Определение первообразной, теорема о множестве первооб­разных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (ли­нейность, интеграл от производной функции)

1. Определение первообразной, теорема о множестве первооб­разных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (ли­нейность, интеграл от производной функции).

F(x)-называют первообразной для f(x), определенной на интервале [a, b] , если F(x):

1) дифференцируема на ( a, b ) 2) F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx. Теорема о множестве первообразных: Если f(x) имеет в данном промежутке первообразную F(x), то все первообразные данной функции заключены в выражении F(x) + С. Две первообразные одной функции отличаются друг от друга только на константу. Неопределенный интеграл: пусть f(x) имеет на ( a, b ) F(x), такую, что F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx, тогда F(x) + С –является общим выражением для всех первообразных и называется неопределенным интегралом от заданной функции f(x). Свойства: 1) Если f(x) непрерывна на ( a, b ), то на ( a, b ) существует F(x) и неопределенный интеграл.

2) d ∫ f(x) dx = f(x) dx 3) ∫ f(x) dx = F(x) + С ( стоящие рядом знаки интегрирования и дифференцирования взаимно сокращаются, но добавляется константа ) .

4) ( линейность ) ∫ [ C1f1(x) ± C2f2(x) ] = C1∫ f1(x)dx ± C2∫ f2(x)dx, это можно проверить дифференцированием обоих частей.

2. Неопределенный интеграл. Замена переменной в интеграле. Интегрирование по частям.

Неопределенный интеграл: пусть f(x) имеет на ( a, b ) F(x), такую, что F/(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx, тогда F(x) + С –является общим выражением для всех первообразных и называется неопределенным интегралом от заданной функции f(x). Замена переменной: если Х = φ(t) и 1) она непрерывна и дифференцируема на ( a, b ) 2) ∫ f(x) dx = F(x) + С, тогда f [φ(t)]*φ/ (t) имеет F[ φ(t) ], то есть формула: ∫ f [φ(t)]*φ/ (t) = F[ φ(t) ] + С. Интегрирование по частям: ∫ UdV = UV - ∫ VdU.

3. Общая схема интегрирования рациональных функций.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменателе дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции. Сначала делением числителя на знаменатель вы­деляется «целая часть», т. е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной ра­циональной дроби. Если получившаяся правильная рациональная дробь оказывается ненулевой, то она раскла­дывается на сумму элементарных дробей, после чего, используя линейность интеграла, можно вы­числить интегралы от каждого слагаемого.

4. Интегрирование простейших дробей.

Простейшую дробь можно представить как сумму дробей и интегрировать каждую из них по отдельности, если так сделать нельзя, то представить числитель в виде А+В.

5. Интегрирование тригонометрических функций.

1) ∫R ( sin, cos ) dx ; t = tg x/2

2) ∫R ( sin ) cos dx ; t = sin x ∫R sin ( cos ) dx ; t = cos x

∫R ( tg ) dx ; t = tg x ∫R ( ctg ) dx ; t = ctg x

3) ∫ sin, cos dx ; представить синус или косинус через тригонометрические формулы.

6. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

1) ∫R ( x, m√ x ) dx ; x = tm à t = m√ x

2) ∫R ( x, m√ ax + b ) dx ; ax + b = tm à t = m√ ax + b

3) ∫R ( x, m√ (ax + b) / (cx + d ) dx ; (ax + b) / (cx + d ) = tm à t = m√ (ax + b) / (cx + d ).

7. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки.

1) ∫R (u, √ l2 – u2 ) du ; u = l*sin ( t ) или u = l*th ( t )

2) ∫R (u, √ l2 + u2 ) du ; u = l*tg ( t ) или u = l*sh ( t )

3) ∫R (u, √ u2 - l2 ) du ; u = l*sec ( t ) или u = l*ch ( t )

8. Определенный интеграл: определение, геометрич. и механич. смысл. Интегрирование кусочно-непрерывной функции.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n à ∞, d à 0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений. Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, располо­женные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус. В механике с помощью определенного интеграла можно посчитать расстояние пути по показаниям спидометра и часов. Интегрирование кусочно-непрерывной функции: f(x)—кусочно-непрерывная на [ a, b ] , если [ a, b ] можно разбить на конечное число частей на каждой из которых : f(x) непрерывна. Если f(x)—ограничена и кусочно-непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке.

9. Определенный интеграл: определение, свойства линейности

и аддитивности, интегрирование неравенств.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n à ∞, d à 0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений. Линейность: [ C1f1(x) ± C2f2(x) ] = C1f1(x)dx ± C2f2(x)dx

Аддитивность: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Интегрирование неравенств: если f(x) и g(x) интегрированы на [ a, b ] и выполняется соотношение: f(x) ≥ g(x), то для любых Х из [ a, b ], то f(x)dx ≥g(x)dx

10. Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее гео­метрический смысл.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n à ∞, d à 0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция,

определенная на множестве разбиений. Теорема о

среднем: если y = f(x) непрерывна на [ a, b ] à

существует С, принадлежащее [ a, b ] à

f(x)dx = f(c)ba. Геометрический смысл:

Yср = (f(x)dx) / ( b – a ) = f(c).

11. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирова­ние по частям в определенном интеграле.

Теорема о дифференцировании: если f(x) непрерывна на [ a, b ] à Ф(х) = f(x)dx, первообразная для f(x), Ф/(х) = f(x). Доказательство: ΔФ(х) = f(c)Δx, С принадлежит

[ x, x + Δx ]. Поделим все на ΔС и перейдем к Lim. Lim ΔФ(х) / Δх = Lim f(c) = f(x), при условии, что Δхà0, Càx. Формула Ньютона-Лейбница: если F(x)—есть какая-либо первообразная функции f(x), то справедливо следующее: f(x)dx = F(b) – F(a).

Замена переменной: если f(x) непрерывна на [ a, b ], x = φ(t) 1) φ(α) = a, φ(β) = b,

2) φ(t), φ/(t)—непрерывна на [ a, b ]. 3) f φ(t) определена и непрерывна на [ α, β ], тогда

f(x)dx = f φ(t)*φ/(t)dt. При вычислении определенного интеграла к исходной переменной не возвращаются. Интегрирование по частям: если U и V имеют непрерывные производные на [ a, b ], то UdV = UV│ab - VdU

12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и поляр­ных координатах с помощью определенного интеграла.

Если мы работаем в прямоугольных координатах, то нужно определить части фигуры, форма которых задается функциями. Также необходимо определить пределы интегрирования. В итоге можно получить интеграл вида: f(x) – g(x) dx и разбить его на два и более интегралов. Если у нас полярные координаты, то нужно выделит интересуемый нас спектр, рассчитать углы в пределах которых он лежит, а так же определить функции которыми задан интересуемый фрагмент.

13.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.

Кривая L называется гладкой, если x(t), y(t), z(t)—непрерывны, и у них существуют непрерывные производные. Определение длины кривой: длиной кривой L называется предел параметра ломанной при неограниченном изменении ее звеньев.

Вычисление длины: L = (x/)(t) + (y/)(t) + (z/)(t) dt. Если x, y или z равна нулю, то одна из координат отсутствует. Если y = f(x), то L = √ ( 1 + y(x)2 dx. Если кривая дана в полярных координатах, то ρ = ρ(x), α ≤ φ ≤ β, тогда x(φ) = ρ(φ)cos (φ) ,

y(φ) = ρ(φ)sin (φ) à L = ρ2 + (ρ/)2 dφ

14. Вычисление объема тела по площадям его плоских сечений. Объем тела вращения.

Объем по площадям сечений: пусть x=a, x=b—плоскость, тогда X принадлежит [ a, b ], еще известна площадь, тогда V = S(x) dx. Объем тела вращения: V = πf2(x) dx

15. Вычисление площади поверхности вращения.

S = 2π*f(x)√ 1 + f2(x) dx

16. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

Определение: 1) если f(x) определена и неограниченна на полуинтервале [ a, b ), 2) если ограничена и интегрируема на интервале [ a, b-Е ], для любого Е > 0, то существует Lim f(x) dx ( при Е à 0 ) –несобственный интеграл от неограниченной функции на отрезке [ a, b ]. Если этот предел существует и конечен, то интеграл—сходящийся, иначе—расходящийся.

 

17. Несобственные интегралы от функций на бесконечном интервале. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

1) Если f(x) интегрируема на [ a, b ], 2) f(x)—непрерывна при х ≥ а, то Lim ∫ f(x) dx = f(x) dx –несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом. Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует—расходящимся.

Если интеграл от +∞ до -∞, то это несобственные интегралы от функции на бесконечном интервале. Такой интеграл можно решить, если разделить его на интеграл с бесконечным верхним и нижним значением.

 

18. Несобственные интегралы: признаки сравнения.

1 признак сравнения: если х ≥ а и f1(x) и f2(x)—непрерывны для любого Х принадлежащего [ a, +∞ ] и выполняется условие 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x), то

1) f2(x) dx –сходится à f1(x) dx –сходится. 2) f1(x) dx –расходится à f2(x) dx –расходится. 2 признак сравнения: если х ≥ а и f1(x) и f2(x) ≥ 0, то существует

Lim ( f1(x)) / ( f2(x)) = K ( при Х à +∞ ) , то оба интеграла сходятся и расходятся одновременно. Следствие: если f(x) ≤ M / Xp, то P > 1, f(x) ≥ M / Xp, то P ≤ 1

Если сходится интеграл от модуля функции и интеграл от функции, то это абсолютно сходящийся интеграл. Если интеграл от модуля расходится, а от функции—сходится, то это условно-сходящийся интеграл.

19. 0пределение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства линейности и аддитивности; сведение двой­ного интеграла к повторному.

Двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области Д называется ∫∫ f ( x, y ) dxdy = Lim ∑ f ( xi, yi )ΔSi ( при dt à 0 ). ΔSi –интегральная сумма разбиений. Геометрический смысл: двойной интеграл есть объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью Z = f ( x, y ). Линейность:

∫∫ ( f ( x, y) ± g ( x, y)) dxdy = ∫∫ ( f ( x, y) dxdy ± ∫∫ ( g ( x, y) dxdy, а так же:

∫∫ λ f ( x, y) dxdy = λ ∫∫ ( f ( x, y) dxdy. Аддитивность: f ( x, y) dxdy =

f ( x, y) dxdy + f ( x, y) dxdy. Сведение двойного интеграла к повторному: если f непрерывна в области Д, то f ( x, y) dxdy = . В правой части формулы стоит повторный интеграл. Если область Д не является простой, то ее нужно разбить на простые части. Если область интегрирования задается прямоугольником, то пределы интегрирования—константы. Если область дифференцирования—что-то похожее на эллипс, то можно выбирать пределы интегрирования по любым осям.

20. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.

Теорема о среднем: если f(x, y )—непрерывна в области Д, то найдутся x, y принадлежащие Д, такие, что f ( x, y) dS = f(x, y)*SД. доказательство: так как

f(x, y )—непрерывна в области Д, то она принимает все свои значения, то есть

m ≤ ( ∫∫f(x, y ) dS ) / SД ≤ М à f ( x, y) dS = f(x, y)*SД.

21. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

При переходе к криволинейным координатам считают: U = U( x, y ), V = V( x, y ), тогда X = X( u, v ), Y = Y( u, v ). Также вводится Якобиан. Он считается подобно определителю J = , тогда dS = | J | dudv. Якобиан в любой точке М, области Д, есть коэффициент изменения площади при деформации области Д. Исходя из этого:

S(Д) = . В полярных координатах: X = ρcosφ, Y =ρsinφ, тогда якобиан имеет вид: J = . Он будет равен: ρ. Тогда f ( x, y) dxdy =

f ( ρcosφ, ρsinφ ) ρdρdφ. Или f ( ρ, φ ) ρdρdφ =

22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.

Геометрическое приложение: 1) площадь в декартовых координатах: .

2) в декартовых прямоугольных: , где J =

3) в полярных координатах: , где J = .

4) если гладкая поверхность имеет уравнение: z = f(x, y ) , то площадь:

. 5) объем цилиндра, сверху ограниченного непрерывной поверхностью z = f(x, y ), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G, выражается интегралом:

Физическое приложение: Если пластинка занимает об­ласть G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность γ = γ(х, у ), то масса М пластинки и ее статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами: 1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.

Тройным интегралом от непрерывной функции f (x, у, z) по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров dk элементарных обла­стей ΔUk, если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т на элементарные подобласти ΔUk, ни от выбора промежуточных точек.

. Тройной интеграл численно равен объему. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если, например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью z = φ1(x, у), сверху поверхностью

z =φ2(x, у), и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл вычисляется по формуле:

24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах: X = ρcosφ, Y = ρsinφ, Z = Z,

ρ изменяется от нуля до бесконечности, φ изменяется от нуля до 2π, Z изменяется от +∞ до -∞. Также появляется Якобиан: |J| = = ρ, тогда тройной интеграл имеет вид:

Тройной интеграл в сферических координатах: сферическими координатами точки М называются координаты ( R, Θ, φ ), где R—расстояние от точки до плоскости, Θ—угол радиуса ОМ с положительными направлениями оси OZ, φ—полярный угол плоскости ХОУ. φ изменяется от нуля до 2π, Θ изменяется от нуля до π, R изменяется от нуля до бесконечности, тогда: X = R sin Θ cosφ, Y = R sin Θ sinφ, Z = R cos Θ. А Якобиан имеет вид: =R2sinΘ. Иногда координаты вводятся другим способом, тогда Якобиан будет другой. А сам тройной интеграл имеет вид:

25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его гео­метрический и механический смысл, вычисление.

Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 5) составляем интегральную сумму, 6) устремляем d(T)à0 и получаем: Lim ∑ f(pi) L(Δi) = ∫ f(pi) dL—это и есть криволинейный интеграл по длине дуги. Геометрический смысл: вычисление дуги с помощью разбиения на отрезки. Механический смысл: значение этого интеграла равно массе дуги АВ. Вычисление: пусть L—кривая задана параметрически, то есть

R(t) = X(t)i + Y(t)j + Z(t)k, t изменяется от t1 до t2 . Соответственно: А = R(t1), B = R(t2), следовательно dL = dt, тогда

26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.

Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) или L разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)à0 и получаем: Lim ∑ f(pi) L(Δi) = ∫ f(pi) dL—это и есть криволинейный интеграл по координатам вдоль кривой L от скалярного произведения f(p)dL. В координатном виде: ∫fdL = ∫ P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz. Криволинейный интеграл по координатам меняет знак при изменении направления движения по кривой.

Свойства: 1) 2)

3) 4)

Вычисление: 1) если пространственная кривая задана параметрически, то

dx = x/t dt, dy = y/t dt, dz = z/t dt, тогда

∫f(p)dL = [ P(x(t), y(t), z(t))x/t + Q(x(t), y(t), z(t))y/t + R(x(t), y(t), z(t))z/t ] dt

2) если y = y(x), x принадлежит [a, b], то интеграл можно посчитать:

27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.

Физический смысл интеграла по координатам—работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой АВ из точки А в точку В.

28.Теорема Грина.

( Работает, если площадь замкнутая, наче—нет!!!) Если в области Д плоскости ХОУ определены функции P(x, y) и Q(x, y) и они непрерывны вместе со своими частными производными, тогда: , где контур Д проходится против часовой стрелки. Замечание: эта формула остается справедлива для области Д самого общего типа.

29. Условие независимости криволинейного интеграла по координа­там от выбора пути интегрирования (на плоскости).

Теорема 1: Криволинейный интеграл не зависит от формы пути из А в В, тогда и только тогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру L лежащему в Д и содержащему точки А и В равен нулю. Теорема 2: Если P(x, y) и Q(x, y) непрерывны со своими частными производными в односвязной области Д с ХОУ, а точки А и В принадлежат Д, то криволинейный интеграл не зависит от формы пути тогда и только тогда, когда dQ / dX = dP / dY.

30. Вычисление площади гладкой поверхности.

Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром находится по формуле:

31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.

Рассмотрим гладкую поверхность γ ( в любой точке существует касательная плоскость непрерывно меняющаяся от точки к точки ). На этой поверхности введена непрерывная функция f(p). Тогда введем понятие интеграла по поверхности.

1) γ разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)à0 и получаем:

Lim ∑ f(pi) S(Δi) = f(pi) dγ —это и есть поверхностный интеграл от f(p) по поверхности γ. Он так же называется поверхностным интегралом первого рода.

Замечание 1: данное утверждение верно если 1) предел существует, 2) этот предел не зависит от Т-разбиения. Замечание 2: этот интеграл обладает всеми свойствами определенного интеграла ( линейностью, аддитивностью) , для него верна теорема о среднем. Вычисление: рассмотрим случай, когда поверхность однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость. Пусть Z = Z(x, y) , она проектируется на ХОУ, гладкость γ означает, что Z = Z(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда элемент dγ проектируется в элемент поверхности dS. Пусть γ –угол между нормалью к dγ и осью Z. Тогда:

, тогда , а сам интеграл будет иметь вид:

32.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.

Скалярное поле—числовая функция U(x, y,z), заданная в пространственной области V.

Пусть U(x, y,z)—скалярное поле, М—множество точек для которых выполнено U(M) = С(константа)—это поверхность уровня, U(M)—дифференциал, L—фиксированное направление, тогда производной скалярного поля называется: , а формула вычисления производной по направлению имеет вид: . Замечание: --средняя скорость, а предыдущая формула—мгновенная скорость изменения поля. Если < 0, то поле убывает, иначе—возрастает.

Градиент: градиентом скалярного поля называется вектор:

Геометрический смысл градиента: градиент скалярного поля в точке Mo(Xo, Yo, Zo ) ортогонален ( перпендикулярен ) поверхности уровня этого поля, проходящей через точку Mo. Если U = F(x, y,z), V(x, y,z) = C, F(x, y,z) – C = 0, то

, а и т д.

Где α—угол, который нормаль составляет с осью Х, cos тупого угла < 0,

Cos γ < 0 (всегда). Знак вдоль обхода по поверхности не должен меняться.

Надо подгонять знак, чтобы Cos γ < 0, и этот знак ставить вперед всего выражения. Свойства: все свойства градиента полностью совпадают со свойствами производной.

33. Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, вычисление.

Рассмотрим гладкую поверхность G в трехмерном пространстве. В этой поверхности задано векторное поле: a = ax(x, y,z)i+ay(x, y,z)j+az(x, y,z)k. 1) G разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δσ выбираем р, 3) вычисляем a(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)à0 и получаем:

Lim ∑ (a(pi), Δσi) = axdxdy+aydxdz+azdxdy —это и есть поверхностный интеграл второго рода. Свойства: 1) его можно интерпритировать как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении, через поверхность. 2) переход к друго стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а поэтому поменяется и знак у интеграла. Вычисление: 1) переход к интегралу 1 рода: 2) переход к 3 линейным:

34. Поток векторного поля, дивергенция. Теорема Гаусса-Острогр.

Если обойдя любой контур С, мы вернемся в ту же точку М с тем же направлением нормали, которая была зафиксирована, то поверхность двухсторонняя. 1) рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность. 2) фиксируем одну из сторон поверхности, указав нормаль. 3) разобьем на N частей. 4) устремим d(T) àпосчитаем предел интегральных сумм. П = Lim ∑ (V(Mi), n(M))dσ, тогда потоком а(М) через поверхность σ называется поверхностный интеграл по поверхности σ.

Дивергенция: дивергенцией векторного поля называется скалярная характеристика поля, вычисленная для точки М:

. Теорема Гаусса-Остроградского:

Если Е—замкнутая, кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело V !!!!,

n = cosαi + cosβj + cosγk –единичный вектор внешней нормали к Е, P, Q,R—функции, заданные в области Vи имеющие там непрерывные производные, тогда теорема имеет вид: . Если

a = P(x, y,z) + Q(x, y,z) + R(x, y,z), то теорему Гаусса можно записать в векторном виде:

, где n—норма к Е, div-дивиргенция к a.

36. Циркуляция векторного поля, ротор. Теорема Стокса. Формула Грина как частный случай теоремы Стокса.

Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутому пути.

Ротор: или

Теорема Стокса: пусть в области V задано перпендикулярно дифференцируемое векторное поле, и кусочно-гладкая поверхность ( назамкнутая ) и ограниченная кусочно-гладким замкнутым контуром С, вектор n-нормали к Е, и если начать обход против часовой стрелки, то . тогда теорема Стокса звучит:

Циркуляция дифференцируемого векторного поля по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L, равна потоку вектора rota через поверхность G, ограниченную этим контуром L. Ее можно расписать: . Из этого можно получить формулу Грина, если считать, что E = S, C = L, n =k,

a = (P, Q,R), тогда: , где контур Д проходится против часовой стрелки. Замечание: эта формула остается справедлива для области Д самого общего типа.