Программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Институт экологии и систем инженерного жизнеобеспечения

Кафедра высшей математики

УТВЕРЖДАЮ:

Декан ______________

«___» ________________ 2007 г.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

« ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИКА »

Индекс дисциплины по учебному плану ЕН. Ф.01.6

Направление 654700 - Информационные системы

Специальность 071900 - ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ

Специализация 071901 – Интеллектуальные информационные системы

Форма обучения: очная

Всего часов по плану: 85

В том числе:

аудиторных: 51

самостоятельная работа студента: 34

Форма итогового контроля: экзамен

Курсы обучения: 3

Семестр обучения: 5

Разработана , к. ф.-м. н., доцентом кафедры ВМ.

Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры ВМ

протокол № от « » 200 г.

Зав. кафедрой ВМ________________

Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии по специальности 071900 протокол № от « » 200 г. Председатель методической комиссии ________________­­, д. т.н., профессор Действие программы продлено на уч. год на заседании кафедры ВМ,

протокол № от « » 200 г.

Зав. кафедрой ВМ________________

Действие программы продлено на уч. год на заседании кафедры ВМ,

протокол № от « » 200 г.

Зав. кафедрой ВМ________________

Самара, 2007

Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 071900 « Информационные системы и технологии»

1.  Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе

1.1. Цели преподавания дисциплины

Теория вероятности и математической статистики входят в состав цикла естественнонаучных дисциплин и по своему содержанию представляют собой повседневный рабочий инструмент специалиста в любой области профессиональной деятельности. Без современной теории вероятности и математической статики с ее развитыми логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Теория вероятности и математическая статистика являются не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейший этап в системе фундаментной подготовки инженера.

Цель раздела теории вероятности и математическая статистика – овладение студентами необходимым математическим аппаратом, помогающим анализировать, моделировать и решать прикладные задачи с применением пакета компьютерных программ (EXCEL, MATCAD, STATISTIKA).

1.2. Задачи изучения дисциплины

В соответствии с действующей программой раздел теории вероятности и математической статистики призван достичь следующих задач.

· Развитие логического и алгоритмического мышления у студентов на базе выработки твердых навыков решения математических задач с доведением до практически применяемого результата (графики, статическая обработка данных).

· Выработка у студентов первичных навыков математического исследования прикладных вопросов (перевод реальной задачи на математический язык, выбор оптимального метода ее решения и исследования, интерпретация и оценка полученных результатов) и развитие необходимой интуиции в вопросах приложения математики.

· Выработка у студентов умения самостоятельно разрабатывать в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной с их специальностью.

· Развитие у студентов умения выбрать и использовать необходимые вычислительные методы и средства.

Теоретические знания закрепляются на практике в процессе выполнения самостоятельных, расчетно-графических и лабораторных работ.

1.3. Взаимосвязь учебных дисциплин

Вероятность и статистика выступают связующим звеном между различными дисциплинами, посвященными изучению моделируемых объектов и явлений, и программированием, способствует становлению профессиональных навыков разработки сложных программ-продуктов, что особенно важно для инженера, получающего образование по специальности 071900.

Примеры лекционного курса подбираются из дисциплин, изучаемых студентами. Объясняется математическая сущность постановки задачи и ее решение, при этом делается упор на математическое родство решаемых задач, и на сущность построения математической модели.

Ряд примеров и задач берутся из специальных дисциплин, что служит проявлению интереса студентов к выбранной специальности.

Конкретно вычислительные задачи рассматриваются на примере инженерных вычислений с помощью изучаемых методов.

2. Содержание дисциплины

Курс дисциплины содержит лекционную и практическую часть. Рассматрива­ются: основные понятия теории вероятностей, теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия теорем сложения и умножения (формула полной вероятности, формулы Бейеса), повторение событий (формула Бернулли, локальная и интегральная теоремы Лапласа, вероятность отклонения относительно частоты от постоянной вероятности). Далее рассматриваются случайные величины, виды случайных величин, закон распределения случайной величины, биномиальное распределение, распределение Пуассона; математическое ожидание дискретной случайной величины; дисперсия дискретной случайной величины, свойства дисперсии, среднее квадратическое отклонение; функции распределения вероятностей случайной величины, свойства, график; плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины; мода, медиана случайной величины, начальные и центрированные моменты, асимметрия и и эксцесс. Рассматриваются законы распределения случайных величин: Биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, показательный закон распределения, равномерный закон распределения, нормальный закон распределения, «правило 3 сигм», предельные теоремы закона больших чисел. А также рассматриваются двумерные случайные величины: таблица распределения вероятностей двумерной случайной величины, ковариация, коэффициент корреляции, линейная регрессия. Далее рассматриваются элементы математичкой статистики: выборка, полигон, гистограмма, статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения. Изучаются статистические оценки параметров распределения, элементы теории корреляции, рассматривается статистическая проверка статистических гипотез, проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона. Вводится понятие корреляционного анализа. Проверяется гипотеза о значимости коэффициента корреляции по критерию Стьюдента.

Распределение курса по семестрам

Семестр пятый

3. Содержание лекционных занятий

ЛК–1 Случайные события, их виды, пространство элементарных событий, алгебра

событий. Классическое и статистическое определение вероятностей.

Геометрическая вероятность. Противоположные события.

ЛК–2 Относительная и статистическая частоты. Основные формулы комбинаторики.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.

ЛК–3 Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Повторение испытаний.

Формула Бернулли. Формула Пуассона.

ЛК–4 Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функции .

Наивероятнейшее число появлений события. Отклонение относительной

частоты от постоянной вероятности

ЛК–5 Случайные величины, дискретные, непрерывные. Законы распределения

дискретной и непрерывной величин. Функция распределения и плотность

распределения, их свойства, графики.

ЛК–6 Числовые характеристики случайных величин (СВ), их свойства

. Начальные и интегральные моменты.

Асимметрия и эксцесс.

ЛК–7 Основные законы распределения НСВ: биномиальный, пуассоновский,

равномерный, показательный законы распределения, их числовые

характеристики. Понятие о законе больших чисел.

ЛК–8 Нормальный закон распределения. Вероятность попадания СВ в заданный

интервал. Правило трех сигм. Теоремы Чебышева, Бернулли. Предельные

теоремы закона больших чисел. Теорема Ляпунова.

ЛК–9 Двумерная СВ . Таблица распределения двумерной ДСВ . Закон

распределения двумерной СВ. Ковариация. Коэффициент корреляции,

свойства. Линейная регрессия.

ЛК–10 Предмет математической статистики. Выборка, статистический ряд

распределения. Эмпирическая функция распределения. Полигон и

гистограмма. Линия эмпирической плотности.

ЛК–11 Числовые характеристики статистических распределений: характеристики

положения , характеристики рассеяния

. Характеристики асимметрии и

островершинности распределения.

ЛК–12 Основные понятия о точечных оценках параметров распределения. Качество

оценки. Оценка математического ожидания и дисперсии. Исправленная

дисперсия.

ЛК–13 Интервальные оценки параметров распределения. Доверительная

вероятность и доверительный интервал. Доверительный интервал при

большом и малом объемах выборки. Доверительный интервал для

неизвестного математического ожидания. Распределение Стюдента.

ЛК–14 Проверка статистических гипотез. Нулевая, альтернативная гипотезы.

Варианты расположения критической области. Квантили распределения.

Уровень значимости.

ЛК–15 Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий согласия

Пирсона. Хи-квадрат распределение. Теоретические частоты. Схема проверки

гипотезы о выбранном законе распределения.

ЛК–16 Корреляционный анализ. Функциональная и корреляционная зависимости.

Корреляционная таблица. Уравнение регрессии. Коэффициент корреляции,

его смысл, прогноз значения результативного признака.

ЛК–17 Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции. Выборочное

уравнение регрессии У на Х и Х на У, построение графиков на

корреляционном поле, анализ. Схема выполнения типового расчета:

«Статистический анализ данных с использованием пакета Microsoft Excel».

Всего лекционных занятий в пятом семестре 34 часа.

4.  Содержание практических занятий

ПЗ–1 Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

Противоположные события.

ПЗ–2 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Вероят -

ность появления хотя бы одного события.

ПЗ–3 Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.

ПЗ–4 Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Наивероятнейшее число появле-

ний события. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности.

ПЗ–5 Построение ряда распределения случайных величин. Функция распределения

F(x). Плотность распределения f(x). Математическое ожидание M(x). Диспер-

сия D(x).

ПЗ–6 Ковариация. Коэффициенты корреляции. Линейная регрессия. Законы распре-

деления случайных величин.

ПЗ–7 Расчетно-графическая работы (РГР) по статистике. Эмпирическая функция

распределения. Полигон и гистограмма.

ПЗ–8 Интервальные оценки параметров распределения. Проверка статистической

гипотезы о нормальном законе распределения. Проверка гипотезы о

значимости коэффициента корреляции.

Всего практических занятий во втором семестре 16 часов.

5. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля

в пятом семестре

1. Индивидуальное домашнее задание по темам:

а) Основные теоремы теории вероятностей

б) Случайная величина. Числовые характеристики СВ

в) Основные законы распределения

г) Асимметрия и эксцесс

2.  Проверочный тест по теории вероятностей (из 25 вопросов)

3.  Типовой расчет по математической статистике с использованием пакета Microsoft Excel

4.  Итоговая отчетность – экзамен.

6. Методические рекомендации преподавателю дисциплины

Основными видами обучения студентов являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов, прежде всего при выполнении типового расчета по статистике.

При чтении лекций следует уделить выработке у студентов понимания того, что современное общество в корне меняет высшего образования, превращая его в непрерывное образование в течении всей жизни на базе информационных ресурсов. Необходимо широко использовать мультимедийную технику, например пакет программ EXCEL, MATCAD, STATISTIKA.

Практические занятия ориентируются на выполнение задач по теории вероятности и математической статистики. Умение быстро ориентироваться в постановке задачи и подобрать правильный подход к ее решению. Важно, чтобы результаты каждой задачи оформлялись грамотно и сохранялись студентами до завершения всего курса.

Самостоятельная работа ориентирована на домашнюю классную работу как с компьютером, так и без него. Студенты должны систематически работать с литературой и конспектом лекций, а также грамотно выполнять статическую обработку экспериментальных данных.

7. Методические указания для студентов.

Основными методами обучения являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа.

При прослушивании и проработке лекций особое внимание следует уделить терминологии, используемой в дисциплине и основным понятием. Записывать следует только основные положения. Необходимо активно участвовать в обсуждении тем, предлагаемых преподавателем, высказывать собственные соображения.

При подготовке к практическому занятию необходимо по заданию сделать заготовки к будущему занятию; подготовить конкретные вопросы, предварительно разобрав домашние задание или типовой расчет.

Без самостоятельной работы практически невозможно выполнить индивидуальные домашние задания или типовой расчет, т. к. работы имеют элемент творчества и исследований.

8. Перечень используемых инновационных методов и разработок.

1. Использование тестовых задач по теории вероятностей. Один тест (состоит из 25 вопросов по всему разделу теории вероятностей и рассчитан на 1,5 часа). При повторном проведении возможно на 45 мин.

2. Использование пакета программ EXCEL при выполнении работы по статистике. Эту же работу возможно использовать на пакете программ STATISTIKA.

3. Тестовая система ФИСТ.

4. Включение в типовой расчет по статистике индивидуальные статистические данные, возможно из статистических сборников, журналов.

Статистические данные полученные студентом у конкретного предприятия, региона и т. д. приветствуются, которые далее представляют некоторый научный интерес и перерастают в научную работу студента.

9. Перечень контрольных вопросов к экзамену

за пятый семестр

1.  Определение события. Виды событий.

2.  Алгебра событий.

3.  Относительная частота событий. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности.

4.  Статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

5.  Классическое определение вероятности. Противоположные события. Вероятность появления хотя бы одного события.

6.  Размещения, сочетания, перестановки, их вычисление

7.  Вероятность суммы несовместимых событий.

8.  Вероятность суммы совместных событий.

9.  Произведение событий. Условная вероятность.

10.  Формула полной вероятности.

11.  Формула Байеса.

12.  Повторение испытаний. Формула Бернулли.

13.  Асимптотическая формула Лапласа. Функция .

14.  Интегральная теорема Лапласа. Функция . Наивероятнейшее число появлений события.

15.  Формула Пуассона.

16.  Случайные величины, дискретные и непрерывные.

17.  Закон распределения ДСВ.

18.  Математическое ожидание, ее свойства.

19.  Дисперсия СВ, ее свойства.

20.  Биномиальный закон распределения.

21.  Закон распределения Пуассона.

22.  Функции распределения, ее свойства.

23.  Плотность распределения, ее свойства.

24.  Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

25.  Понятие о моментах случайной величины. Асимметрия и эксцесс.

26.  Равномерный закон распределения.

27.  Нормальный закон распределения.

28.  Смысл параметров распределения .

29.  Вероятность попадания СВ в заданный интервал.

30.  Вероятность отклонения СВ от ее математического ожидания.

31.  Правило 3-х .

32.  Понятие о законе больших чисел.

33.  Теоремы Чебышева и Бернулли.

34.  Предельные теоремы закона больших чисел. Теорема Ляпунова.

35.  Предмет математической статистики.

36.  Выборка, статистический ряд распределения.

37.  Эмпирическая функция распределения.

38.  Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

39.  Гистограмма и линия эмпирической плотности.

40.  Теоретическая частота.

41.  Критерии согласия Пирсона.

42.  Статистические точечные оценки параметров распределения.

43.  Интервальные оценки, доверительные интервалы.

44.  Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания.

45.  Функциональная и корреляционная зависимости.

46.  Уравнение регрессии. Анализ результат признака.

47.  Коэффициент корреляции, свойства.

48.  Вычислительные коэффициенты корреляции и нахождение уравнения линии регрессии по опытным данным.

49.  Проверка гипотезы о выбранном законе распределения.

50.  Проверка гипотезы о значимости коэффициента.

10. Перечень вопросов по контролю остаточных знаний

по курсу «Вероятность и статика»

(по материалам пятого семестра)

1. Классическое определение вероятности.

2. Чему равна вероятность достоверного события.

3. Какому условию удовлетворяет вероятность любого события.

4. В круг радиусом 10 см помещен меньший круг радиусом 5 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадает также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

5. Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочка окажутся исправными обе?

6. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3.

7. Определение условной вероятности.

8. Бросаются 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадает герб?

9. Выбрать верное определение: вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В находится по формуле: .

10. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,1, для второго – 0,2 и для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего.

11. С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0,01 и 0,04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

12. Вратарь парирует в среднем 30% всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?

13. Страхуется 1600 автомобилей. Вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0,2. Какой формулой следует воспользоваться, чтобы найти вероятность того, что число аварий не превысит 350?

14. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,01. Какова вероятность того, что из 200 изделий одно окажется бракованным?

15. Задана таблица распределения случайной величины Х. Найти Р4.

х	0	1	2	3	4
р	1/4	1/8	1/4	1/8	Р4

16. Куплено 500 лотерейных билетов. На 40 из них упал выигрыш по 1 руб., на 10 – по 5 руб., на 5 – по 10 руб. Найдите средний выигрыш.

17. В группе 30 студентов. 10 человек готовы к экзамену полностью, 10 готовы – на 80%, остальные – на 50%. Каково математическое ожидание числа студентов, которые успешно сдадут экзамен?

18. Случайна величина Х распределена по равномерному закону на отрезке [8; 14]. Какова дисперсия этой величины?

19. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения . Чему равно значение .

20. Х и У – независимые случайные величины. D(X)=5. D(Y)=2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

21. При построении уравнения парной регрессии

y = a + bx + e

были получены следующие результаты

rb = 0.5, sx = 2.5, sy = 1.2

Чему равен коэффициент регрессии b-?

22. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты (в мм) 11, 14, 14. Чему равна несмещенная оценка дисперсии.

23. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х	-1	0	3
Р	0,1	0,3	0,6

Найти математическое ожидание случайной величины y = 3х

24. График функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

F(x)

-7 X

Тогда математическое ожидание Х равно...?

25. По выборке n = 100 построена гистограмма частот:

ni/n

 

18

a

 

12

 

4

 

Xi

Чему равно значение а?

11. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

1.11 Основная литература

1. Гмурман вероятностей и математическая статистика. –М.: ВШ, 1999 (учебное пособие)

2. , Печенкина вероятностей. Математическая статистика.

- М.: Гардарика, 1998(учебное пособие)

3. Вентцель вероятностей.-М.: ВШ,1998.

4. , Кацко вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с примерами Еxcel. Ростов-на-Дону, 2005.

2.11 Дополнительная литература

5. , , Горелова вероятностей. Часть 1. Случайная величина. Методические указания. СГАСУ, 2004.

6. Лаврусь указания и контрольные задания по математической статистике.- Самара: СамГАПС, 2005г.

7. Методические указания по дисциплине «Высшая математика», раздел «Теория вероятностей» часть 4 под редакцией . Самара: СамИИЖТ, 1993, с. 48-81