Наименование дисциплины: Уравнения с частными производными

Наименование дисциплины: Уравнения с частными производными

Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры математического моделирования

1. Целями освоения дисциплины "Уравнения с частными производными" являются:

1.фундаментальная подготовка в области уравнений в частных производных;

2.овладение аналитическими методами математической физики;

3.овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.

2. Дисциплина "Уравнения с частными производными" входит в вариативную часть цикла Б3. профессиональных дисциплин. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, алгебра, дифференциальные уравнения.

Освоение дисциплины "Уравнения с частными производными" необходимо при последующем изучении дисциплин (модулей) «Численные методы», «Компьютерная гидродинамика», «Математические модели естествознания», специальных курсов.

3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

основные понятия теории уравнений в частных производных, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

иметь представление о предмете, месте и связи с другими фундаментальными дисциплинами, истории развития этой области знаний.

Уметь:

решать задачи вычислительного и теоретического характера в области уравнений в частных производных.

Владеть:

математическим аппаратом уравнений в частных производных, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.

4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.

5. Содержание дисциплины:

№ п/п	Раздел дисциплины
1	Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения. Нелинейные уравнения. Уравнение Пфаффа.
2	Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка начально-краевых задач.
3	Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Главная часть уравнения, ее преобразования при линейных и нелинейных заменах. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка.
4	Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Вещественные и мнимые характеристики. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения методом мажорант.*
5	Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования.
6	Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны.
7	Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.*
8	Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных.
9	Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны.
10	Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных.
11	Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.
12	Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций.
13	Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных.
14	Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.
15	Формулы Грина. Фундаментальное решение опера­тора Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов.
16	Гармонические функции, их свойства (теорема о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной.
17	Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана.
18	Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности.
19	Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Обоснование формулы Пуассона.
20	Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля.
21	Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций.*
22	Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота.
23	Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и .
24	Обобщенная задачи Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями.
25	Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом. Краевая задача и ее оператор. Функционал энергии. Энергетическое пространство.
26	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.
27	Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность.
28	Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

1., «Уравнения математической физики». М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2004

2.Кубышкин решения уравнений математической физики.: Учебное пособие. Ярославль,20с.

3., Куликов и упражнения по курсу «Уравнения математической физики».: Учебное пособие. Ярославль, 20с.

б) дополнительная литература:

1. «Лекции об уравнениях с частными производными». М.: Изд-во БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

2. «Лекции об уравнениях с частными производными». М.: Физматгиз, 1961.

3. «Сборник задач по уравнениям математической физики», М.: Физматлит, 2001

4. (ред). «Cборник задач по уравнениям с частными производными», М.: Изд-во БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

5., , «Уравнения с частными производными первого порядка» (Учебное пособие). М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат фак-те МГУ, 1999.

6.Соболев математической физики. М.: Наука, 1966.

7. C. «Уравнения математической физики». М.: Наука, 1988.

8. «Дифференциальные уравнения в частных производных», М.: Наука, 1983.

9.. «Лекции об уравнениях с частными производными». М.: Фазис, 1997.

10., , «Сборник задач по математической физике». М.: Наука, 1972, 4-е изд. М.: Физматлит, 2003.

11.Смирнов по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1968.

12. «Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных» первого порядка. М.: Наука, 1966.

13. «Уравнения с частными производными». Перевод с англ. М.: Мир, 1964.

14. «Краевые задачи математической физики». М.: Наука, 1973.

15. «Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов». М.: Наука, 1971.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://mech. math. msu. su/department/diffur/coursesR. htm

http://mech. math. msu. su/department/diffur/pde-first. pdf

http://mech. math. msu. su/department/diffur/olympR. htm