Д. А. МИЛЬКОВ, И. С. КНЯЗЕВА, Н. Г. МАКАРЕНКО
Главная астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург
МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛОЖНОСТИ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛНЦА
Анализируется динамика солнечных активных областей (АО) на основе MDI-магнитограмм полного диска. В основе подхода лежат методы фрактальной геометрии и вычислительной топологии. Мы оцениваем топологические инварианты – числа Бетти для временной последовательности магнитограмм и полученных из них гельдеровских карт для вспышечных и спокойных АО. Предварительные результаты указывают на существование возможных топологических предвестников перед Х-вспышками.
Нашей основной целью является описание динамической эволюции активных областей (АО) Солнца в рамках геометрических и топологических инвариантов, извлеченных из Michelson-Doppler Imager (MDI)-данных. Исследование ориентировано на поиск предвестников сильных солнечных вспышек в контексте этих инвариантов[1-3] .
Основная идея описания эволюции АО заключаются в следующем. MDI представляет собой цифровое изображение, т. е. цифровую функцию яркости 
, заданную на решетке целочисленных координат 
где «уровнями серого» кодируется значение радиальной 
компоненты магнитного поля. Пространственное разрешение данных составляет приблизительно 
км. Известно, что магнитные числа Рейнольдса в магнитосферных полях достигают значений 
, что соответствует состоянию полностью развитой турбулентности. Следовательно, основные характеристики поля должны асимптотически удовлетворять степенным законам. Так, для достаточно малой области 
напряженность поля допускает аппроксимацию 
, где 
. Свойства масштабной инвариантности наследуются в текстуре цифрового изображения. Точнее, определим меру Радона 
для компактной области 
магнитограммы размером 
как [3]
(1)
Тогда 
, (2)
где 
называют гельдеровскими показателями регулярности меры [2,3]. Преобразование 
позволяет описать геометрию магнитограммы в масштабно-инвариантных переменных, и визуализацию полученной матрицы назовем гельдеровской картой.
Гельдеровский показатель 
можно интерпретировать как коэффициент «плавучести» [4] магнитных трубок образующие АО, с точностью до выбора логарифмической шкалы. Поэтому так называемые сингулярные многообразия [5] 
, т. е. линии уровня гельдеровских карт, можно рассматривать как топографию различной «плавучести». Многообразия 
характеризуют их фрактальной (бокс) размерностью 
. Если степенной закон (2) выполняется статистически в достаточно широком диапазоне масштабов, график 
, который называют мультифрактальным спектром, является выпуклой кверху функцией, т. е. 
. Существуют многочисленные попытки (см. например, [6, 7]) использовать изменение формы этого спектра во времени, в рамках известной гипотезы о всплывающем магнитном потоке в АО, как предвестник солнечных вспышек. Однако наши эксперименты со спектрами, полученными с помощью емкостей Шоке [1, 2], не убеждают в существовании надежной статистической связи между вариациями спектра и вспышками [3].
Не исключено, однако, что поток, предваряющий вспышку, может быть обнаружен в изменении топологических характеристик магнитограммы или ее гельдеровской карты: дополнительное поле потока должно менять существующий баланс в текстурных паттернах АО. В качестве дескрипторов текстуры мы использовали топологические инварианты – числа Бетти – и методы вычислительной топологии [8] для получения их оценок. В качестве примера рассмотрим рис. 1. Контур (или цикл) на рис. 1, а является границей заштрихованной области: он может быть стянут в точку непрерывной деформацией. Цикл на рис. 1, б, напротив, границей не является: он может быть стянут только к «дыре» – белому пикселю в центре. Число независимых циклов, не являющихся границами, определяет так называемое 1-мерное число Бетти 
. Число компонент связности, образованное пикселями выбранного цвета, определяет 0-мерное число Бетти 
. В нашем примере 
, если белый цвет считать фоном. Для «негативного» изображения (фон – серые пиксели) мы получим 
.
а) б)
Рис. 1. Пример построения топологических инвариантов: а – контур (или цикл) является границей
заштрихованной области; б – цикл границей не является
Формально, в рамках теории гомологий, рассматривают абелеву группу 
-цепей 
, где 
– это точки, 
– ребра и 
– клетки. Ее подруппу 
составляют циклы, т. е. цепи с нулевой границей. Подгруппой 
являются границы 
, т. е. циклы, являющиеся границами 
-цепей. Числа Бетти 
являются рангами фактор группы 
.
Рис. 2. Разности 
для вспышечно-спокойной области (АО10923).
На оси Ox указаны номера магнитограмм
Для сечения магнитограммы плоскостью раздела полярностей пиксели черного цвета соответствуют северной полярности, т. е. N-полю, а белые пиксели – S-полю. Можно предположить, что для «спокойной» АО разности чисел Бетти, подсчитанные для негатива и позитива MDI–изображений, должны колебаться относительно среднего уровня. Всплытие дополнительного потока, предшествующего вспышке, может приводить к заметному дисбалансу полярности, и, следовательно, проявляться в вариациях чисел Бетти.
Мы использовали магнитограммы (MDI-данные) [9] для выборки АО и пакет по обработке цифровых изображений CHomP [10] для получения оценок чисел Бетти и действительно обнаружили ожидаемый эффект всплытия потока для некоторых АО. На рис. 2 приведены разности 
для вспышечно-спокойной области (АО10923). Разности (позитив-негатив) ведут себя приблизительно симметрично в интервале времени продолжительностью в 60 часов.
Рис. 3. Поведение разностей для вспышечной области (10930):
дисбаланс разностей появился за 70 часов до вспышки. На оси Ox указаны номера магнитограмм
На рис. 3 поведение разностей для вспышечной области (10930) совершенно иное: дисбаланс разностей появился за 70 часов до серии X-вспышек, произошедших 13 и 14 декабря 2006 года. Если он подтвердится на состоятельной выборке, топологический предиктор может оказаться весьма полезным в арсенале мониторинга солнечных вспышек.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ а
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. , , // Тр. X Пулковской конф. по физике Солнца, Санкт-Петербург. 2006. С. 31
2. , , // Тр. XI Пулковской конф. по Физике Солнца. С-Петербург 2007. С. 235
3. , М, и др. // Солнечно-земная физика. 2007. T. 10. С. 32
4. Acheson D. J. // Solar Physics. 1979. V. 62. P. 23
5. Turiel A., Parga N. // Neural Computation 2000. V.12. P. 763
6. Salakhutdinova I. I., Golovko A. A. // Solar Physics. 2005. V.225. P. 59
7. Conlon P. A., Gallagher P. T. et al. //Solar Physics. 2007. V.241. P.67
8. Kaczynski K. Computational Homology / K. Kaczynski, M. M. Mischaikow. Springer-Verlag, 2004.
9. MDI Daily Magnetic Field Synoptic Data [Электронный ресурс] − Режим доступа: http://soi. stanford. edu/magnetic/index5.html
10. Computational Homology Project [Электронный ресурс] − Режим доступа: http://*****tgers. edu
