равных частей.

Мода (Mo[x]) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Для дискретного ряда — это то значение, которому соответствует наибольшая частота распределения. Для интервального ряда в начале определяется интервал, содержащий моду, - тот, которому соответствует наибольшая плотность распределения. Затем приближённо определяется численное значение моды.

Если ряд равноинтервальный, то используется формула:

,

где x0 - начало интервала, содержащего моду,

DMo - величина интервала, содержащего моду,

NMo - частота того интервала, в котором расположена мода,

NMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

NMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Средняя величина характеризует только уровень, закономерный для данной совокупности. В ряде случаев одно и то же численное значение средней может характеризовать совершенно различные совокупности. Поэтому для того чтобы судить о типичности средней для данной совокупности, её следует дополнить показателями, характеризующими вариацию (колеблемость) признака. Наиболее распространёнными из них являются дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Дисперсия () - это среднее из квадратов отклонений от средней величины, для вариационного ряда она определяется по формуле:

,

Если ряд интервальный, то в качестве варианты (xi), также как при расчете средней, берётся середина интервала.

При использовании калькулятора, а также для дискретных рядов распределения более удобной может быть другая формула вычисления дисперсии:

где

Наиболее широко в статистике применяется такой показатель вариации, как среднее квадратичное отклонение (), который представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Относительным показателем колеблемости признака в данной совокупности, является коэффициент вариации (V):

Коэффициент вариации позволяет сравнивать вариации различных признаков, а также одноименных признаков в разных совокупностях.

Контрольное задание № 2

1. На основе равноинтервальной структурной группировки (для любого признака) построить вариационный частотный и кумулятивный ряды распределения, оформить в таблице, изобразить графически.

2. Проанализировать вариационный ряд распределения, вычислив:

·  среднее арифметическое значение признака;

·  медиану и моду, квартили и децили (первую и девятую) распределения;

·  среднее квадратичное отклонение;

·  дисперсию;

·  коэффициент вариации.

3. Сделать выводы.

Методические указания к выполнению задания №3

Индексы

В статистике под индексами понимаются относительные величины, характеризующие результаты сравнения двух уровней одноименных объектов. Однако это не любые показатели сравнения, а специальные, построенные при особых условиях обобщения.

Каждый индекс включает два вида данных: данные текущего (или отчетного) уровня, которые принято обозначать «1», и базисного уровня, служащего базой сравнения, обозначаемые «0».

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (частные) и агрегатные (общие).

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных единиц статистической совокупности (например, изменение цен на отдельные виды работ и услуг и т. д.):

где x1 - текущий уровень индексируемой величины;

x0 - базисный уровень индексируемой величины.

Агрегатные индексы выражают сводные обобщающие результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность (например, изменение цен на все виды выполняемых работ и услуг и т. д.):

, где

- коэффициент соизмерения;

- текущий уровень индексируемой величины;

- базисный уровень индексируемой величины.

Так как совокупность состоит обычно из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию, то агрегатный индекс включает набор значений индексируемой величины {xj} и соответствующих им коэффициентов соизмерения (весов) {wj}.

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение в целое разнородных единиц статистической совокупности. Аналитические свойства определяются тем, что с помощью индексного метода можно оценить влияние факторов на изменение изучаемого показателя.

Различают индексы количественных и качественных показателей. К индексам количественных (объемных) показателей относятся индексы физического объема продукции, работ и услуг, грузооборота, товарооборота и т. д. - показателей, которые характеризуются абсолютными величинами. К индексам качественных показателей относятся индексы цен, выработки, себестоимости единицы продукции, заработной платы и др., - показателей, уровень которых дается в форме средних (относительных) величин.

Систему этих индексов можно рассмотреть на примере таких показателей, как цена, физический объем работ или услуг и стоимость работ или услуг.

Обозначим цену отдельного вида работ или услуг (качественный показатель) p, а физический объем, т. е. объем работ или услуг отдельного вида в натуральном выражении (количественный показатель) q.

Тогда индивидуальные индексы этих показателей имеют вид:

*  физического объема работ или услуг ,

*  цены ,

*  стоимости .

При определении общего индекса цен Ip существует два подхода:

1-ый подход: на основе индексных формул.

Если в качестве веса приниматься физический объем работ и услуг текущего периода:

Такой агрегатный индекс цен называется индексом Пааше (в формуле обозначен буквой П).

Если в качестве веса принимается физический объем работ и услуг базисного периода:

Такой агрегатный индекс цен называется индексом Ласпейреса в формуле обозначении буквой Л).

Применение каждого из этих индексов зависит от цели исследования. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость работ и услуг, реализованных в отчетном периоде, а индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость работ и услуг, если физический объем их в текущем периоде не изменится.

Однако в нашей практике более распространен индекс Пааше, поэтому именно этот индекс в качестве индекса цен будет применен при выполнении контрольной работы. Это важно, так как от этого зависит конструкция общего индекса физического объема.

Дело в том, что практически каждый индекс можно рассматривать как часть некоей системы индексов, определенной взаимосвязью между признаками. Так, если

стоимость продукции = количество ´ цена,

то и общий индекс стоимости должен быть равен произведению индекса физического объема на индекс цен: Iqp = Iq. Ip

Отсюда, если для индексирования цен применен индекс Пааше, то индекс физического объема будет иметь вид:

,

а индекс стоимости, разложенный на соответствующие компоненты имеет вид:

2-ой подход: на основе усреднения индивидуальных индексов.

Агрегатный индекс связан с индивидуальными индексами. Это особенно важно тогда, когда данных для построения агрегатного индекса недостаточно. При этом агрегатный индекс может быть определен как средний из индивидуальных; метод усреднения зависит от имеющейся системы весов.

Так, если даны индивидуальные индексы цен различных видов однородной продукции (ip1, ip2,..., ipn), то агрегатный индекс цен для этого набора продукции будет определен как среднее гармоническое с весами усреднения p1j *q1j:

Если даны индивидуальные индексы физического объема (iq1, iq2,..., iqn), то агрегатный индекс физического объема для этого набора продукции будет определен как среднее арифметическое с весами усреднения p0j *q0j:

Это особенно важно тогда, когда данных для построения агрегатного индекса недостаточно. При этом агрегатный индекс может быть определен как средний из индивидуальных; метод усреднения зависит от имеющейся системы весов.

Индексный метод позволяет также представить абсолютный прирост стоимости продукции как результат влияния различных факторов: изменения цен и количества продукции.

Так, общее изменение стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным определяется следующим образом:

,

в том числе:

*  за счет изменения цен на отдельные виды продукции

;

*  за счет изменения количества производимой продукции

.

Общее изменение стоимости продукции равно алгебраической сумме изменений за счет каждого из факторов.

Особый подход существует при индексировании средних величин. Индекс средней величины определяется как отношение ее значений в текущем и базисном периоде. Например, индекс средней цены будет определяться так:

Если принять , то

При этом на величину средней влияет как изменение цен, так и изменение структуры набора продукции, для которой определялась средняя цена, поскольку в ее расчете участвуют веса разных периодов (q0 и q1). Поэтому индекс средней величины называется индексом переменного состава, а для анализа влияния на индекс средней величины непосредственного изменения усредняемой величины (в данном случае - цены) определяется индекс фиксированного состава:

,

а изменения структуры продукции - индекс структурного сдвига:

Iстр. сдв..

Контрольное задание № 3

1. Пользуясь таблицами № 2 и № 3, сформировать таблицу исходных данных.

2. Определить индивидуальные индексы:

*  физического объема,

*  цены;

*  стоимости.

3. Определить общие индексы:

*  физического объема,

*  цены;

*  стоимости

как агрегатные и как средние из индивидуальных.

Объяснить экономический смысл каждого из индексов, показать взаимосвязь между ними.

4. Определить абсолютное изменение стоимости произведенной продукции в текущем периоде по сравнению с базисным, в том числе, за счет изменения цен и за счет изменения выпуска продукции.

5. Считая продукцию однородной, определить как изменилась средняя цена единицы продукции и как при этом повлияло изменение цен и изменение структуры выпускаемой продукции. Объяснить полученные результаты.

Показатели выпуска продукции Таблица 2

	Вид продукции (варианты)
I	II	III
Базисный период	Выпуск продукции, тыс. шт.	А	66	56	63
B	35	42	70
C	25	55	45
Цена за единицу, тыс. руб./шт.	1	22	45	11
2	44	60	18
3	33	54	17
Текущий период	Выпуск продукции, тыс. шт.	E	70	80	50
F	40	75	65
G	56	76	35
H	37	40	62
Цена за единицу, тыс. руб./шт.	4	33	26	11
5	42	37	10
6	31	15	19

Данные для формирования таблицы выпуска продукции по периодам Таблица 3

Номер варианта	Столбцы данных	Номер варианта	Столбцы данных	Номер варианта	Столбцы данных
1	2	3	4	5	6	7	8	9
01	А1	E4	35	A3	H5	69	B3	G6
02	А1	E5	36	A3	H6	70	B3	H4
03	А1	E6	37	B1	E4	71	B3	H5
04	А1	F4	38	B1	E5	72	B3	H6
05	А1	F5	39	B1	E6	73	C1	E4
06	А1	F6	40	B1	F4	74	C1	E5
07	А1	G4	41	B1	F5	75	C1	E6
08	А1	G5	42	B1	F6	76	C1	F4
09	А1	G6	43	B1	G4	77	C1	F5
10	А1	H4	44	B1	G5	78	C1	F6
11	А1	H5	45	B1	G6	79	C1	G4
12	А1	H6	46	B1	H4	80	C1	G5
13	А2	E4	47	B1	H5	81	C1	G6
14	А2	E5	48	B1	H6	82	C1	H4
15	А2	E6	49	B2	E4	83	C1	H5
16	А2	F4	50	B2	E5	84	C1	H6
17	A2	F5	51	B2	E6	85	C2	E4
18	A2	F6	52	B2	F4	86	C2	E5
19	A2	G4	53	B2	F5	87	C2	E6

Окончание таблицы 3

20	A2	G5	54	B2	F6	88	C2	F4
21	A2	G6	55	B2	G4	89	C2	F5
22	A2	H4	56	B2	G5	90	C2	F6
23	A2	H5	57	B2	G6	91	C2	G4
24	A2	H6	58	B2	H4	92	C2	G5
25	A3	E4	59	B2	H5	93	C2	G6
26	A3	E5	60	B2	H6	94	C2	H4
27	A3	E6	61	B3	E4	95	C2	H5
28	A3	F4	62	B3	E5	96	C2	H6
29	A3	F5	63	B3	E6	97	C3	E4
30	A3	F6	64	B3	F4	98	C3	E5
31	A3	G4	65	B3	F5	99	C3	E6
32	A3	G5	66	B3	F6	00	C3	F4
33	A3	G6	67	B3	G4
34	A3	H4	68	B3	G5

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2