Лабораторная работа №48

Лабораторная работа №48

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ КАМЕРТОНА МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОДЫ

Цель работы: получение стоячих волн в воздухе и применение их для определения длины, частоты и скорости звуковых волн.

Приборы и принадлежности: металлическая труба-резонатор; прозрачная водомерная трубка со шкалой; сосуд с водой, соединённый шлангом с обеими трубами; два различных камертона; резиновый молоточек.

1.  ТЕОРИЯ МЕТОДА

Если в упругой (твердой, жидкой или газообразной) среде возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться с определенной скоростью в среде. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или бегущей волной.

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникать лишь в таких средах, которые обладают сопротивлением сдвигу. Возникновение продольных упругих волн возможно в том случае, когда среда оказывает сопротивление деформации сжатия или растяжения. Поэтому в жидкостях и газах могут возникать только продольные волны. В твердых телах возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Распространяющиеся в воздухе упругие волны, в которых частота ν колебаний частиц воздуха находиться в пределах от 16 Гц до 20 кГц, достигнув человеческого уха, вызывает ощущение звука. В соответствии с этим упругие волны в любой среде, имеющие частоту, которая заключена в указанных пределах, тоже называют звуковыми волнами или просто звуком. Упругие волны с частотами меньше 16 Гц называется инфразвуком; волны с частотами, превышающими 20 кГц, называются ультразвуком. Инфра - и ультразвуки человеческое ухо не слышит, но они могут улавливаться некоторыми живыми существами и регистрироваться специальными приборами.

При одновременном распространении в пространстве нескольких волн, в том числе звуковых, от различных источников происходит их наложение (суперпозиция) без взаимного возмущения. При наложении волн, дающих одинаковой частотой и постоянной разностью начальных фаз, наблюдается явление интерференции. Оно заключается в усилении колебаний в одних точках пространства и в ослаблении их в других точках. При интерференции двух плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой, которые распространяются в противоположных направлениях, возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. Практически стоячие волны можно получить при отражении бегущей волны от преграды. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна интерферируют друг с другом и образуют стоячую волну.

Пусть звуковая волна, возбуждаемая в воздухе в точке 0, распространяется по направлению оси x. Уравнение этой волны в произвольной точке B запишем в виде

(1)

где - смещение частиц среды от положения равновесия, a – амплитуда волны,

, ω – круговая частота (ω = 2πν), ν – частота, t – время, x – расстояние от начала координат (0) до точки В, u – фазовая скорость волны.

После прохождения расстояния l до преграды эта звуковая волна отражается от неё. В результате отражения от более плотной среды, чем воздух, фаза волны изменяется на π. Уравнение отраженной волны запишем в виде

(2)

где - смещение частиц среды в отраженной волне, (2l – x) – расстояние, пройденное волной от начала координат (точка 0) до преграды и обратно от этой преграды до точки В. Знак минус в последней формуле (2) учитывает сдвиг фазы колебаний на π в точке отражения.

Смещение частиц среды в результате наложения падающей и отраженной волн получим, складывая выражения (1) и (2):

(3)

Используя тригонометрическое соотношение

формулу (3) можно привести к виду

(4)

Выражение (4) называется уравнением стоячей волны. Проведем его анализ.

Аргумент синуса зависит от координаты точки x, но не зависит от времени t. На основании модуль выражения можно рассматривать в качестве амплитуды стоячей волны (берется модуль, так как амплитуда всегда считается положительной величиной).

В соответствии со сказанным выше амплитуда стоячей волны

(5)

зависит от координаты x. В точках, в которых для аргумента синуса выполняется условие

(6)

где n = 0,1,2…, модуль синуса равен единице; в этих точках амплитуда колебаний А достигает максимального значения, равного 2a. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

В точках, в которых выполняется условие

(7)

где также n = 0,1,2…, синус равен нулю и амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны.

Определим расстояние между двумя соседними узлами. С этой целью преобразуем левую часть уравнения (7):

(8)

Здесь учтено, что ω = 2π/Т и Т u = λ, причем Т = 1/v – период колебаний и λ – длина волны. Заменив теперь левую часть выражения (7) на выражение (8), получим

откуда следует, что

(9)

Это уравнение определяет координату n –го узла. При постоянных λ и l величина xn зависит только от n. Поскольку дискретная величина n изменяется на, то расстояние между двумя соседними узлами можно найти, положив, например, n1 = 1 и n2 = 2, тогда

(10)

Выражение типа (10) справедливо не только для двух любых соседних узлов, но и для двух соседних пучностей стоячей волны:

(11)

Отсюда следует, что расстояние между соседним узлом и пучностью стоячей волны составит λ/4.

Множитель в уравнении (4) при переходе через нулевое значение меняет знак. Это означает, что фазы колебаний по обе стороны от узла отличается на π. Следовательно, точки, лежащие по разные стороны от любого узла, совершают колебания в противофазе. Напротив, все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе, т. е. синфазно. На рис. 1 схематически приведено положение колеблющихся точек среды в поперечной стоячей волне для двух разных моментов времени t1 и t2 > t1 при движении точек к положению равновесия. Стрелки показывают направление движения частиц среды. Из рисунка видно, что волна как бы стоит на месте, так как положения узлов и пучностей не меняются с течением времени; отсюда и происходит название волны – стоячая волна.

Рис. 1. Смещение частиц среды в фиксированные моменты времени t1 и t2

в стоячей волне: xпуч – положения пучностей, xузл – положения узлов,

S – отражающая поверхность

Распространяющиеся в воздухе продольные звуковые волны изобразить графически невозможно. Поэтому рис. 1 надо рассматривать только как наглядный способ представления процесса, называемого стоячей волной.

В стоячей волне отсутствует перенос энергии. Это связано с тем, что в образующих её двух бегущих навстречу друг другу волнах энергия переносится в равных количествах в противоположных направлениях. В стоячей волне энергия колебания каждого элемента объема среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени. Она дважды за период переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи от пучностей, в потенциальную энергию упруго деформированной среды, сосредоточенную вблизи от узлов.

Схема лабораторной установки, на которой определяют скорость звука, приведена на рис. 2. Установка состоит из камертона 1, сосуда с водой 2, резинового шланга 3, металлической трубы-резонатора 4, водомерной трубки 5 со шкалой 6.

Рис. 2. Схема лабораторной установки: l – расстояние от начала координат 0 до уровня воды S, x – координата произвольной точки В

Камертон, возбуждаемый ударами молоточка по одной из его ветвей, излучает звуковые волны. Эти волны входят в отверстие металлической трубы (x = 0), отражаются от поверхности воды (x = l) и интерферируют с теми волнами, которые непосредственно бегут от камертона. В результате в трубе образуется стоячая волна.

Образование пучностей стоячей волны в сечении открытого торца трубы и узла y поверхности воды представляет собой условие резонанса для вынужденных колебаний в сплошной среде, в данном случае в воздухе. При выполнении этого условия получается максимальная громкость звука. На рис. 3 показано распределение узлов и пучностей вдоль трубы для двух различных положений отражающей поверхности, при которых возникает резонанс.

Рис. 3. Распределение узлов и пучностей в воздушном столбе трубы-резонатора

В случае первого резонанса, рис. 3а, расстояние s1 от отражающей поверхности до открытого торца трубы равно расстоянию от узла до ближайшей пучности, т. е. s1 = λ/4. Понижение уровня жидкости в трубе приводит к нарушению условия резонанса, в результате звук ослабевает. Дальнейшее понижение уровня жидкости в трубе может привести к состоянию, когда вновь будет наблюдаться максимальная громкость. Это будет соответствовать второму резонансу. Распределение узлов и пучностей вдоль трубы для этого случая приведено на рис. 3б. Видно, что теперь расстояние от открытого торца трубы до поверхности воды составляет s2 = λ/2 + λ/4 = 3λ/4.

Определив уровни жидкости, соответствующие первому и второму резонансу, можно найти длину звуковой волны, так как

(12)

Отсюда

λ = 2 (s2 – s1) (13)

Зная длину волны λ и частоту колебаний камертона v, можно определить скорость звуковой волны по формуле

u = λv (14)

Эта же формула позволяет найти неизвестную частоту колебаний другого камертона, если известна длина волны и скорость звука в воздухе:

(15)

2.  ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Поднимая или опуская сосуд с водой, подведите уровень воды в водомерной трубке до отметки «10» на шкале. Поднесите камертон с известной частотой колебаний v1 (обычно она указана на самом камертоне) к открытому торцу трубы. Равномерно ударяйте молоточком по камертону. В это же время другой человек медленно меняет уровень воды в трубе, опуская сосуд со шлангом. По показанию шкалы водомерной трубки запишите в таблицу 1 положение первого уровня s1, соответствующего максимальной громкости звучания. В таблицу 3 запишите значение частоты v1.

Таблица 1

№ опыта
1
2
3
4
5
Σ	-	-	-		-

Для определения уровня s2 продолжайте медленно понижать уровень жидкости в трубе, одновременно возбуждая камертон, до тех пор, пока не возникнет вновь максимальная громкость звука. Положение уровня s2 так же запишите в таблицу 1. Повторите опыт ещё четыре раза. Результаты измерений запишите в таблицу 1. Замените камертон другим, частота v2 которого неизвестна. Проделайте с этим камертоном операции, аналогичные описанным в пп. 1 – 4. Результаты пяти новых измерений запишите в таблицу 2.

Таблица 2

№ опыта
1
2
3
4
5
Σ	-	-	-		-

3.  ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Найдите разность положения уровней s2 – s1 воды в трубе в каждом эксперименте с камертоном известной частоты. Запишите её в таблицу 1. С помощью формулы (13) вычислите длину звуковой волны λ1i для этого камертона в каждом эксперименте. Результаты расчёта запишите в таблицу 1. Определите среднее арифметическое значение длины волны по пяти опытам, запишите его в таблицу 1. По формуле (14) найдите величину фазовой скорости u звука в воздухе, используя среднее значение длины волны из таблицы 1 и v1 из таблицы 3. Величину u запишите в таблицу 3. Для камертона с неизвестной частотой колебаний v2 выполните вычисления, аналогичные описанным в пп. 1 – 3. Результаты этих расчётов запишите в таблицу 2. По формуле (15) вычислите неизвестную частоту v2 колебаний второго камертона, взяв среднюю длину волны из таблицы 2, а скорость звуковой волны u – из таблицы 3. Величину v2 запишите в таблицу 3. Определите теоретическое значение скорости звука uтеор в воздухе, считая его идеальным газом, по формуле

(16)

где γ – показатель адиабаты (для воздуха можно положить γ = 1,4); μ = 29*10-3 кг/моль

– средняя молярная масса воздуха как смеси газов (азот и кислород); R = 8,314 Дж/(моль*К)

– универсальная газовая постоянная и Т – температура в кельвинах. При расчёте в качестве Т возьмите комнатную температуру. Величину uтеор также запишите в таблицу 3; сравните её с экспериментально найденной скоростью u.

Таблица 3

Камертон	v, Гц	u, м/с	uтеор, м/с	σλ, м	σu, м/с	δu, %	σv, Гц	δv, %
1							-	-
2		-

Рассчитайте среднюю квадратичную погрешность измерения λ1 по известной формуле

(17)

где n = 5 – число проведенных измерений в серии. Полученное значение погрешности запишите в таблицу 3.

Определите среднюю квадратичную погрешность измерения скорости звука из соотношения σu = v1σλ, которое следует из (14), а затем – относительную погрешность δu измерения этой величины в процентах:

(18)

Полученные значения погрешностей запишите в таблицу 3.

Допуская погрешности определения длин волн λ1 и λ2 одинаковыми, оцените среднюю квадратичную погрешность определения частоты v2 из соотношения

, которое следует из (15), и её относительную погрешность в процентах по формуле

(19)

Результаты оценки этих погрешностей занесите в таблицу 3.

4.  КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.  Напишите уравнение бегущей волны в упругой среде. Дайте определение амплитуды и фазы волны.

2.  При каких условиях возникают стоячие волны?

3.  Что такое узлы и пучности стоячей волны? Чему равно расстояние между ними?

4.  Напишите выражение для амплитуды стоячей волны. От чего она зависит?

5.  Чему равна разность фаз колебаний между точками, находящимися по разные стороны одного и того же узла? Между двумя соседними узлами?

6.  Какие превращения энергии имеют место в стоячей волне?

7.  При каком условии достигается максимальное звучание столба воздуха в трубе-резонаторе?

ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Если в упругой (твердой, жидкой или газообразной) среде возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться с определенной скоростью в среде. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или бегущей волной. При распространении гармонических колебаний со скоростью u (называемой в данном случае фазовой скоростью) вдоль некоторого направления (луча) смещение x любой точки, находящейся на расстоянии l от источника колебаний, где А – амплитуда колебания точки – называется уравнением бегущей волны:

2. При одновременном распространении в пространстве нескольких волн, в том числе звуковых, от различных источников происходит их наложение (суперпозиция) без взаимного возмущения. При наложении волн, дающих одинаковой частотой и постоянной разностью начальных фаз, наблюдается явление интерференции. Оно заключается в усилении колебаний в одних точках пространства и в ослаблении их в других точках. При интерференции двух плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой, которые распространяются в противоположных направлениях, возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. Практически стоячие волны можно получить при отражении бегущей волны от преграды. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна интерферируют друг с другом и образуют стоячую волну.

3. В точках, в которых для аргумента синуса выполняется условие

(6)

где n = 0,1,2…, модуль синуса равен единице; в этих точках амплитуда колебаний А достигает максимального значения, равного 2a. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

В точках, в которых выполняется условие

(7)

где также n = 0,1,2…, синус равен нулю и амплитуда колебаний обращается в ноль. Эти точки называются узлами стоячей волны.

Определим расстояние между двумя соседними узлами. С этой целью преобразуем левую часть уравнения (7):

(8)

Здесь учтено, что ω = 2π/Т и Т u = λ, причем Т = 1/v – период колебаний и λ – длина волны. Заменив теперь левую часть выражения (7) на выражение (8), получим

откуда следует, что

(9)

Это уравнение определяет координату n –го узла. При постоянных λ и l величина xn зависит только от n. Поскольку дискретная величина n изменяется на, то расстояние между двумя соседними узлами можно найти, положив, например, n1 = 1 и n2 = 2, тогда

(10)

Выражение типа (10) справедливо не только для двух любых соседних узлов, но и для двух соседних пучностей стоячей волны:

(11)

Отсюда следует, что расстояние между соседним узлом и пучностью стоячей волны составит λ/4.

4.

(4)

Выражение (4) называется уравнением стоячей волны. Проведем его анализ.

Аргумент синуса зависит от координаты точки x, но не зависит от времени t. На основании модуль выражения можно рассматривать в качестве амплитуды стоячей волны (берется модуль, так как амплитуда всегда считается положительной величиной).

В соответствии со сказанным выше амплитуда стоячей волны

(5)

зависит от координаты x.

5. Множитель в уравнении (4) при переходе через нулевое значение меняет знак. Это означает, что фазы колебаний по обе стороны от узла отличается на π. Следовательно, точки, лежащие по разные стороны от любого узла, совершают колебания в противофазе. Напротив, все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе, т. е. синфазно. На рис. 1 схематически приведено положение колеблющихся точек среды в поперечной стоячей волне для двух разных моментов времени t1 и t2 > t1 при движении точек к положению равновесия. Стрелки показывают направление движения частиц среды. Из рисунка видно, что волна как бы стоит на месте, так как положения узлов и пучностей не меняются с течением времени; отсюда и происходит название волны – стоячая волна.

Распространяющиеся в воздухе продольные звуковые волны изобразить графически невозможно. Поэтому рис. 1 надо рассматривать только как наглядный способ представления процесса, называемого стоячей волной.

6. В стоячей волне отсутствует перенос энергии. Это связано с тем, что в образующих её двух бегущих навстречу друг другу волнах энергия переносится в равных количествах в противоположных направлениях. В стоячей волне энергия колебания каждого элемента объема среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени. Она дважды за период переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи от пучностей, в потенциальную энергию упруго деформированной среды, сосредоточенную вблизи от узлов.

7. Камертон, возбуждаемый ударами молоточка по одной из его ветвей, излучает звуковые волны. Эти волны входят в отверстие металлической трубы (x = 0), отражаются от поверхности воды (x = l) и интерферируют с теми волнами, которые непосредственно бегут от камертона. В результате в трубе образуется стоячая волна.

Образование пучностей стоячей волны в сечении открытого торца трубы и узла y поверхности воды представляет собой условие резонанса для вынужденных колебаний в сплошной среде, в данном случае в воздухе. При выполнении этого условия получается максимальная громкость звука. На рис. 3 показано распределение узлов и пучностей вдоль трубы для двух различных положений отражающей поверхности, при которых возникает резонанс.

В случае первого резонанса, рис. 3а, расстояние s1 от отражающей поверхности до открытого торца трубы равно расстоянию от узла до ближайшей пучности, т. е. s1 = λ/4. Понижение уровня жидкости в трубе приводит к нарушению условия резонанса, в результате звук ослабевает. Дальнейшее понижение уровня жидкости в трубе может привести к состоянию, когда вновь будет наблюдаться максимальная громкость. Это будет соответствовать второму резонансу. Распределение узлов и пучностей вдоль трубы для этого случая приведено на рис. 3б. Видно, что теперь расстояние от открытого торца трубы до поверхности воды составляет s2 = λ/2 + λ/4 = 3λ/4.