УДК 629.1

,

(ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", Санкт-Петербург)

Метод спрямленных логарифмических характеристик В задачах сглаживания

Показано применение метода спрямленных логарифмических характеристик, использующего понятия условных спектральных плотностей для задачи сглаживания.

Введение

При решении задач обработки измерительной информации широкое применение получили алгоритмы, разрабатываемые в рамках калмановского подхода. Вместе с тем для задач обработки стационарных сигналов сохраняет свою актуальность винеровский подход. Суть подхода заключается в нахождении передаточной (или весовой) функцией оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку оценивания в установившемся режиме. Одно из достоинств винеровского подхода заключается в том, что для построения алгоритмов разработаны различные упрощенные методы. В частности, применительно к навигационным приложениям наибольшее применение получил так называемый метод спрямленных логарифмических характеристик или метод локальных аппроксимаций [1, 2]. Достоинство этого метода заключается в том, что при решении задач фильтрации стационарных процессов удается получить достаточно простые алгоритмы, обладающие, в частности, полезными на практике свойствами астатизма.

В работе рассмотрено применение метода спрямленных логарифмических характеристик для задач фильтрации и сглаживания. Приведен пример расчета матрицы ковариаций для установившегося режима задачи сглаживания, показывающий взаимосвязь между задачами, решаемыми методом спрямленных логарифмических характеристик с классом задач сглаживания, формулируемых в рамках калмановской постановки.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Метод спрямленных логарифмических характеристик в задачах фильтрации

Как известно [1, 3], метод спрямленных логарифмических характеристик направлен на приближенное решение задачи в рамках винеровского подхода, основные положения которого заключаются в следующем. В качестве измерений рассматривается сумма полезного сигнала x(t) и случайных ошибок измерений n(t):

(1)

представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала и помехи, которые полагаются центрированными, случайными, стационарными процессами с известными дробно-рациональными спектральными плотностями , соответственно. Тогда оценка, оптимальная по критерию обеспечения минимума дисперсии ошибки оценки

(2)

может быть получена на выходе линейного фильтра с передаточной функцией вида

, (3)

где - взаимная спектральная плотность оцениваемого процесса и помехи. В частном случае, когда они некоррелированны, это соотношение преобразуется к виду

, (4)

где представляет собой результат факторизации – разложения на комплексно-сопряженные сомножители и учет тех, которые имеют полюса только в верхней полуплоскости комплексной плоскости. Выражение получается в результате сепарации – представления в виде суммы простых дробей с отбрасыванием дробей с полюсами, лежащими в нижней полуплоскости.

В рамках представленной постановки винеровского подхода выделим основные особенности метода спрямленных логарифмических характеристик.

В первую очередь, идея метода заключается в аппроксимации спектральных плотностей полезного сигнала и помехи в точках пересечения соответствующими им приближенными условными спектральными плотностями Т. е. в окрестности точки пересечения спектральные плотности аппроксимируются с помощью соотношений вида

, . (5)

Здесь - ордината точки пересечения, - значение частоты, в окрестности которой используется приближенное представление (5), а - показатели, принимающие положительные или отрицательные значения. Условные спектральные плотности (5), построенные в логарифмическом масштабе, имеют вид прямых, наклон которых, определяется показателями и .

Еще один упрощающий прием основывается на о том, что при наличии нескольких некоррелированных между собой составляющих , формирующих спектральную плотность SΣ(w), SΣ(w) может быть приближенно получена построением огибающей сверху спектральных плотностей составляющих, что следует из соотношения

. (6)

Это выражение наглядно графически представляется в виде огибающей сверху (пунктирная линия) слагаемых спектральных плотностей, как это показано на рис. 1. С использованием (6) изначально можно обоснованно исключить из рассмотрения те составляющие, которые во всем диапазоне частот не приближаются к огибающей сверху, и сократить тем самым число учитываемых источников возмущений.

Рис. 1. Суммирование спектральных плотностей

Ключевым в МЛА является утверждение о том, что частотная характеристика оптимального фильтра определяется поведением плотностей в окрестности точки пересечения (в общем случае – нескольких точек) спектральных плотностей и . Это утверждение позволяет при нахождении корней спектральной , использовать аппроксимации и в окрестности точки пересечения их приближениями в виде (5).

При сделанных предположениях нахождение корней сводится к решению уравнения [1, 3]

. (6)

Отсюда с очевидностью следует, что знаменатель оптимальной передаточной функции, найденный с помощью введенных приближений методом спрямленных частотных характеристик, будет совпадать с фильтром Баттерворта [3]. Коэффициенты полинома , стоящего в числителе передаточной функции, отыскиваются в МЛА, исходя из условия минимизации дисперсии ошибки фильтрации.

В книге [1], заложившей основы МЛА, представлена таблица с результатами решения задачи фильтрации при различных комбинациях простейших аппроксимаций спектральных плотностей сигнала и помехи.

Т а б л и ц а 1

Метод спрямленных логарифмических характеристик в задачах сглаживания

Рассмотрим классическую задачу оптимального оценивания полезного сигнала на фоне случайных ошибок измерений. Пусть скалярные измерения

представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала x(t) и помехи n(t), которые полагаются центрированными, некоррелированными и стационарными процессами c заданными спектральными плотностями , .

Отметим, что особенность задачи сглаживания заключается в том, что при получении оценки в текущий момент времени могут быть использованы не только прошлые, но и будущие по отношению к этому моменту времени измерения. В этом случае выражение для передаточной функции оптимального сглаживающего фильтра будет определяться как [3]

, (7)

а для спектральной плотности ошибки оптимальной нереализуемой оценки и ее дисперсии будут в этой ситуации справедливы следующие выражения:

, . (8)

Пользуясь выражениями (7) и (8) можно получить таблицу, для решения задачи сглаживания при различных комбинациях простейших аппроксимаций спектральных плотностей сигнала и помехи, аналогичную таблице 1.

В последних столбцах таблицы 2 приведены значения для дисперсии оптимальной оценки задач сглаживания и фильтрации , а также их соотношение . Из численных значений для последнего выражения можно увидеть предположительный выигрыш от использования задач сглаживания, который для некоторых случаев превышает 4 раза.

Т а б л и ц а 2

Расчет матрицы ковариаций для установившегося режима задачи сглаживания

В книге [3] приведен расчета матрицы ковариаций для установившегося режима задачи фильтрации для вектора состояния, описываемого уравнением

(9)

по измерениям

. (10)

В начальный момент времени вектор является центрированным вектором с известной матрицей ковариаций, а порождающие шумы и шумы измерения некоррелированы между собой и с начальными условиями и их интенсивности заданы значениями и .

Полученное выражение для матрицы ковариаций имеет вид

, (11)

Принимая матрица может быть записана в виде

. (12)

Рассмотрим пример получения матрицы ковариаций в той же постановке задачи (9)-(10), но для установившегося режима задачи сглаживания.

Для этого необходимо найти установившееся решение для ковариационного уравнения

, (13)

где коэффициент усиления зависит только от решения задачи фильтрации. Таким образом, для того, чтобы решить задачу сглаживания, необходимо предварительно решить задачу фильтрации.

Из выражений (9), (10) известные матрицы примут вид:

, , , , . (14)

Неизвестные элементы матрицы обозначим как

. (15)

Подставляя (12), (14) и (15) в (13) получим систему из 6 уравнений:

(16)

Решая эту систему уравнений, получим выражение для матрицы ковариаций установившегося режима задачи сглаживания в виде

, (17)

где .

Сравнивая полученное выражение для дисперсии со значениями из таблицы 2, можно увидеть, что рассмотренной постановке задачи (9)-(10) соответствует решение методом спрямленных спектральных характеристик для спектральных плотностей полезного сигнала и помехи вида (5) при ,.

Выводы

В работе рассмотрено применение метода спрямленных логарифмических характеристик для задач фильтрации и сглаживания. Показан потенциальный выигрыш в установившемся режиме при использовании алгоритмов сглаживания по сравнению с фильтрацией. Приведен пример расчета матрицы ковариаций для установившегося режима задачи сглаживания, показывающий взаимосвязь между задачами, решаемыми методом спрямленных логарифмических характеристик с классом задач сглаживания, формулируемых в рамках калмановской постановки.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту -а.

Литература

1. Челпанов, И. Б. Расчет характеристик навигационных гироприборов / , , . – Л.: Судостроение, 1978. – 264 с.

2. Лопарев, А. В. Использование частотного подхода при синтезе нестационарных алгоритмов обработки навигационной информации / , , // Гироскопия и навигация. – 2011. №3, 2011. – с.115-132.

3. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч.2./. – СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2012.