Лекция. Системы счисления

Лекция. Системы счисления

Система счисления - это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления - это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления (IV, V, VI).

Позиционная система счисления - это система, в которой значение символа зависит от его места (или позиции) в ряду цифр, изображающих данное число. Всё число делится на разряды. Позиционная система характеризуется основанием или базисом.

Основание позиционной системы - это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Основными характеристиками позиционной системы являются:

1. Количество цифр системы равно её основанию.

2. Наибольшая цифра на единицу меньше основания.

3. Каждая цифра числа умножается на основание в степени, значение которой определяется положением цифры в числе.

Число М = М1+М2 представляется в виде:

,

b - основание системы счисления;

а - значение разряда;

n - число разрядов целой части;

m - число разрядов дробной части;

bi - вес разряда, который равен основанию степени, равной номеру разряда без единицы.

163	162	161	160	,	16-1	16-2
103	102	101	100	,	10-1	10-2
83	82	81	80	,	8-1	8-2
23	22	21	20	,	2-1	2-2

Изображение числа в различных системах счисления

Для отличия чисел различных систем счисления используются различные способы написания:

12510 = 125D (десятичная);

1258 = 125Q (восьмеричная);

12516 = 125H (шестнадцатеричная);

1012 = 101B (двоичная).

Число Z=126,25D можно представить в виде равенства:

-  десятичная система ;

-  двоичная система ,

;

-  шестнадцатеричная система , .

Наиболее широко используется десятичная система счисления, а все современные вычислительные средства работают на базе двоичной системы. Использование двоичной системы счисления при построении вычислительных устройств объясняется следующими причинами:

1) в двоичной системе легче различить 2 состояния, чем, например, 10 десятичных;

2) большинство физических величин имеет два состояния: потенциал высокий или низкий; выключатель включен или выключен; ток есть или нет;

3) реализовать цифровую схему, имеющую два состояния значительно легче.

Недостатком двоичной системы счисления является то, что в ней необходимо использовать значительно большее число разрядов, чем, например в десятичной, т. е. очень неудобная запись. Для облегчения записи двоичных чисел может быть использована восьмеричная система счисления, так как основанием этой системы является 8=23. Для перевода двоичных чисел в восьмеричные необходимо разбить двоичное число на трех битовые группы, каждую из которых можно представить в виде одной восьмеричной цифры.

Например, .

Наряду с восьмеричным представлением двоичных чисел широкое распространение получили двоично-десятичная система и шестнадцатеричная система счисления (DDK, BCD). Двоично-десятичный код ориентирован на десятичное основание системы и может быть непосредственно преобразован в десятичные числа. Двоично-десятичный код образуется заменой каждого десятичного разряда в десятичном числе 4-х битовым двоичным представлением этого разряда. Например, (BCD(DDK)). Шестнадцатеричное представление двоичных чисел есть расширенное двоично-десятичное представление, использующее дополнительные 6 символов 4-х битовых групп:

А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15. Например, 1F H=31D.

Арифметические операции

в различных системах счисления над числами без знаков

Все арифметические операции во всех системах счисления выполняются аналогично операциям в десятичной системе счисления, но необходимо помнить чему равно основание системы счисления, и что число цифр в каждом разряде на единицу меньше, чем основание.

1. Сложение

1.1 Двоичная система счисления

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=[1] 0, 1+1+1=[1] 1, где [1] - перенос

+11011

1111

101010

1.2  Восьмеричная система счисления

+157 Q

376 Q

555 Q

1.3  Шестнадцатеричная система счисления

+1F7 H

D3E H

F35 H

2. Вычитание

2.1 Двоичная система счисления

1-0=1

0-1=[1] 1, где [1]- заем

-10002

1112

0001

2.2  Восьмеричная система счисления

-1101 Q

777 Q

102 Q

2.3  Шестнадцатеричная система счисления

-1DE H

FF H

DF H

3. Умножение

3.1 Двоичная система счисления

1×1=1

1×0=0

´101

11

+101

101

1111

3.2  Восьмеричная система счисления

´ 27 Q

35 Q

+163 Q

105

1233 Q

3.3  Шестнадцатеричная система счисления

´1F H

A H

136 H

4. Деление

4.1 Двоичная система счисления

-1

101 11

-101

101

0

4.2  Восьмеричная система счисления

16 Q 2

16 7

0

4.3 Шестнадцатеричная система счисления

1E H 2

1E F

0

Преобразование кодов

Правила преобразования для целых и дробных чисел имеет свои особенности: полное представление двоичного числа или кода получают путем объединения целых и дробных частей числа и указания места запятой.

Перевод десятичных чисел в двоичные, восьмеричные
и шестнадцатеричные числа

1. Целая часть

Повторное деление данного десятичного числа на основание, остатки дают преобразованное число, читаемое в направлении снизу вверх.

1) 10-ое ® 2-ое ост.

36:2=18 0

18:2=9 0

9:2==1001002

4:2=2 0

2:2=1 0

1:2= 1

ост.

124:2=62 0

62:2=31 0

32:2=1=

15:2=7 1

7:2=3 1

3:2=1 1

1:2= 1

2) 10ое® 8ое ост.

36:8=4 4

4:8= 4 3610=448

3) 10ое® 16ое ост.

36:16=2 4

2:16= 2 3610=24 H

ост.

124:16=7 C

7:16= 7 12410=7C H

2. Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные, восьмеричные, шестнадцатеричные коды

Повторное умножение данного десятичного числа на основание. Разряд перед запятой дает разряд преобразованного числа, при последующем умножении используется лишь дробная часть промежуточного результата.

1) 0,375 D® B (двоичная система)

0,375´2=0,75 0

0,75´2=1,5 1 0,375 D=0,0112

1,5´2=1,0 1

2) 0,375 D®Q

0,375´8=3,0 3 0,375 D=0,38=0,3Q

3)0,375 D®H

0,375´16=6,0 6 0,375 D=0,6 H

Методы преобразования кодов в десятичные

1. Целая часть

Повторное умножение промежуточного результата на основание и сложение его со значением разряда данного числа. Первым промежуточным результатом является наивысший разряд.

1) 1101002 ® D

1 1

1×2+1 3

3×2+0 6

6×2

13×2

26×2

32

1101002 = 52 D

2) 154 Q® D

1 1

1×8

13×8

1 5 4 Q=108 D

3) 1AF H® D

1 1

1×16+A 26

26×16+F 431

1 A F H=431 D

2. Перевод дробных кодов в десятичные

Повторное деление суммы промежуточного результата и значения разряда данного числа на основание. Первым промежуточным результатом является младший разряд, делённый на основание.

1) 0®D

1:2=0,5

+0,5:2=0,75

+0,75:2=0,875

0, ,1112=0,875D

2) Q®D

1:8=0,125

+0,125:8=0,64

+0,64:8=0,455

0, ,3518=0,455D

3) H®D

A:16=0,625

+0,625:16=0,101

0, 1 A 0,1A16=0,101D

Общее правило

В общем случае перевод целого числа из одной системы счисления в другую производится методом повторного деления данного числа на основание той системы, в которую оно переводится. Деление выполняют в системе счисления, в которой записано подлежащее преобразованию число. Основание записывают в системе счисления преобразуемого числа. Результат также записывают в системе преобразуемого числа.

1) 154Q®D

154  12

12 12 12

34 12 1 12

24 0 1 0

10

= 10810

2) 100002®D

10

1010 1 1010

110 1

100002 =1610

По общему правилу перевод дробной части числа из одной системы счисления в другую производится последовательным умножением числа на основание преобразованного числа. Умножение производится в системе счисления преобразуемого числа, основание и результат записываются в системе счисления преобразуемого числа. Умножению подвергаются только дробные части промежуточных результатов. Целая часть до запятой представляет собой разряды преобразуемого числа, записанные в системе счисления преобразуемого числа.

0,752Q®D

0,752 ´ 12

5 550

7 02

1) ´ 0,752

12

1724

752

11,444

2) ´ 0,444

12

1110

444

5,550

3) ´ 0,55

12

132

55

7,02

0,752 Q = 0,957 D

Кодирование чисел в вычислительных системах

Все системы счисления допускают использование как положительных, так и отрицательных чисел, для обозначения которых в вычислительных системах применяют знаковый разряд. В него для изображения положительного числа заносится ноль, для изображения отрицательного числа заносится единица. Знаковый разряд обычно стоит в начале разрядной сетки ЭВМ. Для представления двоичных чисел со знаком применяют специальные коды:

-  прямой;

-  обратный;

-  дополнительный.

Прямым кодом двоичного числа называется n-разрядное число, у которого один или два старших разряда есть знаковые, и записывается это число в следующем виде:

Прямой код определяется следующим выражением:

,

где А - вес знакового разряда.

Для дробных чисел А=1, для целых чисел А=2n-1, где n - число бит разрядной сетки ЭВМ.

Пример.

n = 4

х = -5

1

1

0

1

[-5]пр = 23 + ï-5ï=13=1101

для n = 5

1

0

1

0

1

[5]пр = 24 + ï-5ï=16 +5= 21=10101

Пример.

n = 4

х = -0,5

[-0,5]пр = 1 + ï0,5ï=1,5=1100

В прямом коде 0 имеет два значения. Например, для n=4

+0º0000

-0º1000

Обратным кодом двоичного числа называется n-разрядное число, у которого один или несколько старших разрядов есть знаковые, и записывается оно в следующем виде:

Обратный код положительного числа равен прямому коду этого числа.

Обратный код отрицательного числа определяется выражениями:

-  для дробных чисел [X]обр = n-1) - |X|;

-  для целых чисел [X]обр = 2n -1 - |X|.

Наиболее просто обратный код можно получить следующим образом:

1. Записать исходное число в прямом коде (знаковый разряд равен 1).

2. В цифровых разрядах поменять нули на единицы, а единицы на нули.

Пример.

n = 4

х = -5

[-5]пр = 1101

[-5]обр = 1010

[-5]обр = 24-1-[5] = 16-1-5 = 10 =1010

Пример. Обратный код дробного числа:

n = 4

х = -0,5

[-0,5]обр = 2-2-(4-1)-ï0,5ï=1,375=1011

0,375×2=0,75 0

0,75×2=1,5 1

0,5×2=1,0 1

Пример.

n = 4

х = +5

[5]обр = [5]пр = 0101

Вес знакового разряда отрицательного числа равен - [2n-1 -1].

n=4, [+0]обр=0000, [-0]обр=1111.

Перевод обратного кода в десятичный производится следующим образом:

1. Образуем прямой код инвертированием цифровых разрядов.

2. Значение знакового разряда (1) отбрасываем и считаем, что это '' минус''.

3. Умножаем значение цифровых разрядов на их веса и произведения складываем.

Перевод положительных чисел, записанных в прямом и обратном кодах в десятичные числа, производится сложением произведений значений цифровых разрядов на их веса.

Пример: 1010 = - [23 - 1] + 0×22 + 1×21 + 0×20 = -7 + 0 + 2 +0 = -5

В основном в вычислительных системах используется дополнительный код.

Дополнительным кодом двоичного числа называется n-разрядное число, у которого один или два старших разряда есть знаковые, и записывается это число в следующем виде:

(n-1) нулей

Дополнительный код положительного числа равен прямому коду данного числа.

Дополнительный код отрицательного числа образуется следующим образом:

-  для дробных чисел [X]доп = 2 - |X|;

-  для целых чисел [X]доп = 2n - |X|.

Дополнительный код отрицательных чисел можно получить по следующему правилу:

1. Записать число в обратном коде.

2. Прибавить к полученному результату 1.

Пример.

n = 4

х = -5

[-5]обр = 1010

[-5]доп = 1011

È весовой знак (-2n-1)

n = 4 [+0]доп = 0000

[-0]доп = 0000

Для перевода двоичного числа, записанного в дополнительном коде, в десятичное необходимо:

1. Определить знак числа. Если число положительное - знаковый разряд равен нулю, то дополнительный код равен прямому и для получения десятичного числа умножаем значения цифровых разрядов на их веса, а потом произведения складываем.

2. Если число отрицательное (в знаковом разряде стоит 1) необходимо проинвертировать цифровые разряды двоичного числа, к полученному результату прибавить единицу, и тем самым получаем представление числа в прямом коде, далее суммируя произведения значений весовых коэффициентов на соответствующие разряды, получаем десятичное число.

Представление двоичного числа в десятичном коде можно получить, используя вес знакового разряда.

Пример:

1011-доп.

1100

0001

1101

-(1×22+0×21+1×20)=-5

1101= 1×(-23) +0×22+1×21+ 1×20 = -5

Арифметические операции над числами со знаками

Для выполнения операций сложения и вычитания в цифровой системе, числа удобно представить в обратном или дополнительном кодах, причём вычитание заменяется сложением.

Пример.

n = 6

16-5= 16+(-5)

[16]пр = [16]обр =[16]доп =010000

[-5]пр = 100101

[-5]обр = 111010

[-5]доп = 111011

1) В обратном коде 2) В дополнительном коде

+010

111

1001

цикл +1

пер

При равенстве переносов в знаковый разряд и из знакового разряда переполнение разрядной сетки ЭВМ - отсутствует.

ZS + ZS+1 = 1 - условие переполнения разряда.

Обратный и дополнительный код десятичных чисел

Обратный код

Пример: [-595]обр = 1 404; ;

[-595]пр = 1 595

Дополнительный код

, где n - число десятичных разрядов.

Пример: [-595]доп = 1 405

Арифметические операции в двоично-десятичном коде

В двоично-десятичном коде из 4-х двоичных разрядов можно составить 16 комбинаций (0000¸1111). Поскольку для представления десятичной цифры необходимо только 10 комбинаций (0000¸1001), то следовательно 6 комбинаций двоичных цифр (1010¸1111) не используется. В двоично-десятичном коде (DDK) перенос необходимо генерировать при десятом отсчёте, поэтому при сложении в случае переноса добавляется 6. Шестёрка также добавляется в случае появления запрещённой комбинации.

Пример:

+[-595] [-0595]пр. = 10595

[-675] [-0675]пр. = 10675

[-0595] пр. [-0595] обр. = 19404 DDK:

[-0675] обр. = 19324 DDK:

[-0595] доп. = 19405 DDK:

[-0675] доп. = 19325 DDK:

+

+ 0110 +1

1 101

( "-" знак)

обратный код

В дополнительном коде

+ 1 101

1 101

10 1010

0

1 100

½10n - ½х½½= - 127

Двоично-десятичная система кодирования

В декадных счётчиках, частотомерах, цифровых вольтметрах, датчиках положения скорости используется двоично-десятичный код. В цифровых приборах для индикации используется семи сегментный код, т. е. в цифровых приборах DDK работает в семи сегментный код. DDK каждая десятичная цифра представляется в виде комбинации знаков 0 и 1 при этом сохраняется десятичный вес цифры. Наиболее общим способом кодирования является представление десятичной цифры при помощи её 4-х разрядного двоичного эквивалента.

DDK бывают взвешенные и не взвешенные. Во взвешенном коде каждый двоичный разряд десятичный цифры имеет определённый вес. Любую десятичную цифру от 0 до 9 можно представить в виде следующего выражения:

А = а1×Q1 + а2×Q2 + а3×Q3 + а4×Q4,

где а1…а4 - веса двоичных разрядов;

Q1…Q4 - двоичные числа кодовой комбинации. Например, [5]DDK = 0101

К взвешенным кодам относят коды 8421, 4221, 2421, 5211, 5421 и код с избытком 3.

Наиболее употребительным является код 8421. Этот код удобен тем, что он совпадает с обычным двоичным кодом. Кроме того, он однозначен. В нём для каждой десятичной цифры можно написать одну и только одну комбинацию.

Код 2=6, 0110=6.

В зависимости от порядка следования степеней числа 2 взвешенные коды бывают регулярными и нерегулярными. В регулярном коде степени расположены в возрастающем порядке. Если степени числа 2 расположены другим способом, то хотя в результате и получится DDK, но он будет нерегулярным. Регулярный код 8421, примерами нерегулярного кода могут быть 2421, 4221. Преобразование в нерегулярных кодах производится порядком следования степеней 2. Отсюда следует, что если установить вес некоторым произвольным образом, то получим код, который можно характеризовать как случайный, и связывая сложным образом веса между собой можно получить секретный код, который не поддаётся расшифровке.

Если в коде 8421 добавить число 3, то получится код с избытком 3:

А = а1×Q1 + а2×Q2 + а3×Q3 + а4×Q4 + 3. [4]код с изб."3" = 0100 + 0011 =0111.

В коде с избытком 3 каждая цифра содержит как единицы, так и нули, что создаёт определённые преимущества при передаче информации. Поскольку в этом коде десятичный ноль также представляет собой группу нулей и единиц, то это обеспечивает высокую степень надёжности при детектировании (передаче) кода нуля. Другим достоинством этого кода является то, что он само дополняющийся и применяется при выполнении арифметических операций над десятичными числами, записанными в обратном или дополнительном коде.

DDK также можно разделить на две группы:

-  самодополняющиеся коды;

-  не самодополняющиеся коды.

К самодополняющимся кодам относят коды, которые характеризуются следующим:

при разрядном инвертировании кодовой комбинации любой цифры от 0 до 9 получается новая кодовая комбинация, которая соответствует числу, дополняющему исходное число до 9.

Код 2421 само дополняющийся, например, 0110 = 6, проинвертировав (1001) = 3.

Кроме кодов двоично-десятичных существуют коды управляющих и контролирующих модулей - коды Грея. Этот код является кодом с обменом единицей. При переходе из одной цифры кода к другой всегда изменяется только один из двоичных разрядов.

Кроме того, существует код чётности для контроля передачи информации, код Хемминга, который служит для контроля передачи информации, отыскании ошибки в передаче и коррекция этой ошибки.

Семисегментный код применяется для представления десятичных цифр с помощью семи сегментного индикаторного элемента.

Код ASCII преобразует алфавитно-цифровую информацию.