10 класс Задание 3

10 класс

Задание 3

1. Решите уравнение .

Решение. Определим промежутки знакопостоянства каждого из выражений под знаком модуля, для наглядности и удобства изобразив их на одной схеме (жирными точками отмечены нули соответствующих выражений). Рассмотрим 4 случая, «раскрывая» модули согласно знакам в каждом из столбцов.

1)  , откуда и, значит, .

2)  , откуда Решений нет.

3)  , откуда Решений нет.

4)  , откуда и, значит, .

Ответ: 1; 5.

2. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30. Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти разность арифметической прогрессии.

Решение. Пусть и - первый член и разность арифметической прогрессии. По формуле суммы десяти членов этой прогрессии имеем . В геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних: .

Полученные уравнения образуют систему:

откуда , .

Ответ: -10; 0.

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек удовлетворяющих системе неравенств: . Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение. Выделив полный квадрат, перепишем систему в более удобном виде:

Û

Уравнение задает окружность с центром в точке (1;2) и радиусом 2. Соответствующему неравенству удовлетворяет множество точек внутри окружности. Уравнение является уравнением прямой, которая делить плоскость на 2 части. Неравенству удовлетворяет полуплоскость под прямой. На рисунке представлено множество, площадь которого следует найти.

Так как прямая проходит через центр окружности, данное множество является половиной круга радиуса 2. Следовательно, площадь равна .

Ответ: .

4. Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.

Решение. Пусть - решение системы, тогда ввиду симметрии тоже будет решением системы. Следовательно, необходимым условием является равенство . Подставив в систему, получаем

.

Если данное неравенство имеет два и более решения, то исходная система имеет не менее двух решений и нам этот случай не подходит. Если неравенство не имеет решений, то исходная система имеет либо четное число решений, либо бесконечное число решений, либо не имеет решений, но все эти случаи не подходят. Пусть неравенство имеет единственное решение, тогда дискриминант квадратного уравнения обращается в ноль, т. е.

Û ,

и . Проверим достаточность данного условия. Складывая два неравенства, получаем

Û .

Следовательно, решение действительно единственное.

Ответ: При система неравенств имеет единственное решение .

5. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение. Пусть CD – высота равнобедренного треугольника ABC со сторонами AC=BC=13 и AB=24, O – центр его описанной окружности радиуса R, Q – центр вписанной окружности радиуса r. Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

, .

По теореме синусов

.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, деленной на его полупериметр, поэтому

.

Заметим, что угол CAD меньше 45°, так как его тангенс меньше 1 (), значит, угол BCA тупой, поэтому точки O и Q лежат по разные стороны от прямой AB. Следовательно,

Ответ: 16,9; 2,4; 14,3.