ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ деформационных
процессов с локализацией СДВИГов
,
Алтайский государственный университет,
Барнаул,
e-mail: *****@***ru
ã , , 2013 |
Процессы формирования изолированных поверхностей локализации сдвигов, в том числе и сдвиговых трещин, достаточно часто можно наблюдать при деформировании металлов, сыпучих сред, горных пород, грунтов [1–4].
В настоящей работе в условиях плоской деформации рассматривается математическое моделирование локализации сдвигов на криволинейных разрезах. Вне разрезов предполагается упругое или упруго-пластическое поведение материала.
Для описания поведения материала используются зависящие от тензора напряжений σij функция текучести f и пластический потенциал g, содержащие параметры μ, β и κ, характеризующие, соответственно, внутреннее трение, дилатансию и сцепление или предел текучести при сдвиге [4,5],
, 
,
где
, 
, 
, (i, j,n = 1, 2, 3).
В областях пластического поведения материала функция текучести равна нулю. При отрицательных значениях функции текучести поведение материала является упругим. Бесконечно малое приращение деформации на каждом шаге нагружения представляется в виде суммы упругой и пластической составляющих. В этом случае соотношение, связывающее приращения деформаций и приращения напряжений, принимает следующий вид
, (i, j, k, l = 1, 2, 3),
где h – скорость упрочнения, G – модуль сдвига, n – коэффициент Пуассона,
, 
.
Уравнения состояния в зоне локализации сдвигов заменяются условиями на разрезах, обеспечивающими возможность возникновения разрывов касательных перемещений.
Условия, описывающие взаимодействие берегов разрезов, представлены функциональными зависимостями между нормальными 
и 
, и касательными 
и 
компонентами векторов приращений напряжений и приращений перемещений на берегах разрезов. На площадке касательного разрыва перемещений вектор приращений напряжений непрерывен
, 
,
где индексы «+» и «–» соответствуют разным сторонам линии разрыва.
Предполагается, что на определенных участках разрезов существует возможность скольжения и выполняется условие трения Кулона, связывающее нормальную и касательную составляющие вектора приращений напряжений
,
где 
– коэффициент трения на разрезе, с – параметр, определяемый на каждом шаге решения с учетом коэффициента сцепления на разрезе.
Возникновение разрыхления материала при скольжении вдоль разрыва описывается зависимостью между скачками нормальной и касательной компонент вектора приращений перемещений на заданных участках разрезов
.
При 
данное условие описывает свойство локализованной дилатансии. При 
приращение нормального перемещения на линиях непрерывно
.
На основе метода конечных элементов разработаны алгоритмы и программы численного решения краевых задач с использованием проблемно-ориентированных адаптивных сеток с двойными узлами [6, 7].
Проведено численное моделирование сдвиговых разрывов в окрестности отверстий [8]. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние материала в кольце и в сходящемся радиальном канале при несимметричном развитии сдвиговых разрывов, имеющих форму логарифмических спиралей. Так, например, в задаче о сходящемся радиальном канале граница исследуемой области представлена в виде объединения внешней границы части кольца и k разрезов, расположенных вдоль логарифмических спиралей
,
где 
– полярные координаты соответствующей точки области, 
– радиус вектор начальной точки первого разреза, 
, 
, 
, m = 1,…, k, 
, 
.
В ходе численного решения поставленных задач получены поля перемещений и напряжений для областей с различным расположением разрезов. Кинематические картины деформирования качественно повторяют соответствующие картины, наблюдаемые в экспериментах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Теория пластичности. – М.: Высшая школа, 19c.
2. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Мир, 19с.
3. Механика сыпучих сред. Новосибирск: Изд-во НГУ, 20с.
4. Райс Дж. Р. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная механика. – Тр. III Международного конгресса IUTAM. – М., 1979. C. 439–471.
5. Математическая теория пластичности. М., 19c.
6. Моделирование локализации сдвигов // ПМТФ. 2003. №6. C. 164–169.
7. , Численное моделирование процесса деформирования материала в сходящемся канале в условиях возникновения линий локализации // ФТПРПИ. 2009. №4. C. 33–39.
8. , , Численное моделирование сдвиговых трещин вблизи отверстий // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика / Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика . Тезисы докладов. Новосибирск, Академгородок, 2011. С. 37.
