Лабораторная работа 10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла (1)

для некоторой заданной на отрезке функции .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений подинтегральной функции .

Если в интеграл (1) вместо подставить интерполяционный много-член Лагранжа той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома n=2, будем иметь известную формулу Симпсона (парабол):

, (2)

где шаг , - количество точек разбиения отрезка , .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла -, необходимо правильно выбрать шаг . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

, (3)

и определяется как:

, где (4)

- четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания пакета MathCad. Остаточный член - можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

, (5)

где - шаг разбиения отрезка ,

- интеграл, вычисленный при шаге ,

- интеграл, вычисленный при шаге .

Если добиться, что

, (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.

- записать коэффициент (или ) по формуле Фурье,

- погрешность вычислений установить ,

- принять за начальное значение n=4:

а) вычислить ,

б) сделать в Excel таблицу , - Таблица 1,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т. е. взять n=8:

а) вычислить ,

б) сделать в Excel таблицу , - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т. е. взять n=16:

а) вычислить ,

б) сделать в Excel таблицу , - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет , в то время как интеграл, вычисленный при n=8 будем считать как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

Таблица 4 (пример)

4

0,

--

8

0,

0,

16

0,

0,

32

0,

0,

64

0,

0,

- Таблицы 1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты или , из РГР № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

Пример расчета.

1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.

2.  Исходные данные:

, .

3.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

где - шаг разбиения отрезка Sh – интеграл вычисленный при шаге h Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

4.  Если добиться, что , то ребуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

5.  Для выполнения следующей задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

1). Принимаем n=4, находим и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,

-0,

-0,

0,

0,

2). Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

3). Уменьшаем шаг в 2 раза, т. е. берем n=8 , h=0.125

i

0

1

2

3

4

x

0

0,125

0,25

0,375

0,5

y

0,

-0,

-0,

-0,

-0,

i

5

6

7

8

 

x

0,625

0,75

0,875

1

 

y

-0,

0,

1,

0,

 

4). Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

, ,

5). Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т. е. берем n=16, h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,

-0,

-0,

-0,

-0,

-0,

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,

-0,

-0,

-0,

-0,

0,

I

12

13

14

15

16

 

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

 

Y

0,

1,

1,

1,

0,

 

6). Составляем сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,

--

8

0,

0,

16

0,

0,

32

0,

0,

64

0,

0,

, следовательно условие заданной точности выполняется.

7). Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

6.  Вывод по работе: в итоге проделанной работы я посчитала интеграл заданной функции по методу Симпсона и убедилась в том, что по этому методу можно рассчитать интеграл любой функции с определенной точностью.