Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет
Кафедра математического анализа
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине по выбору студентов
«Теория экстремальных и оптимизационных задач»
для ООП специальности «050201.65 – Математика»
по циклу ДПП. В.00 – дисциплины предметной подготовки
(курсы по выбору)
| Заочная форма обучения | Заочная форма обучения |
Курс – 4 | Курс – 5, 6 |
|
Семестр – 8 |
| |
Объем в часах всего – 80 | Объем в часах всего – 140 |
|
в т. ч.: лекции – 38 | в т. ч.: лекции – 30 |
|
практические занятия – | практические занятия – |
|
самостоятельная работа – 42 | самостоятельная работа – 110 |
|
Зачет – 8 семестр | Зачет – 5, 6 курс |
|
| ||
Екатеринбург 2012
Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория экстремальных и оптимизационных задач»
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»
Екатеринбург, 2012. – 12 с.
Составители:
, зав. кафедрой математического анализа УрГПУ, д. ф.-м. н., доцент, математический факультет
, ст. преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ, математический факультет
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ
Протокол от 01.01.2001, №8.
Зав. кафедрой
Декан математического факультета
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Целью изучения дисциплины «Теория экстремальных и оптимизационных задач» является формирование профессионально важных компетенций студента для будущей профессиональной деятельности в рамках и средствами изучаемой дисциплины. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: (1) сформировать у студентов углубленные представления об основных понятиях и фактах теории экстремальных и оптимизационных задач; (2) развить и закрепить навыки использования методов теории экстремальных и оптимизационных задач для решения профессиональных задач; (3) воспитать профессионально значимые личностные качества; (4) сформировать представление о важности теории экстремальных и оптимизационных задач для осуществления будущей профессиональной деятельности.
Курс «Теория экстремальных и оптимизационных задач» изучается в рамках профессионального цикла ДПП. В.00. Дисциплина базируется на изученных ранее курсах математического анализа, теории функций комплексного переменного, теории функций действительного переменного, дифференциальных уравнений, а также, частично, курсах алгебры и геометрии. Для успешного усвоения курса Теория экстремальных и оптимизационных задач студент должен знать основы этих дисциплин, уметь проводить необходимые преобразования математических выражений, дифференцировать и интегрировать, владеть логикой математических рассуждений. Полученные при изучении курса теории экстремальных и оптимизационных задач знания и навыки востребованы при изучении дисциплины: «Теория вероятностей и математическая статистика» и др., при осуществлении будущей профессиональной деятельности, в частности, при организации исследовательской деятельности учащихся.
В результате изучения дисциплины «Теория экстремальных и оптимизационных задач» студент должен
знать: основы дисциплины и методы решения типовых и исследовательских задач; области применения теории экстремальных и оптимизационных задач как инструмента математического описания естественно-научной картины мира; способы применения теории экстремальных и оптимизационных задач для построения адекватных математических моделей реальных явлений окружающей действительности; современные подходы к решению и интерпретации таких моделей.
уметь: доказывать на необходимом уровне строгости основные утверждения теории экстремальных и оптимизационных задач; грамотно применять теорию экстремальных и оптимизационных задач для построения математических моделей различных явлений окружающей действительности, в том числе, используя современные информационно-коммуникационные технологии, включая специализированное математическое программное обеспечение, локальные и глобальные компьютерные сети, для сбора, обработки и анализа информации с применением теории экстремальных и оптимизационных задач; выбирать специализированное программное обеспечение для решения избранных задач теории экстремальных и оптимизационных задач и оценивать перспективы его использования с учетом решаемых профессиональных задач.
владеть: профессиональным языком предметной области знания; основными методами решения типовых задач и задач повышенной сложности; способами построения и решения математических моделей явлений различной природы при помощи теории экстремальных и оптимизационных задач ; навыками применения специализированных программных средств для решения таких моделей; навыками организации исследовательской деятельности учащихся с применением соответствующих разделов теории экстремальных и оптимизационных задач.
На изучение курса отводится 80 уч. ч. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, представляемых студентами в виде сообщений, докладов и презентаций.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего трудоемкость | Аудиторные занятия | Самостоятельная работа | ||
Всего (в т. ч. в интерактивной форме) | Лекции | Практические | ||||
1. | n - мерное евклидово пространство и его свойства. | 14 | 6 | 6 | 8 | |
2. | Основные теоремы анализа для компактных множеств. | 14 | 6 | 6 | 8 | |
3. | Функция как отображение между множествами. Непрерывность. | 14 | 6 | 6 | 8 | |
4. | Дифференцируемость в евклидовом пространстве. | 14 | 6 | 6 | 8 | |
5. | Экстремальные задачи. | 12 | 6 | 6 | 6 | |
6. | Понятие об оптимизации. | 12 | 8 | 8 | 4 | |
Итого: | 80 | 38 | 38 | 42 |
2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего трудоемкость | Аудиторные занятия | Самостоятельная работа | ||
Всего (в т. ч. в интерактивной форме) | Лекции | Практические | ||||
1. | n - мерное евклидово пространство и его свойства. | 24 | 4 | 4 | 20 | |
2. | Основные теоремы анализа для компактных множеств. | 24 | 4 | 4 | 20 | |
3. | Функция как отображение между множествами. Непрерывность. | 24 | 4 | 4 | 20 | |
4. | Дифференцируемость в евклидовом пространстве. | 24 | 6 | 6 | 18 | |
5. | Экстремальные задачи. | 22 | 6 | 6 | 16 | |
6. | Понятие об оптимизации. | 22 | 6 | 6 | 16 | |
Итого: | 140 | 30 | 30 | 110 |
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Учебный материал дисциплины по выбору студентов «Теория экстремальных и оптимизационных задач» подразумевает углубленное и расширенное изучение следующих содержательных дидактических единиц, частично рассмотренных в курсе математического анализа и теории функций действительного переменного: n - мерное евклидово пространство и его свойства. Основные теоремы анализа для компактных множеств. Функция как отображение между множествами. Непрерывность. Дифференцируемость в евклидовом пространстве. Экстремальные задачи. Понятие об оптимизации.
3.1 Структурированное содержание дисциплины
n - мерное евклидово пространство и его свойства. Топологические свойства евклидовых пространств. Точечные множества и их свойства. Числовые последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовых множеств. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Основные теоремы анализа для компактных множеств. Компактные множества. Необходимое и достаточное условие компактности множества.
Функция как отображение между множествами. Непрерывность. Непрерывные отображения. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компактном множестве. Теорема Вейерштрасса.
Дифференцируемость в евклидовом пространстве. Дифференцируемость. Дифференцирование числовых функций. Дифференцирование векторных функций. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Производная по направлению. Условие Липшица. Вторые производные и дифференцируемость. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора.
Экстремальные задачи. Необходимое и достаточное условие минимума. Теорема Ферма. Достаточное условие существования минимума. Теорема о локальной единственности точки минимума. Выпуклые функции и их свойства. Глобальный минимум.
Понятие об оптимизации. Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Понятие о линейном и нелинейном программировании. Теорема Куна-Таккера. Симплекс-метод.
3.2 Вопросы для контроля и самоконтроля
1. Сформулируйте, что понимается под топологическими свойствами евклидовых пространств.
2. Дайте определения основным понятиям n – мерного евклидова пространства; сформулируйте его основные свойства.
3. Сформулируйте и докажите неравенство Коши – Буняковского и неравенство треугольника.
4. Сформулируйте основные свойства точечных множеств и докажите их.
5. Какое множество называется ограниченным сверху, ограниченным снизу, ограниченным? Привести примеры.
6. Дайте определение числовой последовательности и ее сходимости в n – мерном евклидовом пространстве; укажите основные свойства последовательностей.
7. Какие числовые множества называются ограниченными? Дайте определение понятиям «точная верхняя грань числового множества», «точная нижняя грань числового множества». Укажите их свойства.
8. Сформулируйте теорему Больцано – Вейерштрасса и докажите ее. Приведите примеры.
9. Сформулируйте теорему о возможности выбора из последовательности сходящейся под последовательности.
10. Какое множество называется компактным (компактом)? Дайте определение, приведите иллюстрирующие примеры.
11. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии компактности множества.
12. Привести примеры различных видов отображений множеств.
13. Сформулируйте определение функции как отображение множеств.
14. Какое отображение называется непрерывным? Равномерно непрерывным? Приведите примеры.
15. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии компактности множества.
16. Сформулируйте и докажите теорему о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.
17. Сформулируйте и докажите теорему Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на компакте, своей точной верхней и точной нижней граней.
18. Сформулируйте определение дифференцируемости и производной функции. Что называется дифференциалом функции?
19. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности дифференцируемой функции.
20. Сформулируйте и докажите теорему о среднем для дифференцируемых функций.
21. Сформулируйте определение дважды дифференцируемой функции.
22. Сформулируйте и докажите теорему о равенстве вторых смешанных производных дважды дифференцируемой функции.
23. Выведите формулу Тейлора (с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано).
24. В чем состоят экстремальные задачи в анализе? Приведите примеры.
25. Дайте определение точки локального минимума (максимума). Приведите графическую интерпретацию этого определения.
26. Сформулируйте и докажите теорему Ферма о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции.
27. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии экстремума дважды дифференцируемой функции.
28. Выясните в чем разница между понятиями глобального и локального экстремума.
29. Каковы задачи общей теории математического программирования?
30. В чем состоит задача Лагранжа на отыскание условного экстремума?
31. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа о поиске условного экстремума (метод множителей Лагранжа).
32. Приведите примеры задач на поиск условного экстремума и докажите их.
33. В чем состоит задача нелинейного программирования?
34. Сформулируйте суть метода Ньютона в нелинейном программировании.
35. Сформулируйте суть метода штрафных функций.
36. Сформулируйте суть выпуклого программирования.
37. Сформулируйте и докажите теорему Куна – Таккера.
38. В чем состоит задача линейного программирования?
39. Сформулируйте условия экстремума в задаче линейного программирования.
40. Сформулируйте задачу линейного программирования в канонической форме.
41. Сформулируйте суть симплекс – метода.
42. Опишите процедуру реализации симплекс – метода.
3.3 Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах
Все практические занятия проводятся в активной форме с включением интерактивных фаз проведения занятия.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО - ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1 Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
1. Сформулируйте определение производной функции по направлению.
2. Особенности дифференцирования векторных функций.
3. Условие Липшица и его области применения.
4. Теорема о локальной единственности дважды дифференцируемой функции.
5. Теорема Каруша – Джона.
6. Условие регулярности в задачах нелинейного программирования.
7. Численная реализация симплекс – метода.
4.2. Темы контрольных работ
1. Экстремумы числовых функций. Наибольшие и наименьшие значения функции, определенной на компакте.
2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Элементы линейного программирования.
4.3. Примерные темы курсовых работ
Согласно учебному плану выполнение курсовых работ по данной дисциплине не предусмотрено.
4.4. Примерные темы индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
1. Экстремум числовой функции.
2. Наибольшее (наименьшее) значение функции, определенной на компакте.
3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
4. Прикладные задачи теории экстремальных задач.
5. Элементы линейного программирования.
4.5. Проведение экзамена (зачета) по дисциплине
По решению кафедры, оформленному в установленном порядке, экзамен (зачет) по дисциплине «Теория экстремальных и оптимизационных задач» проводится в устной, письменной или иной форме по утвержденным заведующим кафедрой зачетным заданиям (билетам). Экзаменационные (зачетные) задания (билеты) в равной пропорции включают задачи, направленные на проверку знаний и умений по дисциплине, а также на оценку уровня сформированности компетенций, на формирование которых был направлен процесс изучения дисциплины.
4.6. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету): проверка знаний, умений
1. Топологические свойства n – мерного евклидова пространства.
2. Свойства числовых множеств в n – мерных евклидовых пространствах.
3. Последовательности в n – мерных евклидовых пространствах.
4. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
5. Теорема о возможности выбора из последовательности сходящейся под последовательности.
6. Компактное множество. Необходимое и достаточное условие компактности.
7. Функция как отображение между множествами.
8. Непрерывность. Равномерная непрерывность функции.
9. Теорема Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на компакте, своей точной верхней и точной нижней граней.
10. Дифференцируемость, производная и дифференциал функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
11. Теорема о среднем для дифференцируемой функции.
12. Дважды дифференцируемая функция.
13. Теорема о равенстве вторых смешанных производных дважды дифференцируемой функции.
14. Формула Тейлора (с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано).
15. Экстремальные задачи в анализе. Локальный минимум (максимум).
16. Теорему Ферма о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции.
17. Теорема о достаточном условии экстремума дважды дифференцируемой функции.
18. Задачи общей теории математического программирования.
19. Задача Лагранжа о поиске условного экстремума функции. Теорема Лагранжа (метод множителей Лагранжа).
20. Задачи теории линейного математического программирования.
21. Условия экстремума в задаче линейного программирования. Каноническая формулировка задачи линейного программирования.
22. Симплекс – метод. Особенности метода и его реализации.
23. Современные средства решения экстремальных и оптимизационных задач.
4.7. Примерные типы заданий для подготовки к экзамену (оценка уровня сформированности компетенций)
1. Переформулировать на языке математических соотношений текстовую задачу по дисциплине, (напр., задачу на поиск траектории луча света в среде с переменной оптической плотностью, задачу поиска оптимальных геометрических параметров некоторого объекта, задачу линейного программирования и др.).
2. Для данного описания вероятностного опыта или статистического исследования сформулировать условие учебной оптимизационной задачи (напр., построение интерполяционной кривой методом наименьших квадратов), предложить и обосновать способы ее решения.
3. Выделить общую структуру в предложенных нескольких описаниях экстремальных задач; сформулировать и обосновать типовой способ их решения.
4. Привести примеры реальных физических, социальных, экономических и др. процессов, требующих для своего описания решения экстремальных (оптимизационных) задач. Предложить математические модели, позволяющие дать адекватное описание этих процессов.
5. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные понятия и определения из предложенного преподавателем раздела курса ТЭиОЗ, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
6. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные теоремы (утверждения) из предложенного преподавателем раздела курса ТЭиОЗ, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
7. Провести доказательство и/или составить блок-схему доказательства (в устном и/или письменном виде) указанных преподавателем утверждений из выбранного раздела ТЭиОЗ, проиллюстрировать примерами; выделить логические взаимосвязи этих утверждений с другими в курсе ТЭиОЗ и связанных дисциплин.
8. На необходимом уровне строгости дать обоснование решения предложенной задачи из курса ТЭиОЗ с привлечением данных из различных предметных областей; дать графическую иллюстрацию и содержательную интерпретацию решения.
9. Опишите возможности использования изученного материала по дисциплине для организации исследовательской (проектной) деятельности учащихся.
10. Предложите несколько тем и планов исследовательских проектов для учащихся разных классов по тематике изученной дисциплины.
11. Сформулируйте и объясните затруднения, которые могут возникнуть у учащегося при работе над содержанием исследовательского проекта по теме из изученной дисциплины. Предложите пути их устранения.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Рекомендуемая литература
Основная
1. , Дзюба введение в теорию экстремальных задач. М.: Наука, 19с.
2. Берман задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 19с.
3. Тер-, Шабунин математического анализа: учеб. пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 20с.
4. Фихтенгольц математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 20с.
5. Фихтенгольц математического анализа. Ч. 2. СПб.: Лань, 20с.
Дополнительная
6. , , Чубариков по математическому анализу: учеб. пособие. М.: Дрофа, 20с.
6.2. Информационное обеспечение дисциплины
Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет (в частности, сайты www. *****; www. school. *****), сайт электронной библиотеки УрГПУ (http://e-lib. *****), авторские презентации лекций.
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Теория экстремальных и оптимизационных задач» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
доктор физико-математических наук
доцент
заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ
старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ
Р. т.: (3
