Научно-практическая конференция

Научно-практическая конференция

на тему:

Цель: попытаться разгадать тайну, которую бди­тельно скрывали и хранили пифагорейцы.

Идея: благодаря открытию несоизмеримости (иррациональности) человечество приблизилось к тайне гармонии, истины и добра, мир стал пара­доксальней, загадочней и прекрасней.

Главные вопросы

1.Какую роль в жизни пифагорейцев сыграли иррациональные числа?

2.Как повлияла проблема несоизмеримости на духовную жизнь пифагорейцев?

3. Актуальна ли проблема несоизмеримости в наши дни?

Основные понятия, космос - хаос (порядок - беспорядок); гармония - дисгармония; предел - беспредельное - синтез; рациональное - ирра­циональное; периодическое - непериодическое; соизмеримое - несоизмеримое.

Число докладчиков-исследователей - 7 чело­век.

Источники

1.Аристотель. Сочинения в 4-х т. - М.: Мысль, 1984.

2.Волошинов : союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.

3. Волошинов и искусство. - М.: Просвещение, 1992.

4.Доддс и иррациональное. - СПб.: Але-тейя, 2000.

5. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1986.

6.Лосев классика. - М.: Ладомир, 1994.

7. Платон. Собр. соч. в 4-х т. - М.: Мысль, .

8.Фрагменты ранних древнегреческих философов. - М.: Наука, 1989.

Доклады - исследования учеников

1.  Космос и хаос

Чтобы подойти к тайне несоизмеримости и по­нять, как ее решали пифагорейцы, необходимо выяснить, во-первых, какой смысл они вкладывали в понятие «число», а во-вторых, как пони­мать, что «все есть число».

В основе античного способа осмысления мира лежат два понятия — «форма» и «хаос». Пифаго­рейцы одними из первых в борьбе с «хаосом» сде­лали грандиозную попытку упорядочить мир, сде­лать его осмысленным, удобным для понимания человеком. В этом им помогло число.

После долгих, напряженных лет учебы и раз­мышлений Пифагор заявил, что «все есть число». Пифагор говорил не о потенциальной возможно­сти измерить с помощью чисел предметы окру­жающего мира каким-либо измерительным при­бором. Он говорил буквально — «все есть число». Даже душа для пифагорейцев есть число.

Как можно истолковать слова Пифагора? Воз­можно, подсказкой нам послужит другая мысль пифагорейцев — «Предел и беспредельное вместе создают число». А вот как говорит о том же са­мом знаменитый древнегреческий мыслитель Платон:

«Древние, бывшие лучше нас и обитавшие ближе к богам, передали нам сказание, гласившее, что все, о чем говорится как о вечно сущем, состоит из един­ства и множества и заключает в себе сросшиеся во­едино предел и беспредельное».

Оказывается, каждый раз, рисуя числовую пря­мую, мы воспроизводим то, о чем говорили Пи­фагор и Платон. Сначала мы чертим прямую — беспредельное, потом отмечаем начало коорди­нат — первый предел и только после этого откла­дываем первое число. Теперь можно догадаться, по­чему пифагорейцы обожествляли единицу. Вот что сообщает источник:

«Начало (архэ) всех вещей — единица (монада), а из единицы возникла неопределенная двоица (диа­да), которая относится к единице как материя к тво­рящей причине» (Аристотель).

Таким образом, все начинается с единицы. Только с этого момента мы можем работать с числовой прямой: обозначать числа, сравнивать их и т. д. Вспомним еще, что именно единица является образом целого. Все «вещи» мира име­ют целостную природу, поэтому они гармонич­ны и прекрасны.

Итак, мир начинается не с беспредельного ха­оса, не с какого-то изолированного, замкнутого предела, а с их синтеза. Но то, как возникает этот синтез, осталось для пифагорейцев загадкой. Вот что говорят источники по этому поводу:

«Допускают ли пифагорейцы возникновение или не допускают — на этот счет не может быть никаких сомнений: они ясно говорят, что когда составилось Одно - то ли из плоскостей, то ли из поверхности, то ли из семени, то ли сами не знают из чего, — тотчас же стали втягиваться ближайшие части Безгра­ничного и ограничиваться границей» (Аристотель).

И только после открытия единицы, или целого, мы начинаем измерять и понимать окружающий мир. Другими словами, число — это форма, которая придает беспредельному «хаосу» определен­ный вид.

Кстати сказать, все мыслители Древней Греции упорядочивали «хаос» с помощью изобретаемых ими тех или иных конструкций и форм. Знамени­тая греческая мифология также, но уже посредст­вом мифов, объясняла мир и то, что в нем проис­ходит. Лосев считал, что древнегре­ческая культура достигла огромных высот благо­даря тому, что античное мышление было пластич­ным:

«Красота, в представлении греков, — порождение пластического сознания, пластического и по фор­ме, т. е. по стилю, и по содержанию».

Числа греки также не воспринимали абстракт­но, как мы сейчас. Для них они были скульптур­ными изваяниями, пластичными, таинственными, даже живыми. Теперь становится ясно, почему пи­фагорейцы называли число «первым образом тво­рения мира». Именно число приводит Космос, или Вселенную, в гармонию и порядок.

Вопросы к аудитории

1.Как вы думаете, изначально мир упорядочен или хаотичен?

2.Кто (что) упорядочивает окружающий мир?

3.Где пифагорейцы могли обнаружить «хаос»? Для чего они ввели понятие «космос»?

4.Что дало Пифагору основание заявить, что Все­ленная есть «порядок», т. е. есть «число»?

5.Как вы считаете, почему греки обожествляли Единицу (Монаду, Единое)?

6.Можно ли единицу сравнить с «началом начал», с чем-то божественным?

2.  Телесное число

Пифагорейцы утверждали, что числа телесны. Аристотель писал:

«Они полагают числа реальными вещами; так, они прилагают математические абстракции к телам, как если бы числа были телесными (протяженными)».

Однако может ли число быть телесным? Нач­нем с более простого вопроса: можно ли пощу­пать прямую, точку, прямоугольник? Как показывает практика, многие ребята в вырезанной из бумаги фигуре, имеющей форму прямоугольни­ка, видят прямоугольник. Но можно ли подержать прямоугольник в руке? По-видимому, они, как и греки, не «ощущают» двумерную фигуру, наделяя ее третьим измерением, им на миг кажется, что прямоугольник «телесен». Согласитесь: трудно признать существующим то, что невозможно по­держать в руках, пощупать, осязать! Так и числа пифагорейцы считали телесными и фигурными. Кстати, они не знали нуля именно потому, что его невозможно было «увидеть» и «осязать». От пифагорейцев пришли к нам названия «квадрат числа», «куб числа». Но степеней с показателем больше трех греки не знали, поскольку не могли придать им какой-либо геометрический смысл.

Не случайно древние греки создали непревзой­денные образцы искусства — скульптуры и архи­тектуры, их гениальные произведения отличают изумительная телесность и пластичность. Но Пи­фагор пошел дальше и свел все многообразие те­лесных фигур к пяти фигурам. Приведем два сви­детельства.

«Пифагор открыл теорию иррациональных и кон­струкцию космических фигур (правильных много­гранников)» (Прокл).

«Пифагор говорит, что есть пять телесных фигур, которые называются также математическими: из куба возникла земля, из пирамиды — огонь, из окта­эдра — воздух, из икосаэдра — вода, из додекаэдра — сфера вселенной» (пифагореец).

Казалось бы, это причуда одного лишь Пифа­гора, но вспомним художников - «кубистов», ко­торые спустя 2500 лет конструировали свои образы из куба, пирамиды и других фигур. Значит, это была не только причуда, но и великое про­зрение. А с чего начинают осваивать азы мастерства юные художники? Сначала они учатся ри­совать куб, шар, пирамиду, конус и т. д. и только потом изображают реальные вещи из окружаю­щего мира.

Итак, для пифагорейцев весь мир представлял­ся живым, гармоничным и телесным. Такими же они представляли себе и числа. Именно благода­ря пифагорейцам главными признаками античной культуры стали считать телесность и пластич­ность. Число может быть «живым» и «телесным», если с его помощью мир оживает и делается по­нятным.

Вопросы к аудитории

1. Почему для греков число «телесно», «протяженно»?

2. Почему мы говорим «квадрат числа» и «куб числа»?

3. Поняли бы нас греки, если бы мы предложили им следующие числа: четвертая степень числа, пятая сте­пень числа и т. д.?

4. Почему древние греки стремились создать гео­метрическую алгебру?

5. Как вы думаете, повлияли ли геометрические представления древних греков на создание архитектур­ных и скульптурных произведений того времени? Ка­кие «античные мотивы» можно обнаружить в произ­ведениях культуры более поздних веков?

3. Рациональное число

Ранее было показано, какую роль для пифаго­рейцев играла единица, как они понимали числа и «ощущали» их. Теперь есть смысл исследовать те числа, которые пифагорейцы разрабатывали до открытия иррациональных чисел, т. е. рациональ­ные числа. И здесь пифагорейцы решали следую­щую проблему: легко ли в «хаосе» найти рацио­нальное число?

Какие свойства и признаки рационального чис­ла можно выделить? Любое рациональное число можно представить как отношение целого числа и натурального, для греков — отношение натураль­ных чисел, так как отрицательных чисел они не знали. Любую обыкновенную дробь можно пред­ставить в виде бесконечной десятичной периоди­ческой дроби, т. е. всегда можно выявить период. И наоборот: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Иными словами, любое ра­циональное число предсказуемо: мы всегда сможем заранее сказать, какую цифру получим после запятой через некоторое число шагов (цифр). Од­нако если рациональное число предсказуемо, то это не означает, что оно не несет в себе тайны...

Мы привыкли относиться к числам, как к чему-то обычному, естественному, утилитарному. Но в древности отношение к ним было иным. Числа считались священными, магическими, божествен­ными. Отголоски такого отношения дошли до на­шего времени.

Для древних греков само возникновение числа было чудом. И вот почему. Если попытаться вос­создать ситуацию обнаружения («зарождения») числа, то мы столкнемся с большими трудностя­ми. Как, например, можно задать, выявить рацио­нальное число? Многие ответят, что очень про­сто: произнести его название, записать число с помощью цифр или отложить на числовой пря­мой.

Воспроизведем ситуацию возникновения чис­ла на прямой, но только в замедленном режиме, продумывая каждый свой шаг, как это сделали бы пифагорейцы. (Ведь часто спеша и пропуская про­блемные вопросы, мы упускаем чудеса, которы­ми наполнена наша жизнь.)

Прежде уточним: как на числовой прямой отложить рациональное число? Какая проблема при этом возникает? Ну, хотя бы такая... Мы знаем, что прямая состоит из множества точек (хотя и здесь возникает вопрос: как из нульмерных точек складывается одномерная фигура?). Как же на прямой «поймать», зафиксировать, выбрать из бесконечного множества одну-единственную точку? Жизненный опыт подсказывает: чтобы что-то найти, нужно на что-то ориентироваться, правильно? Но на что мы будем ориентироваться в данном случае? Здесь мы, основываясь на школьных знаниях, воспроизвели трудность, которую разрешали пифагорейцы в процессе «открытия» рациональных чисел.

Допустим, начальная точка уже отмечена. Возникает новая проблема: имеет ли точка на прямой соседнюю точку? Оказывается, что нет, так как всегда можно указать более близкую по месторасположению точку. Так на что все-таки ориентироваться? Или просто ставить засечки, как мы это обычно делаем, и все?

Так вот, для пифагорейцев возникновение числа было сопряжено с чудом. Вдруг из небытия, из хаоса возникала форма — число и «упорядочивала» мир. Таким образом, рациональное число хотя и «предсказуемо», но (как и любое число) несет в себе вечную загадку своего возникновения. Надо отдать должное древним грекам: все указанные проблемы они тщательно продумывали и ставили кучу вопросов там, где мы их уже не видим. И вслед за этой беспроблемностъю из мира ушли тайна, загадка, чудо.

Вопросы к аудитории

1.Какие свойства и признаки рационального числа вы знаете?

2.Как можно задать рациональное число?

3.Что такое «ноль»?

4.Как на числовой прямой отложить рациональное число?

5.Как на прямой «поймать» фиксированную точку, учитывая, что прямая состоит из бесконечного множества точек?

4. Иррациональное число

И вот здесь наше исследование подходит к самому главному. Что же произошло, когда пифагорейцы открыли иррациональные числа и в чем состоит суть проблемы несоизмеримости?

Через некоторое время пифагорейцы столкнулись с числами, о которых ничего не знали. Очевидцы-современники, жившие в ту эпоху, говорят, что при встрече с этими загадочными числами пифагорейцев охватил ужас. Почему?

На первой стадии познания мира пифагорейцы считали, что все знания можно выразить через рациональные числа. Однако некоторое время спустя они столкнулись с тем фактом, что есть числа, которые невозможно представить как отношение натуральных чисел. И это привело их в ужас! Неужели в основании мира лежит что-то непредсказуемое, неустойчивое, иррациональное (от лат. irrationalis — неразумный)?

Можно попытаться смоделировать ситуацию, в которой пифагорейцы впервые столкнулись с иррациональным числом. Это могло произойти, например, когда они находили отношение длины окружности к диаметру, искали длину диагонали прямоугольника или длину гипотенузы прямоугольного треугольника.

Теперь, воспользовавшись циркулем и линейкой, попробуем «поймать» на числовом луче иррациональное число, например . Для этого подберем натуральные числа, сумма квадратов которых равна 5 (22 + 12 = 5). Далее начертим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2, и затем с помощью циркуля отложим точку, которая и будет соответствовать длине гипотенузы —.

Для того чтобы отложить на числовом луче , нужно начертить прямоугольный треугольник с катетами 2 и . При этом отрезок длиной получается как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными 1 и 1. Так, используя описанный алгоритм, мы сможем отметить числа , , и т. д.

Однако точно отложить на координатной прямой можно не все иррациональные числа. Например, пользуясь инструментами, нельзя отметить самое знаменитое иррациональное число π (π ≈ 3,1415926...). Отсюда и невозможность решения каверзной древнегреческой задачи о квадратуре круга.

Открытие несоизмеримости разрушило строй­ную научную систему пифагорейцев, ибо уже та­кой простой геометрический объект, как диаго­наль квадрата со стороной, равной 1, не могла быть измерена известными им числами — нату­ральными числами и их отношениями.

Ужас перед иррациональными числами был столь велик, что пифагорейцы решили скрыть от человечества свое открытие, дабы кто-нибудь не воспользовался им во зло. Можно предполо­жить, что малосведущие люди могли решить: все, что происходит в мире, хаотично и непред­сказуемо, а значит, точные науки отменяются, мораль отменяется — да здравствует анархия! Вот почему знать тайну несоизмеримости могли только посвященные. Знания, возникавшие и разрабатывавшиеся в среде посвященных, были закрытыми для остальных людей. Орден пифа­горейцев был строго засекреченной организа­цией: знания не записывались и не разглаша­лись. За «утечку» информации нерадивые пи­фагорейцы строго наказывались и даже изгоня­лись из ордена.

Но через некоторое время нашелся человек, ко­торый разгласил священную тайну пифагорейцев. Можно представить себе, какое смятение царило в священном ордене... Что же с этим человеком произошло? Обратимся к источнику:

«Как сообщают, к тому, кто первым открыл не­достойным посвящение в учение природы соизме­римости и несоизмеримости, пифагорейцы проник­лись такой ненавистью и отвращением, что не толь­ко изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они счи­тают своего бывшего товарища ушедшим из жизни» (Ямвлих).

Таким образом, открытая пифагорейцами про­блема несоизмеримости заключалась в том, что ги­потенуза прямоугольного треугольника при со­ответствующих длинах его сторон является ко­нечной фигурой — отрезком и при этом величина отрезка выражается бесконечной десятичной не­периодической дробью, которую нельзя было представить в виде отношения натуральных чи­сел.

Мы узнали, какую священную тайну хранили пифагорейцы. Но действительно ли узнали? Ока­зывается, мало узнать о тайне некоторую инфор­мацию, нужно почувствовать тайну сердцем. По­этому, наверное, зря беспокоились пифагорей­цы... Многие люди до сих пор не понимают, что же произошло в те далекие времена.

Вопросы к аудитории

1.В чем главное отличие рациональных чисел от иррациональных?

2.Почему открытие иррациональных чисел приве­ло древних греков в ужас?

3.Как на числовой прямой отложить иррациональ­ное число, например ?

4.Всегда ли гипотенуза прямоугольного треуголь­ника выражается иррациональным числом?

5.Как вы думаете, почему некоторые пифагорейцы говорили, что иррациональные числа «любят прятать­ся»?

6.Как вы думаете, почему пифагорейцы скрывали теорию иррациональных чисел и (по легенде) прокля­ли того, кто первым поведал о них миру?

5. Теорема Пифагора и ее смысл

Как же пифагорейцы попытались частично или полностью разрешить проблему несоизмеримос­ти? Получилось ли у них? Какова была в этом роль теоремы Пифагора?

Древние источники сообщают:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипоте­нузы равен сумме квадратов катетов. Читая иссле­дователей старины, можно узнать, что они припи­сывают эту теорему Пифагору и утверждают, что в благодарность за ее открытие он принес богам быка» (Прокл).

Действительно, а в чем смысл теоремы Пифа­гора помимо того, что она устанавливает связь между длинами сторон в прямоугольном треуголь­нике? Как мы помним, вполне возможно, имен­но благодаря прямоугольному треугольнику пи­фагорейцы столкнулись с иррациональными чис­лами. Но разрешает ли теорема проблему несоиз­меримости хотя бы частично? На наш взгляд, раз­решает, но только геометрически. Чертеж прямо­угольного треугольника, длины катетов которого выражаются соответствующими числами, нагляд­но демонстрирует сосуществование рационального и иррационального: длина отрезка, выраженная иррациональным числом, сосуществует с площа­дью квадрата, которая всегда выражается рациональным числом. Здесь мы можем говорить о за­гадочном синтезе, упоминавшемся ранее. Более того, «иррациональная длина» гипотенузы как бы нейтрализуется «рациональной площадью» квад­рата, построенного на ней как на стороне, напри­мер .

Кстати, именно из-за проблемы несоизмеримо­сти древние греки избегали длинных алгебраиче­ских вычислений. А алгебру, которая в силу своего статуса оперирует любыми числами, старались свести к геометрии со свойственной ей нагляд­ностью. Именно пифагорейцы, научным кредо которых был тезис «Все есть число», отчасти отвер­нулись от чисел и перешли к изучению фигур. Предположим ход их мысли: если встреча с ирра­циональным неизбежна, то пусть эта иррациональ­ность выражается отрезком, фигурой, т. е. тем, что можно охватить взглядом, но только не «зыбким», как мы сказали бы сегодня числом, дробная часть которого уходит в непредсказуемую бесконечность.

Как же древние греки доказывали теорему Пи­фагора? Все древние доказательства теоремы были геометрическими. Геометрические фигуры помога­ли обойти трудные проблемы. Например, чтобы избежать встречи с иррациональным числом, доста­точно было решить задачу с помощью квадратов.

Итак, смысл теоремы Пифагора (помимо того, что она устанавливает связь между длинами сто­рон в прямоугольном треугольнике) заключается в том, что она разрешает проблему несоизмери­мости, но только геометрически. Теорему легко доказать без привлечения иррациональных чисел. В этой идее состояла гениальная прозорливость пифагорейцев. Чертеж прямоугольного треуголь­ника с таинственной гипотенузой наглядно де­монстрирует возможность совместимости рацио­нального и иррационального. Как показывает история искусства, самые прекрасные творения рук человеческих всегда исходят из гармоничного союза рационального и иррационального. Но можно ли этот союз зафиксировать формулой? Оказывается, можно, но это — тема нашего сле­дующего исследования.

Вопросы к аудитории

1.Как удалось совместить рациональное и иррацио­нальное Пифагору?

2.Можно ли совместить конечное и бесконечное с помощью гипотенузы прямоугольного треугольника?

3.Как бы доказали теорему Пифагора древние гре­ки и сам Пифагор, если числа для них были «телесны­ми», «осязаемыми»?

4.Почему почти все древние доказательства теоре­мы Пифагора были геометрическими?

6. Влияние открытия пифагорейцев на их мировоззрение

Повлияла ли проблема несоизмеримости на ми­ровоззрение пифагорейцев? На наш взгляд, по­влияла, более того, повлияла принципиально. Ис­точник сообщает:

«По пифагорейскому преданию первый, кто об­народовал теорию иррациональных, потерпел кораб­лекрушение. Вероятно, они аллегорически намека­ли на то, что все иррациональное во всей вселен­ной, поскольку оно иррационально и безобразно, любит прятаться, и всякая душа, которая прибли­зится к такому виду жизни и сделает его доступным и явным, низвергается в море рождения, и омыва­ется его зыбкими потоками. С таким благоговением относились пифагорейцы к теории иррациональных» (Прокл).

Таким образом, можно сказать, что, встретив­шись с иррациональными числами, пифагорейцы словно испытали второе рождение — не физичес­кое, а духовное. Их души рождались из хаоса небы­тия, они стали другими людьми — посвященными. О самом Пифагоре источники говорят, что благодаря своим познаниям он стал отличать себя от людей, которые не обладали подобными знаниями.

«Аристотель сообщает, что пифагорейцы хранили в строжайшей тайне следующее разделение; разум­ные живые существа подразделяются на три вида: бог, человек и существо, подобное Пифагору» (Ямвлих).

«А между тем, как мы сказали, причины и нача­ла, которые полагают пифагорейцы, достаточны для восхождения и на более высокий уровень бытия и даже больше подходят для этого, чем для рассуждений о природе. Каким же все-таки образом возможно дви­жение, когда в основу положены предел и беспре­дельное, нечетное и четное — на сей счет они ниче­го не говорят...» (Аристотель).

Итак, благодаря своей мудрости пифагорейцы, вероятнее всего, испытывали духовное рождение, т. е. восходили «на более высокий уровень бытия» и чувствовали себя ближе к богам, чем все ос­тальные люди. Но это, можно предположить, была не гордыня, а достигнутое собственными усилиями чувство собственного достоинства. Пифаго­рейцы в Древней Греции пользовались особым уважением, а их творчество повлияло на многих выдающихся деятелей той эпохи: на Евклида, Платона, Аристотеля, Плотина и др. О том, что пифагорейцы были достойными людьми, свидетельствуют следующие высказывания их самих и их современников:

«Мудрецы говорят, что и небо, и земля, и боги, и люди связаны в одно целое общностью, дружбой, благочинием, целомудрием и справедливостью. И именно поэтому, друг мой, они называют весь этот видимый мир «космосом» (порядком), а не акосмией (беспорядком) и распущенностью» (Платон).

«Лжи же вовсе не принимает в себя природа чис­ла и гармонии. Ибо ложь им чужда, ложь и зависть присущи природе беспредельного, бессмысленного, неразумного. Ложь же никоим образом не входит в число. Ибо ложь враждебна и противна природе его, истина же родственна числу и неразрывно связана с ним с самого начала» (Филолай).

«Говорят, что душа есть некая гармония, ибо гар­мония есть смесь и соединение противоположнос­тей, и тело состоит из противоположностей» (Арис­тотель).

Можно предположить, что интеллектуальные и духовные прозрения пифагорейцев влияют и на мировоззрение современного человека, если он упорно и последовательно проделывает тот же путь, что проделали пифагорейцы 2500 лет назад. В этом смысле их наследие бессмертно.

Вопросы к аудитории

1.Как вы думаете, что имел в виду Прокл, говоря: приблизившись к иррациональному, душа «низверга­ется в море рождения»?

2.Как вы понимаете фразу «Все рождается из чис­ла»?

3.Как вы думаете, почему Пифагор отличал себя от богов и обычных людей?

4.Великий древнегреческий мыслитель Сократ го­ворил о «втором рождении человека». Можно ли ска­зать, что, создав свой мир, Пифагор «родился заново»?

5.Должны ли и мы создавать «свои» миры? Какие понятия помогут нам в таком важном деле?

7. Заключение

Так в чем же состояла великая тайна пифаго­рейцев? Возможно, в том, что число, красота, жизнь есть синтез предела и беспредельного, рацио­нального и иррационального, соизмеримого и несо­измеримого! Трудно выразить тайну словами, да, может быть, и не нужно. Ведь тайна живет только тогда, когда мы относимся к ней искренно и бла­гоговейно.

Однако если подводить итог более «строго», то следует сказать, что пифагорейцы одними из пер­вых столкнулись с чудом зарождения числа, с «ужасом» иррациональной бесконечности, про­блемой несоизмеримости и, на наш взгляд, до­статочно удачно для своего времени разрешили их средствами теоремы Пифагора. Благодаря от­крытию несоизмеримости (иррациональности) человечество приблизилось к тайне гармонии, истины и добра, а мир стал парадоксальнее, зага­дочнее и прекраснее. Завершим нашу конферен­цию следующей притчевой миниатюрой, которая является своеобразным «итоговым сгустком» на­ших исследований.

Гармония рационального и иррационального

Каждый пытливый и любознательный человек рано или поздно приходит к выводу, что тайну вечной юно­сти истины, добра и красоты охраняет гармония рацио­нального и иррационального, соизмеримого и несоиз­меримого, предсказуемого и непредсказуемого, упоря­доченного и хаотического. Одними из первых с этой тайной столкнулись пифагорейцы. На первых порах лик этой тайны привел их в ужас, так как в нем явно просматривалось нечто иррациональное и непредска­зуемое.

Пифагор выстроил на сторонах прямоугольного тре­угольника квадраты и доказал, что площадь квадрата, выстроенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, выстроенных на катетах. Тем самым он не просто доказал истину, но и убедительно, наглядно продемонстрировал, что проблема несоизмеримости разрешается даже в обычном прямоугольном треуголь­нике: рациональное и иррациональное сосуществуют, образуя закономерную и в то же время парадоксаль­ную гармонию.