Контрольная работа

Контрольная работа

Задание № 1. Найдите производные :

а) ; б) ; в) y=cos[ln(1+e2x)].

Решение.

а). Применяем правило вынесения постоянного множителя за знак производной и правило нахождения производной произведения (uv)'= u'v+uv'.

б). Применяем правило нахождения производной частного и правило нахождения производной сложной функции: если y=f(x), u=u(x), т. е. y=[u(x)], где функции f(u) и u(x) имеют производные, то .

в). Применяем правило нахождения производной сложной функции: если y=f(x), u=u(x), т. е. y=[u(x)], где функции f(u) и u(x) имеют производные, то .

Ответ: а). ; б). ;

в). .

Задание № 2. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию . Найти асимптоты и построить график:

Решение.

1. Область определения функции. В аналитическом выражении функции есть математическая операция деления, поэтому необходимо исключить значения аргумента, при которых знаменатель равен нулю, т. е.

2. Проверка функции на четность или нечетность. . Следовательно, f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ - f(x), функция не является четной и не является нечетной, значит, ее график не будет иметь симметрии.

3. Точки пересечения с осями координат: х=0→ у=1, у=0→х=-1. Точки пересечения с осями координат (0, 1) и (-1, 0).

4. Промежутки монотонности и экстремумы функции. Найдем производную функции и приравняв ее нулю определим критические точки.

у´=0 →х1=-1; х2=5

На промежутках (-∞; 1) и (5; +∞) производная положительна и функция возрастает, а на промежутке (0; 1) и (1;5) – функция убывает.

В точке х1=-1 нет локального экстремума, в точке х2=5 локальный минимум f(5)=13,5

5. Для определения точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости функции, находим вторую производную функции:

Вторая производная принимает значение ноль в точке х=-1. На промежутке (-∞;-1) она отрицательна, а значит, функция выпукла, а на промежутках (-1; 1) и вторая производная положительна, а значит функция – вогнута. Точка перегиба одна х= -1.

6. Асимптоты и поведение функции в бесконечности.

; . Знак предела совпадает со знаком старшего члена функции.

Прямая х=1 будет вертикальной асимптотой графика функции, причем и , т. к. знаменатель имеет четную степень.

Таким образом, прямая у=х+5 будет наклонной асимптотой графика функции.

7. Просчитаем несколько дополнительных значений функции для построения графика.

х	-7	-5	-4	-3	-1	2,5	3	4	5	6
у	-3,375	≈-1,8	-1,1	≈-0,5	0	19	16	13,9	13,5	13,72

Задание № 3. Найти пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а). Квадратный трехчлен, стоящие в числителе предварительно разложим на множители, для чего найдем его корни:; х1=, х2=1;

3х2-2х-1=3(х+)(х-1)=(3х+1)(х-1)

Числитель и знаменатель дробного выражения умножим одновременно на выражение сопряженное знаменателю , тогда в знаменателе получим разность квадратов, и дробное выражение можно будет сократить, после чего неопределенность пропадает.

б). Используем второй замечательный предел. Если и , то полагая φ(х)=1+α(х), где α(х)→0 при х→0 и, следовательно, , где е ≈ 2,718…

Использовали равенство

в). Этот предел, как ни странно, вычисляется непосредственно, без раскрытия неопределенностей:

Ответ: а). 16; б).; в). .