Методические указания к практическим занятиям

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО ЯРОСЛАВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ,

КОНТРОЛЬНЫМ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИМ РАБОТАМ

В СРЕДЕ МАTHCAD

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ:

311300 - « МЕХАНИЗАЦИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА »,

311400 – « ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ

СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА »

(расчет статически определимых систем на растяжение, сжатие и изгиб)

Кафедра физики и электротехники

Ярославль.

2005 г.

Составитель: зав. каф. физики и электротехники ФГОУ ВПО ЯГСХА,

к. т.н. .

Методические указания разработаны в соответствии с программой курса Сопротивление материалов для студентов инженерных специальностей сельскохозяйственных высших учебных заведений.

Сборник методических указаний к практическим занятиям по курсу «Сопротивление материалов» рассмотрен на заседании кафедры физики и электротехники ЯГСХА «____»___________ 2005 г. протокол № ________ и рекомендован к внедрению в учебный процесс.

Рецензенты:

Заведующий кафедрой Математики и механики ФГОУ ВПО ЯГСХА

к. ф-м. н., профессор .

Профессор кафедры Теоретической мехиники и гадравлики СПбГАУ,

д. т.н., .

Сборник методических указаний к практическим занятиям по курсу Сопротивление материалов рекомендован к публикации и использованию в учебном процессе учебно – методическим советом инженерного факультета ЯГСХА «____» ________ 2005 года протокол № _____.

© Макет Сборника методических указаний к практическим занятиям по курсу «Сопротивление материалов» является собственностью ФГОУ ВПО ЯГСХА. Тиражирование сборника возможно только с разрешения владельца макета. При цитировании обязательна ссылка на источник.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………… 4

Основные расчетные схемы ……………………………………………. 6

Расчет по несущей способности ………………………………………. 6

1.  Статически определимые стержневые системы с осевой нагрузкой

без потери устойчивости, обеспеченной конструктивными мерами ……. 7

1.1. Указания к задаче № 1 ………………………………………………… 7

1.2.. Расчет стержней на растяжение (сжатие) ……………………………. 9

Упражнение № 1.1. ………………………………………………… 9

Упражнение № 1.2. ………………………………………………… 21

2. Геометрические характеристики сечений стержня ………………… 28

2.1. Определение центра тяжести сечения сложной конфигурации ….. 28

Упражнение № 2.1. ………………………………………………… 28

2.2. Определение осевых моментов инерции сечения сложной

фигуры, полярного и центробежного моментов инерции

относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения …………30

Упражнение № 2.2. ………………………………………………… 31

2.3. Определение положения главных центральных моментов инерции

Вычисление главных моментов инерции ……………………………….. 35

Упражнение № 2.3. ………………………………………………… 36

3. Поперечный изгиб …………………………………………………. 39

Упражнение № 3.1. ………………………………………………… 43

Упражнение № 3.2. ………………………………………………… 53

Упражнение № 3.3. ………………………………………………… 63

4. Задачи ………………………………………………………………. 70

4.1. Растяжение и схатие статически определимых стержней ………. 70

4.2. Иоиенты инерции плоских сечений ………………………………. 72

4.3. Поперечные силы и изгибающие моменты в балках …………….. 73

4.3.1. Консольные балки ………………………………………………… 73

4.3.2. Двухопорные балки ………………………………………………. 74

4.3.3. Двухопорные балки с консолями …………………………………. 75

4.3.4. Прочность балок …………………………………………………… 76

5. Контрольные задания …………………………………………….. 78

Задача № 1 ………………………………………………………… 78

Задача № 2 ………………………………………………………… 81

Задача № 3 ………………………………………………………… 86

Задача № 4 ………………………………………………………… 88

Список литературы ……………………………………………….. 93

Введение

Сооружения, машины и аппараты, проектированием, изготовлением и эксплуатацией занимается инженерный корпус, помимо своих основных потребительских качеств должны обязательно обладать надежностью в работе и прочностью.

Первые экспериментальные исследования балки на изгиб, проволоки на растяжение и исследования стержней на устойчивость провел Леонардо да Винчи. Спустя 120 лет в 1638 году другой итальянский ученый Галилео Галилей (1в труде «Беседы и математические доказательства касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» дал импульс развитию раздела механики - динамики и сопротивлению материалов. Также, как и Леонардо да Винчи, Галилей изучал два вида деформаций - растяжение и изгиб, так как особых проблем с работой конструкций на сжатие в его эпоху пока еще не существовало. В 1660 г. английский ученый Роберт Гук (1сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузками и деформациями. Развитию науки о сопротивлении материалов в XVIII в. способствовали работы российского ученого итальянского происхождения, академика Леонардо Эйлера (1, давшего математическое выражение определения устойчивости сжатого стержня. Бурный рост промышленности в XIX в., внедрение паровых машин, строительство железных дорог, мостов, плотин, каналов, больших судов и многоэтажных зданий вызвал быстрой развитие науки о прочности материалов. В России в конце XIX начале XX вв. Важные исследования в области сопротивления материалов провели , , . Большой вклад в изучение прочности сталей внес Д. Чернов. Огромный вклад в развитие сопротивления материалов внесли советские ученые , , .

Сопротивление материалов - одна из основных общеобразовательных инженерных дисциплин, являющаяся разделом механики твердого деформируемого тела, определяющая основные принципы и методы расчета элементов машин и механизмов, зданий и сооружений, конструкций и агрегатов на прочность, жесткость (с определением возможных линейных и угловых деформаций), устойчивость, несущую способность и надежность. Эти расчеты играют значительную роль в изучении поведения конструкционных материалов в реальных конструкциях.

В отличие от других разделов механики деформируемого твердого тела - теории упругости и пластичности, сопротивление материалов решает задачи возможно более простыми способами, применяя сравнительно несложный математический аппарат, использующий различные приближенные методы их решения, так как к этому вынуждает настоятельная необходимость доведения практических задач до числового результата. Пригодность допущений курса сопротивления материалов проверяется сопоставлением расчетных данных с экспериментальными.

В своей теоретической части сопротивление материалов базируется на физике, теоретической механике, математике, химии; в экспериментальной - на материаловедении, технологии конструкционных материалов и метрологии.

Для того, чтобы конструкции отвечали требованиям прочности, жесткости и устойчивости, необходимо придать их элементам наиболее рациональную форму и определить сечение элементов, противостоящим усилиям нагрузки.

Прочность - способность конструкции, ее деталей, частей и элементов противостоять разрушающему воздействию приложенных к ним внешних эксплуатационных нагрузок и сил. Расчет на прочность преследует своей целью подобрать наименьшее поперечное сечение элементов конструкций, выдерживающие расчетные нагрузки. Для этого детали и элементы сооружений машин и механизмов должны быть изготовлены из соответствующих материалов и иметь необходимые размеры.

Абсолютно твердых, недеформируемых тел в природе не существует, хотя эксплуатационные деформации в большинстве случаев настолько малы, что их можно обнаружить только с помощью специальных приборов - тензометров.

Жесткость - способность конструкции сопротивляться приложенным нагрузкам, вызывающим угловые или линейные деформации элементов. Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых линейные и (или) угловые перемещения (деформации) не будут превышать заданные.

Устойчивость - способность элементов конструкций сопротивляться возникновению значительных отклонений (деформаций) от состояния невозмущенного равновесия при малых (менее предела прочности) возмущающих воздействиях. Элемент сохраняет устойчивое равновесие, если малому изменению нагрузки соответствует незначительное изменение деформации.

Вместе с тем, существуют конструкции, в которых расчетные деформации легко обнаруживаются невооруженным глазом - это пружины, рессоры, струны деформируемые без потери устойчивости и несущей способности на значительную величину. Неустойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда незначительный рост нагрузки сопровождается значительным (иногда практически неограниченным) ростом деформаций. Признаком потери устойчивости является внезапная смена устойчивого равновесия на неустойчивое. Потеря устойчивости может произойти при нагрузках совершенно безопасных с точки зрения прочности или жесткости исследуемого элемента.

При решении трех вышеперечисленных задач (расчете на прочность, жесткость и устойчивость) необходимо стремиться к получению прочной, жесткой и устойчивой к внешним расчетным нагрузкам конструкции при минимальном расходе материалов, что достигается при минимально допустимых поперечных сечениях элементов конструкций, при которых она сохраняет свою несущую способность и все остальные свои эксплуатационные качества.

Для обеспечения конструкционной надежности при расчетах на элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и несущую способность вводят специальные коэффициенты, повышающие поперечное сечение конструкций и увеличивающие их несущую способность и надежность - способность безотказной работы в течение всего расчетного эксплуатационного периода при воздействии на конструкцию допустимых нагрузок.

Основные расчетные схемы

Выбор расчетной схемы заключается в устранении второстепенных факторов, практически не влияющих на работу исследуемой конструкции. Систематизация по геометрическим признакам элементов конструкций позволяет выявить их основные расчетные особенности. Все возможные, используемые в повседневной практике конструкции состоят из набора простейших элементов:

В курсе сопротивления материалов наиболее часто исследуемым элементом является стержень или брус - тело, у которого поперечные размеры одного порядка сечения малы, по сравнению с длиной. Стержень может иметь постоянное или переменное про длине сечение, может быть прямым или изогнутым (кривым).

Осью стержня (бруса) называется геометрическое место точек, проходящих через центры тяжести всех возможных последовательно выполненных его поперечных сечений.

Поперечное сечение А [ м 2 ] - плоская фигура, нормальная к оси бруса и имеющая центр тяжести на его оси.

Стержень может быть образован последовательным поворотом сечений вокруг оси, в результате чего получается естественно закрученный стержень - спиральное сверло. Наиболее широко применяются стержни следующих профилей: круглый пруток (круг), арматурный пруток периодического профиля, прутки квадратные (квадрат) и шестигранные (шестигранник), рельс.

Стержни сложного профиля, толщина стенки которых значительно меньше габаритных размеров поперечного сечения, называются тонкостенными. К тонкостенным стержням сложного профиля относятся уголки равнобокие и неравнобокие, швеллер, тавр, двутавр, Z - образный профиль, труба, прямоугольная труба, кессонная балка.

Профили могут быть катанные и гнутые. Последние более экономичны и имеют меньший вес по сравнению с катанными.

Расчет по несущей способности

Учебным планом для специальности 311300 (Механизация сельского хозяйства) предусмотрено выполнение каждым студентом двух расчетно-графических (для заочников - контрольных) работ. Для каждой задачи студентом составляется расчетная схема (исходя из условия) и выполняются необходимые эпюры. Эпюра – условное графическое изображение возмущающих факторов (усилий, изгибающих или крутящих моментов, напряжений или деформаций) по длине исследуемых участков стержня, балки или вала выполненное в выбранном масштабе с учетом знака возмущающего фактора.

В результате решения задачи может оказаться, что усилия или деформации в отдельных стержнях получатся с отрицательным знаком, что свидетельствует о том, что принятые предположения о направлении поперечных или продольных (осевых) усилий, опорных реакций, изгибающих моментов, линейных (прогиб или удлинение) или угловых деформаций в этих стержнях оказались ошибочными.

Все задачи курса сопротивления материалов выполняют методом сечений, в соответствии с которым исследуемая конструкция мысленно рассекается на исследуемом в данный момент времени участке, после чего отбрасывается одна из частей конструкции, а отброшенную часть (в целях сохранения равновесия оставшейся - исследуемой части) заменяют внутренними усилиями, действующими в поперечном сечении элемента конструкции. Предварительно исследуемый элемент конструкции разбивают на участки, в пределах каждого из которых остаются неизменными (или изменяются по известному закону) поперечное сечение стержня (балки) и приложенная внешняя распределенная или сосредоточенная нагрузка.

1. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

С ОСЕВОЙ НАГРУЗКОЙ БЕЗ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ,

ОБЕСПЕЧЕННОЙ КОНСТРУКТИВНЫМИ МЕРАМИ

Указания к задаче № 1

В задаче рассматривается статически определимая стержневая система, в которой каждый из стержней шарнирно оперт по концам (или защемлен один из его концов) и работает только на растяжение или сжатие (без необходимости проверки на потерю устойчивости сжатых стержней). Всякая конструкция, не потерявшая несущей способности, упруго деформируется под действием внешних нагрузок таким образом, что не происходит разрывов сплошности и смятия стержней, расчленения стержневой системы в шарнирах; не появляются недопустимые деформации как в отдельных стержнях, так и в стержневой системе в целом.

Осевые усилия в статически определимых стержнях определяются только с помощью системы уравнений статики, так как число связей не превышает числа уравнений равновесия.

Так как упругие деформации стержня малы и отсутствуют пластические деформации, то стержень работает в пределах закона Гука:

s = e · Е ( 1.1 )

где e = (DL / L) – относительное удлинение стержня (длина которого до деформации составляла L [ м ] ) под действием внешней нагрузки F [ Н ];

DL – абсолютное удлинение стержня [ м ] (длина которого до деформации составляла L ) под действием внешней нагрузки F;

s [ Н / м2 ] - напряжение в поперечном сечении стержня А от действия внешней сосредоточенной F [ Н ] или распределенной q [ Н / м ] по длине L стержня нагрузки: s = F / А (s = N / А);

N – осевое (продольное) усилие в стержне от действия внешней нагрузки.

Е [ Н / м 2 ] – упругая постоянная – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).

Растягивающие усилия и напряжения считаются положительными, так как они увеличивают длину стержня, а сжимающие – отрицательными (уменьшающими длину стержня).

Подставив в уравнение ( 1 ) значение относительного удлинения e и напряжения s и решив его относительно DL [ м ], получим выражение абсолютного удлинения стержня под действием внешней нагрузки:

ΔL = F · L / Е · A = N · L / Е · A = s · L / Е

Линейные деформации в любом сечении х – х стержня определяют из аналогичного выражения:

ΔL(Х-Х) = F · х / Е · A = N · х / Е · A = s · х / Е .

Если нагрузкой стержня является его собственный вес G, ее значение определяется из выражения:

G = FG = V · ρ · g , ( 1.3 )

где V = А · L - объем участка стержня [ м 2 ];

ρ - плотность материала стержня [ кг / м 3 ];

g - ускорение свободного падения [ м / c 2 ].

Абсолютное удлинение стержня длиной L постоянного сечения A от действия собственного веса определяют из соотношения:

( 1.4 )

Абсолютную линейную деформацию стержня постоянного сечения от действия собственного веса в любом сечении определяют из выражения:

ΔL(Х-Х) = ρ · g · (L2 – х2)/ 2 E, ( 1.5 )

где х - расстояние [ м ] от защемления (или от начала участка) до исследуемого сечения х – х.

Расчет статически определимых стержневых систем с шарнирным опиранием каждого из стержней по концам производится следующим образом:

- вначале записывается система уравнений статического равновесия системы

åF Х = 0; åF Y = 0; åF Z = 0; ( 1.6 )

из которой находят продольные (осевые) усилия N в сечениях стержня, при этом предварительно приводят осевые усилия в каждом из стержней к координатным осям Х, Y и Z (этот искусственный прием необходим для облегчения решения, хотя в шарнирно опертых по концам стержнях при приложении нагрузки в шарнирах не возникает никаких других нагрузок, кроме осевых);

- по наибольшему (опасному) усилию (исходя из допускаемых напряжений) находят площадь поперечного сечения стержня;

- исходя из найденного поперечного сечения самого нагруженного стержня определяют нормальные напряжения в остальных стержнях системы, полагая, что площадь поперечного сечения всех стержней одинакова.

При решении обратной задачи (если задана площадь поперечного сечения стержней) по допустимому напряжению [sД] находят допускаемую нагрузку. Для определения максимально допустимой грузоподъемности стержневой статически определимой системы следует помнить, что в одном из стержней нормальные (осевые) напряжения могут значительно превышать напряжения в других стержнях:

Расчет стержней на растяжение (сжатие)

Упражнение 1.1. Построить эпюры продольных усилий N, нормальных напряжений s, и деформаций ΔL по длине вертикальной консоли переменного (ступенчатого) сечения, загруженного усилиями F1 = 60 кН и F2 = 160 кН (Рис 1). Материал бруса Ст. 3; модуль Юнга стали Е = 2 · 10 5 МПа. Площадь поперечного сечения стержня: А1 = 5 см 2; А2 = 40 см 2; длина L1 = 2 м, L2 = 1 м, L3 = 1 м . Проверить несущую способность стержня, если допускаемые напряжения равны [sД] = 130 Н/мм2. Найти максимально допустимую нагрузку F1МАХ растянутого участка стержня. Собственным весом стержня пренебречь.

А Решение А2 L3 1. Определение числа участков, в пределах , каждого из которых остаются постоянными F2 поперечное сечение и нагрузка. L2 При перемещении вдоль стержня снизу , вверх очевидно, что первый участок начинается , в точке приложения силы F1, а заканчивается L1 по линии сопряжения сечений А1 и А2. Второй участок начинается по линии сопряжения , сечений А1 и А2 и заканчивается в точке А1 приложения силы F2. F1 Третий участок начинается в точке приложения , силы F2 и заканчивается в защемлении А. Рис. 1. Длины участков L1, L2 и L3 соответственно.

2. Выполним сечения по участкам (Рис.2), при условии, что 0 £ хi £ Li; действие каждой из отброшенной частей стержня заменим опорными реакциями (внутренними усилиями в стержнк) Ni . В результате получили три расчетные схемы (Рис. 3, 4, 5). Направление реакций Ni выбираны произвольно. В случае ошибки при определении направления Ni на расчетной схеме, получим отрицательное значение внутреннего усилия.

Х N3Х А III III L3 III III F2 х3 N2Х F2 х3 II II II , х2 L2 х2 L2 А2 L1 N1Х L1 L1 I I I I , х1 х1 А1 F1 F1 F1 F1 Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.

3). Записывают уравнения равновесия отсеченных частей стержня и находят внутренние усилия в стержнях - опорные реакции Ni. Так как задача одноосная и силы Fi параллельны оси Х, то хватает только одного уравнения равновесия. Для первых двух участков (Рис. 3, 4) очевидно, что направления внутренних усилий N1 и N2 выбраны правильно: так как отсеченный участок должен остаться в равновесии, то опорные реакции N1 и N2 должны быть направлены в обратную сторону внешней нагрузке F1, приложенной к участкам. Отсюда очевидно, что N1 и N2 равны F1.

Запишем уравнение равновесия для первого участка:

åF Х1 = 0.

Подставим в уравнение равновесия внешние нагрузки и внутренние усилия, действующие на отсеченный участок:

åF Х1 = - F1 + N1Х = 0

(усилия, направленные вниз записывают со знаком « - », а все усилия,

направленные вверх - со знаком « + »). Решим уравнение (- F1 + N1Х) = 0 относительно N1Х; подставив туда чиленное значение F1 найдем опорную реакцию (внутреннее усилие) N1Х:

N1Х = F1 = 60 кН.

В результате решения получено положительное значение внутреннего усилия N1Х, значит его неправление, установленное на рис. 3, выбрано правильно.

Аналогично для второго участка, так как новых внешних нагрузок на нем не появилось:

åF Х2 = - F1 + N2Х = 0

N2Х = F1 = 60 кН.

Запишем уравнение равновесия для третьего участка:

åF Х3 = 0.

Подставим в уравнение равновесия внешние нагрузки и внутренние усилия, действующие на отсеченный участок, находящийся в равновесии:

åF Х3 = - F1 + F2 + N3Х = 0

Решив уравнение (- F1 + F2 + N3Х) = 0 относительно N3Х; подставляют чиленное значение F1 и F2 и находят опорную реакцию (внутреннее усилие) N3Х в стержне:

N3Х = F1 - F2 == -100 кН.

В результате решения получено отрицательное значение внутреннего усилия N3Х, значит его неправление, указанное на рис. 5, выбрано неправильно. Истинное значение усилия N3Х будет направлено в обратную сторону.

Для определения знака усилия мысленно защемим нижний конкц каждого из отсеченных участков и пронаблюдаем: сжимает или растягивает усилие Ni стержень. N1Х и N2Х растягивают стержень, значит они положительны, а N3Х сжимает – значит это усилие отричательно.

Для решения последнего уравнения в среде МАТНСАD, устанавливают курсор (красный знак «+») мышью или клавишами « », « ­ », « ® », « ¯ » в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения;

с кавиатуры набираются значения F1, F2 и знаки математических операций:

6,

после чего набирается знак равенства « = » и МАТНСАD выдает решение:

6= -100 .

Как видно из полученных решений Ni не зависит от х, значит на каждом из участков значение Ni постоянно (не изменяется по длине участка).

4). Так как найдены значения внутренних усилий Ni на каждом из участков, можно строить эпюры усилий ЭN в исследуемом стержне, принимая значение Niх = Ni (xi).

Для построения эпюр усилий в стержне на первом участке в среде МАТНСАD устанавливают курсор (красный знак «+») мышью или клавишами « », « ­ », « ® », « ¯ » в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения; набирают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N1(xi) на участке, знак равенства и численное значение исследуемой функции. В результате получают экранную запись функции:

N1(x1) := 60 .

Правее или ниже приведенной функции записывают шаг, с которым определяют усилие N1(Х) в стержне, отделяя целую часть от дробной точкой:

, х1 = 0,0.5..1 .

Многоточие вставляют с палетки, раскрытого «щелчком» курсора (стрелки) мыши, калькулятора: « m..n ».

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N1(x1) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,5 м. от х = 0 до х = L1 = 2 м:

N1(x1)

60

60

60

60

60

Правее или ниже экранной записи значений функции устанавливают курсор (красный знак «+») мышью или клавишами « », « ­ », « ® », « ¯ » в той точке экрана монитора, где будут производиться вычерчивание эпюры усилий на участке.

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки:

а затем вспомогательной:

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами:

На левом знакоместе ставится х1, на нижнем N1(x1) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на первом участке:

2 . х1 0 59 60 61 N1(x1)

Вычисления и полученную эпюру выводят в печать или «запоминают», после чего переходят к следующему участку.

Аналогично строят ЭN второго участка, для чего устанавливают курсор (красный знак «+») мышью или клавишами « », « ­ », « ® », « ¯ » в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения; набирают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N2(x2) на участке, знак равенства и численное значение исследуемой функции. В результате получают экранную запись функции:

N2(x2) := 60 .

Правее или ниже приведенной функции записывают шаг, с которым определяют усилие N2(Х2) в стержне:

, х2 = 0,0.25..1 .

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N2(x) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,25 м. от х = 0 до х = L2 = 1м:

N2(x2)

60

60

60

60

60

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки, а затем вспомогательной:

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами. На левом знакоместе ставится х, на нижнем N2(x) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на втором участке:

1 , х 0 59 60 61 N2(x)

Вычисления и полученную эпюру выводят в печать или «запоминают», после чего переходят к следующему участку.

Выполняют ЭN третьего участка: на свободном поле набирают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N3(x3), знак равенства и численное значение исследуемой функции. В результате получают экранную запись функции:

N3(x3) := - 100 .

Записывают шаг, с которым определяют усилие N3(Х) в стержне:

Х3 = 0,0.25..1 .

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции N3(x3) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,25 м. от х = 0 до х = L3 = 1м:

N3(x3)

-100

-100

-100

-100

-100

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки, а затем вспомогательной.

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами. На левом знакоместе ставится х3, на нижнем N3(x3) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на третьем участке:

1 , х3 0 - N3(x3)

Вычисления и полученную эпюру выводят в печать или запоминают, после чего объединяют полученные эпюры по участкам на одном чертеже, для чего вычерчивают ось стержня, делят его на участки и вычерчивают эпюру по длине стержня (Рис. 7). Эпюру заштриховывают по нормали к оси стержня.

Х -100 кН ЭN -25 МПа Эs ЭΔL А 0 III III L3 F2 х3 -0,125 II , х2 L2 15 МПа А2 -0,05 , L1 I I , х1 А1 F1 60 кН 120 МПа 1,15 мм Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

5). Так как найдены значения внутренних усилий Ni на каждом из участков, и известны площади их поперечного сечения Аi, можно определить напряжения si = Ni / Аi в исследуемом стержне, принимая значение напряжения по участкам равным: siх = si (xi).

Для определения значения напряжений в поперечных сечениях стержня

решают последнее уравнение si = Ni / Аi в среде МАТНСАD, для чего устанавливают курсор в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения;

с кавиатуры набираются значения Ni в [ МН ], A i в [ м2 ] и знаки математических операций (для первого участка это будет):

60·10-3

5·10-4

набирается знак равенства « = » и МАТНСАD дает решение в МПа:

(60·10-3 ) · [(5·10-4 ) -1 ] = 120 .

Для второго участка значение напряжения будет равно:

(60·10-3 ) · [(40·10-4 ) -1 ] = 15 .

Для третьего участка значение напряжения в МПа будет равно:

(-100·10-3 ) · [(40·10-4 ) -1 ] = -25 .

Как видно из полученных решений si не зависит от х, значит на каждом из участков значение si постоянно (не изменяется по длине участка).

Для построения эпюр напряжений на первом участке в среде МАТНСАD устанавливают курсор в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения; набирают с клавиатуры обозначение исследуемой функции s1(Х) = s1(x1) на участке, знак равенства и численное значение исследуемой функции. В результате получают экранную запись функции:

s1(x1) := 120 .

Записывают шаг, с которым определяют напряжения s1(Х) в стержне:

, x1 = 0,0.5..1 .

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции s1(x1) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,5 м. от х = 0 до х = L1 = 2 м:

s1(x1)

120

120

120

120

120

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки, а затем вспомогательной.

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами. На левом знакоместе ставится х, на нижнем s1(x) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на участке:

2 , х1 0 s1(x1)

Аналогично для второго участка. Экранная запись функции:

s2(x2) := 15 .

Записывают шаг, с которым определяют напряжения s2(Х) в стержне:

, х2 = 0,0.25..1 .

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции s2(x2) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,25 м. от х = 0 до х = L2 = 1 м:

s2(x2)

15

15

15

15

15

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки, а затем вспомогательной.

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами. На левом знакоместе ставится х, на нижнем s2(x2) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на участке:

1 , х2 0 14,9 15 15,1 s2(x2)

. Экранная запись функции третьего участка:

s3(x3) := -25 .

Записывают шаг, с которым определяют напряжения s3(Х) в стержне:

, х3 = 0,0.25..1 .

Правее или ниже шага определения усилий записывают с клавиатуры обозначение исследуемой функции s3(x3) на участке и набирают знак равенства. В результате столбиком получают экранную запись значений функции с шагом 0,25 м. от х = 0 до х = L3 = 1 м:

s3(x3)

-25

-25

-25

-25

-25

Последовательно раскрывают «щелчком» курсора (стрелки) мыши, знаки построения графика сначала основной палетки, а затем вспомогательной.

В рамке появится поле эпюры с двумя обозначенными знакоместами. На левом знакоместе ставится х, на нижнем s3(x3) и производится щелчок курсором мыши за пределами рамки и программа МАТНСАD вычерчивает эпюру на участке:

1 , х3 0 -25,1 ,9 s2(x3)

Вычисления и полученную эпюру выводят в печать или запоминают, после чего объединяют полученные эпюры по участкам на одном чертеже, для чего вычерчивают ось стержня, делят его на участки и вычерчивают суммарную эпюру по длине стержня (Рис. 8). Эпюру заштриховывают по нормали к оси стержня.

8). Так как найдены значения внутренних усилий Ni на каждом из участков (и напряжения si ) в исследуемом стержне, можно определить линейные деформации ( 2 ) ΔLi(х) = Ni · хi / Е · Ai = si · хi / Е , суммируя их по участкам с нарастающим итогом начиная от защемления (Рис. 6).

Построим суммарную эпюру деформаций (Рис. 9).

9). Проверим несущую способность стержня:

sМАХ = 120 МПа.£ [sД] = 130 Н/мм2 = 130 МПа

- консоль выдержит приложенные нагрузки.

10). Найдем допустимую (максимально возможную) нагрузку F1МАХ растянутого участка стержня из выражения [sД] ³ F1МАХ / А 1 , решив его относительно F1МАХ :

F1МАХ £ [sД] · А 1 = 130·10 6 · 5·10 -4 = 65000 Н .

Упражнение 1.2. Построить эпюры продольных усилий N, нормальных напряжений s, и деформаций ΔL по длине вертикальной консоли переменного (ступенчатого) сечения, загруженного усилиями F1 = 100 Н и F2 = 50 Н (Рис 10). Материал бруса Ст. 3; плотность стали r = 7,8 г / см 3; модуль Юнга (модуль упругости первого рода) стали Е = 2 · 10 5 МПа. Площадь поперечного сечения стержня: А1 = 40 см 2; А2 = 5 см 2; длина L1 = 0,5 м, L2 = 2 м.

X A A N2 II II II II A2 L2 F2G , x2 F2GX x2 F2 F2 N1 F2 I I I A1 L1 F1G x1 F1GX x1 F1G F1 F1 F1 F1 Рис. 10. Рис. 11. Рис. 12. Рис. 13.

Решение.

1. Определение числа участков, в пределах каждого из которых остаются постоянными поперечное сечение и нагрузка.

При перемещении вдоль стержня снизу вверх очевидно, что первый участок начинается в точке приложения силы F1, а заканчивается по линии сопряжения сечений А1 и А2, по которой приложена сила F2. Второй участок начинается по линии сопряжения сечений А1 и А2 и заканчивается в защемлении (на опоре А). В в центре тяжести каждого участка приложен собственный вес FG участка Протяженность участков L1 и L2 соответственно.

2. Выполним сечения по участкам (Рис.11), при условии, что 0 £ хi £ Li; действие каждой из отброшенной частей стержня заменим опорными реакциями (внутренними усилиями в стержнк) Ni . В результате получили две расчетные схемы (Рис. 12, 13). Направление реакций Ni выбираны произвольно. Для облегчения решения задачи все Ni направляем вверх – они имеют положительные значения (растягивающие). В случае ошибки при определении направления Ni на расчетной схеме, получим отрицательное значение внутреннего усилия (сжимающие усилия).

3). Запишем уравнения равновесия отсеченных частей стержня и найдем внутренние усилия в стержнях - опорные реакции Ni. Так как задача одноосная и силы Fi параллельны оси Х, то хватает только одного уравнения равновесия. Уравнение равновесия для первого участка (Рис. 12):

åF Х1 = 0.

Подставим в уравнение равновесия внешние нагрузки и внутренние усилия, действующие на отсеченный участок; так как собственный вес участка длиной x определяется выражением: FG = r · g · А1 · x, подставим это соотношение в полученное уравнение:

åFХ1 = F1 - F1GX + N1Х1 = F1 - r · g · А1 · x1 + N1Х1 = 0

(усилия, направленные вниз записывают со знаком « - », а все усилия, направленные вверх - со знаком « + »).

Решим уравнение F1 - r · g · А1 · x1 + N1Х = 0 относительно N1Х:

N1Х1 = - F1 + r · g · А1 · x1 .

Для решения уравнения в среде МАТHСAD устанавливают курсор в той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения; набирают с клавиатуры обозначение исследуемой функции Ni (Хi) = Ni(xi) на участке, знак равенства и численное значение исследуемой функции, приняв: xi = хi. В результате получают экранную запись функции:

N1(x1) := 100 + 7,8 · (10-3/ 10-6) · 9,81 · 40 · 10-4 · х1 .

Приведенное в скобках выражение (10-3/ 10-6) и множи4 - коэффициенты приведения размерностей плотности 1 г / см 3 = 1 · (10-3/ 10-6) кг / м 3; и площади поперечного сечения 1 см 2 = 1 · 10-4 м 2.

4). Так как найдены значения внутренних усилий Ni на каждом из участков, и известны площади их поперечных сечений Аi, можно определить напряжения si = Ni / Аi по учпсткам в исследуемом стержне.

Для определения значения напряжений в поперечных сечениях стержня

решают уравнения si = Ni / Аi . В среде МАТНСАD устанавливают курсор в

той точке экрана монитора, где будут производиться вычилсения;

X ЭN 79,55 Н Эs 159 кПа ЭDL ´10-6 м A 0 II A2 L2 F2G F2 x2 3,04 Н 53,04 Н 13 кПа 3,89 I 6,1 кПа F1G x1 L1 A1 F1 -100 Н -25 кПа 3,81 Рис. 14. Рис. 15. Рис. 16. Рис. 17.

с кавиатуры набираются si, Ni в [ Н ], A i в [ м2 ], r в [ кг/м3 ], и g знаки математических операций, принимая обозначение напряжения по участкам равным: siх = si (xi), а xi = хi, Ni = Ni, Fi = Fi, Ai =Ai, r = r и g = g и программа МАТНСАD даст решение задачи в Па:

Первый участок:

s1(x1) = N1(x1)/А1 = (-F1 + r · g · А1 · x1) / А1 .

Подставляем в полученное уравнение значения функций:

s1(x1) = (-100/40·10-4 ) + 7.8·103·9.81· x1

набирается знак равенства « = » и на свободном поле появяется курсор (красный +). Определяем шаг вычислений:

х1 = 0,0.1..0.5

Для определения значений функции siх набирается ее обозначение

s1(x1)

знак равенства « = » и программа дает массив результатов вычислений: