|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 1
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –1; 1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 0, x2 + y2 =1, z =1– y2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x2 + y2, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(–1, 7), В(7, 1), С(5, 12).
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (27,027; 8,994).
7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x2y – 2xy2 + 18xy. Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x +3y при условии
2 x2 + y2 –2x – 3y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 7 и 5 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 105, чтобы функция полезности U = x2y была максимальной.
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 2
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = 0; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
xy z = 0, x + y =2, z = x2 + y2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = 2x – y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области, ограниченной линиями у = х2 , у = х+2 .
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (3,01; 1,99).
7. Исследовать на экстремум функцию z = x2y + 2xy2 – 6xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных 
.
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 4x – 2y –15 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 18 и 12 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x3y2 приняла значение U = 32 .
|
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 3
1. Найти область определения функции 
. Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции 
изобразить линии уровня z = –0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 0, .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (y + 1)/(x + 1), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 4), В(5, 1), С(6, 5).
5. Для функции 
проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции 
в точке (8,012; 3,996).
7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x2y – xy2 + 9xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 
удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении 
произвести замену независимых переменных 
.
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x + 2y при условии
2x2 + y2 – 2x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 5 и 4 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 60, чтобы функция полезности U = xy2 была максимальной.
