ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет философии и культурологии
Рассмотрено и рекомендовано УТВЕРЖДАЮ
на заседании кафедры философии Декан факультета
и методологии науки д. ф.н., проф.
Протокол № 7 ___________________
от «16» февраля 2009 г. «___» _________ 2009 г.
Зав. кафедрой д. ф.н.
____________________________
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ЛОГИКА»
(ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО КОМПОНЕНТА ЦИКЛА ОПД(Ф.01)
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 030101 ФИЛОСОФИЯ
Составитель
Ростов-на-Дону
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. Пояснительная записка…………………………………………………… 3
2. Тематический план курса ……………………………………………….. 4
3. Программа курса ……………………………………………………… 5-11
4. Планы семинарских занятий(с указаниями к самостоятельной подготовке, формы контроля). 12-19
5. Литература ……………………………………………………………… 19
6. Экзаменационные вопросы …………………………………………...20-21
7. Вопросы к государственным итоговым экзаменам (комментарии)...21-22
9. Темы курсовых и дипломных работ ……………………………………. 22
10. Глоссарий ……………………………………………………………22-25
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Цель – дать современные представления о традиционной, классической и неклассической логиках.
Задачи – овладеть теоретико-доказательными и теоретико-модельными методами изучаемых логик, установить взаимозависимость философии и логики.
Место в учебном процессе – содержание некоторых разделов курса логики позволяют лучше понять тексты античных и средневековых философов (силлогистика), тексты философов аналитического направления 20 в.(язык как знаковая система), более глубоко усвоить отдельные темы курсов истории и методологии науки (индуктивная логика)
ТЕМАТИЧЕСКИЙ План КУРСА
№ п/п | Тема | Лекции | Семинары | Всего |
Часть первая | ||||
11. | Предмет и значение логики | 2 | – | 2 |
22. | Понятие | 2 | 2 | 4 |
33. | Классическая логика высказываний. Теория моделей | 2 | 2 | 4 |
44 | Классическая логика высказываний. Теория доказательства | 2 | 4 | 6 |
Часть вторая | ||||
55. | Классическая логика предикатов. Теория моделей | 2 | 4 | 6 |
66. | Классическая логика предикатов. Теория доказательства | 4 | 8 | 12 |
77. | Традиционное учение о суждении. Традиционная силлогистика | 2 | 4 | 8 |
Часть третья | ||||
88. | Неклассическая логика: модальная логика высказываний. Аксиоматические нормальные системы. Теория моделей | 2 | - | 8 |
99. | Неклассическая логика: трехзначная логика Лукасевича. Матричный способ получения n-значных логик Лукаснвича | 2 | 6 | 2 |
110. | Индуктивная логика | 2 | – | 2 |
11. | Логические основы теории аргументации | 2 | – | 2 |
Итого: | 24 | 30 | 54 |
Программа курса логики.
Часть первая
1. Предмет и значение логики.
Логическая практика как опыт использование концептуальных средств, сложившихся в культуре: понятий с конкретным содержанием, операций определения и классификации, доказательств отдельных утверждений и др.
Цель логического исследования - создание логической теории посредством уточнения, систематизации и расширения логического опыта человечества, выраженного в языке.
Чувственный и рациональный уровни познания. Особенности рационального уровня познания. Понятие, суждение, рассуждения - основные формы теоретического знания. Предмет логики как науки/теоретической логики/ - формы знания и способы, оперирования ими. Понятие логической: формы. Понятие логического закона. Законы тождества, запрета противоречия, исключенного третьего, принцип достаточного основания.
Логико-методологические формы научного познания: доказательство и опровержение, проблема, гипотеза, теория.
Возникновение логики как науки и основные этапы ее развития. Логические идеи в античной философии: апории Зенона, Платон о логических операциях с понятиями. Силлогистика Аристотеля - исторически первая дедуктивная логическая система. Семантические и логико-методологические аспекты в логическом учении Аристотеля. Индуктивная логика. Ф. Бэкона и Дж. Милля, Особенности современного этапа развития логики. Г. Фреге: метод формализации дедуктивных систем, преодоление психологизма в логике.
2 Язык как знаковая система
Понятие знака. Виды знаков: знаки-индексы, знаки-образцы/иконические-зиаки/ знаки-символы; знаки символы в естественном языке. Естественный язык как система средств коммуникации/общения/. Семиотические аспекты языка: семантический, синтаксический, прагматический. Семантический треугольник/"треугольник отнесения11 Дж. А. Ричардса: слово/ знак/ - вещь/объект, предмет/ - мысль; отношения: слово-вещь, мысль-слово, мысль-вещь.
Искусственный и естественный язык, их различие. Объектный язык и метаязык.
Семантические категории языковых выражений. Предложение (повествовательное) и термины (как части предложения). Значение и смысл предложения. Предложение и суждение(высказывание). Дескриптивные и логические термины. Дескриптивные термины: предложение, единичные и общие имена, предикаторы, предметные функторы. Логические термины: логические связки; логические операторы: а) кванторные слова ("всякий", "некоторый") б) определенная дескрипция ("тот..., который..."); в) неопределенная дескрипция ("некий из...").
Смысл и значение имени. Сложные/описательные/ имена, как имена, имеющие собственный смысл”. Простые/неописательнне/ имена, как имена, имеющие приданный смысл. Зависимость значения общего имени от грамматического места в предложении. Общее имя в позиции логического подлежащего - переменная (в сочетании с кванторными словами). Общее имя в позиции логического сказуемого ("есть + общее имя") - предикатор. Конструкция "а есть Р" как средство разделения имен на единичные и общие, где "а" единичное имя, а "Р" - общее имя.
Карнаповский метод отношения именования. Отношение именования. Принципы отношения именования: 1) принцип однозначности, 2) принцип предметности, 3) принцип взаимозаменимости. Неоднозначность в методе отношения именования при анализе общих имен в предложениях типа "единичное имя + есть + общее имя": общее имя как имя класса и общее имя как имя свойства. Антиномии отношения именования по принципу взаимозаменимости имен. Экстенсиональные и интенсиональные контексты.
3 Понятие
Роль понятий в познании. Языковая форма выражения понятий. Основные приемы образования приятии: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование (обобщающе - различающее, отождествление, изолирующее абстрагирование/.
Логические характеристики понятий: содержание и объем. Содержание понятий. Простые и сложные признаки. Виды простых признаков: положительные и отрицательные, относительные и безотносительные, необходимые и случайные признаки, существенные признаки,
Объем понятий. Закон обратного отношения между объемом и содержанием
понятий. Виды понятий по объему: единичные, общие, пустые и неопределенные.
Виды понятий по характеру признаков, присущих предметам: относительные и безотносительные, положительные и отрицательные.
Виды понятий по характеру обобщаемых в понятиях объектов: конкретные и абстрактные, собирательные и несобирательные.
Логические отношения между понятиями по содержанию: сравнимые и несравнимые. Логические отношения между понятиями по объему: совместимые и несовместимые. Совместимые: отношения равнозначности, включения, пересечения. Несовместимые: отношения соподчинения, противоположности, противоречия. Моделирование отношений между объемом понятий на кругах Эйлера.
Операции с понятиями. Определение понятий. Структура определений: определяемое понятие, определяющая часть, отношение равенства между определяемым понятием и определяющей частью. Вида определений. Явные и неявные. Реальные и номинальные определения. Виды явных определений: через род и видовое отличие, генетическое, операциональное, определение через абстракцию. Вида неявных определений: контекстуальные, индуктивные, рекурсивные. Виды номинальных определений: синтаксические и семантические. Приемы, сходные с определением: остенсивные определения, описание. Правила определения и возможные ошибки в определениях.
Обобщение и ограничение понятий. Деление понятий. Логическая структура деления понятий: делимое понятие, основание деления, члены деления. Виды деления: по видоизменяющемуся признаку и дихотомическое. Правила деления и возможные ошибки при делении понятий.
Классификация. Естественная и искусственная классификация.
4. Классическая логика высказываний.
Повествовательное предложение и высказывание. Общая характеристика логики высказываний. Формализованный язык логики высказываний: алфавит, понятие правильно построенной формулы, понятие подформулы. Перевод сложных предложений естественного языка на язык логики высказываний.
Логические условия истинности высказываний. Таблицы истинности. Классификация формул по логическим условиям истинности: тождественно-истинние (общезначимые), тождественно-ложные (противоречивые) и выполнимые. Законы логики высказываний (т. е. законы выраженные в языке, логики высказываний).
Сокращенные таблицы истинности как метод проверки свойств формул "быть тожественно-истинной" либо "бить тождественно-ложной". Аналитические таблицы. Правила построения аналитических таблиц. Понятие разрешимости для классической логики высказываний.
Основные отношения между формулами по истинности и ложности: логической эквивалентности, противоречивости (контрадикторности), противоположности (контрарности), подпротивоположности(субконтрарности).Законы взаимовыразимости одних логических связок через другие. Понятие функциональной полноты систем связок.
Рассуждение как познавательная операция. Структура рассуждений (посылки, заключение). Два аспекта исследования рассуждений: содержательный (семантический, теоретико-модельный) и формальный (теоретико-доказательный, дедуктивный). Содержательный: понятие логического следования, понятие корректного и надежного рассуждения. Сведение отношения логического следования к понятию тождественно-истинной формулы (определенной логической структуры).
Формальный аспект. Формализация тождественно-истинных формул логики высказываний (законов логики). Формальная аксиоматическая система: формализованный язык логики высказываний, схемы аксиом, правила вывода, понятие формального доказательства и доказуемой формулы. Основные требования к адекватности формализации общезначимых формул: 1) теорема о корректности - если формула доказуема, то она общезначима; 2) теорема о полноте - если формула общезначима, то она доказуема. Следствие теоремы о корректности: теорема о непротиворечивости - 3) не имеется такой формулы, чтобы формула и ее отрицание были доказуемы в формальной системе. Понятие вывода и теорема о дедукции.
Формализация отношения логического следования. Формальная система натурального вывода: формализованный язык, правила вывода, понятие вывода и выводимой формулы. Правила вывода: правила введения и удаления логических связок, прямые и косвенные правила, основные и производные правила.
 |
5. Классическая логика предикатов.
Общая характеристика классической первопорядковой логики предикатов: алфавит, понятие терма, формулы, подформулы. Понятие свободного и связанного вхождения предметной переменной в формулу. Естественный язык и язык первопорядковой логики предикатов: семантические категории языковых выражений и символы языка логики предикатов.
Теория моделей (первопорядковая семантика).
Модель: непустая область интерпретации, функция интерпретации. Функция интерпретации(отображение): область определения - а) индивидные константы, б) предикатные символы, в) функциональные символы; область значения функции интерпретации - а/ фиксированные элементы области интерпретации, б) подмножества элементов, подмножества упорядоченных пар, троек и т. д. элементов области интерпретации, в) операции в области интерпретации. Функция приписывания значений предметным переменным в модели. Значение терма в модели при приписывании(значений предметным переменным). Определение истинностного значений формулы при заданном приписывании в модели (в соответствии с индуктивными шагами определения формулы). Понятие формулы, истинной в модели(выполнимая формула), понятие общезначимой формулы. Отношение логического следования, понятие корректного и надежного рассуждения в языке первопорядковой логики. Аналитические таблицы для формул первопорядковой логики как метод проверки свойства "быть общезначимой формулой". Неразрешимость свойства "быть необщезначимой формулой" (случай, когда формула не имеет завершенной аналитической таблицы). Законы взаимовыразимости кванторов, отрицание кванторов, пронесение и вынесение кванторов через конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию.
Теория доказательств.
Аксиоматическое построение классической логики предикатов. Схемы аксиом (схемы аксиом логики высказываний + схемы аксиом собственно логики предикатов), понятие формального доказательства и доказуемой формулы. Ограничение на использование предметных переменных в схемах аксиом и правилах вывода. Теорема дедукции.
Формальная система натурального вывода. Понятие вывода и выводимой формулы. Правила вывода. Правила введения и удаления логических связок, правила введения и удаления кванторов. Требование к подстановке терма вместо свободных переменных в правилах удаления квантора всеобщности и введение квантора существования. Ограничения на использование предметных переменных в правилах введения квантора всеобщности и правиле удаления квантора существования.
Смысл теорем о полноте и непротиворечивости исчисления предикатов первого порядка. Проблема разрешимости логики предикатов.
6. Традиционное учение о суждении. Простой категорический силлогизм.
Суждение как форма мысли. Суждение и повествовательное предложение. Простые и сложные суждения. Структура простых суждений: субъект, связка, предикат. Виды простых суждений: атрибутивные, реляционные, экзистенциальные. Перевод реляционных и экзистенциальных суждений на язык логики предикатов первого порядка. Сложные суждения: конъюнктивные, дизъюнктивные и др.
Категорическое суждение как вид атрибутивного суждений. Виды категорических суждений: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. Представление отношений между объемами терминов в категорических суждениях посредством круговых схем. Распределенность терминов в категорических суждениях.
Логический квадрат как мнемоническое средство для определения логических отношений между суждениями (с одинаковыми субъектами и предикатами) по истинности. Виды этих отношений: противоречия (контрадикторности) , противоположности (контрарности) , подпротивоположности (субконтрарности), подчинения. Непосредственные выводы по логическому квадрату. Непосредственные выводы не по логическому квадрату: обращения, превращения, противопоставления предикату, противопоставления субъекту. Анализ непосредственных выводов, на модельных схемах.
Традиционная силлогистика. Простой категорический силлогизм, Состав силлогизма: меньший, средний и болышый термины. Фигуры и модусы силлогизма. Правильные модусы: основные (сильные) и производные (слабые). Круговые схемы как средство отбора правильных модусов и проверки корректности выводов(силлогистических). Общие правила простого категорического силлогизма (правила терминов и посылок). Специальные правила фигур. Обоснование модусов 2-ой, 3-ой и 4-ой фигур через их сведение к модусам 1-ой фигуры.
Энтимема, ее виды: с пропущенной большей либо меньшей посылкой, с пропущенным заключением. Полисиллогизм, его виды. Сорит, его виды. Значение силлогистики для современной логики. Традиционная силлогистика как фрагмент логики предикатов.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
7. Неклассическая логика.
Логика классическая и неклассические логики. Основные виды неклассических логик: модальные, многозначные, интуиционистская, релевантная логики.
7.1Модальная логика высказываний
Основные виды модальных логик: алетическая, эпистемическая, деонтическая.
Алетическая модальная логика высказываний. Язык алетической логики высказываний: язык классической логики высказываний, дополненный операторами возможности и необходимости, понятие формулы алетической логики высказывали; Взаимовыразимость операторов возможности и необходимости.
Теория доказательств.
Четыре аксиоматические нормальные модальные системы: М, S4, S5, Br. Аксиомные схемы для этих систем (одинаков для всех четырех систем): модус поненс и правило Геделя. Понятие доказательства и доказуемой формулы. Понятие нормальной модальной системы. Соотношение между этими четырьмя модальными системами, графическое изображение этого соотношения. Самая сильная система - S5: любая теорема остальных систем доказуема в S5. Самая слабая система М: имеются теоремы остальных систем, недоказуемые в М системе.
Теория моделей для модальных систем: М, S4, S5, Br.
Модальные операторы не являются функционально-истинностными операторами. Модель: а/ - непустое множество возможных миров, из которых выделен актуальный(реальный) мир; б/ - бинарное отношение на мирах, называемое отношением достижимости; в/ -двуаргументная функция интерпретации: значение одного аргумента - формулы, второго - возможные миры; область значения этой функции - истинностные значения (истинно, ложно). Определение истинностного значения формулы (без модального оператора) относительно возможного мира при заданной интерпретации. Определение истинностного значения формулы (с модальным оператором) относительно возможного, но фиксированного мира при заданной интерпретации. Понятие формулы, истинной в модели (выполнимая формула), понятие логически истинной (общезначимой) формулы.
Класс, М-моделей, адекватных М-системе: модели, в которых отношение между мирами имеет свойство рефлексивности. Класс S4 - моделей, адекватных S4- системе: модели, в которых отношения между мирами обладают свойствами рефлексивности и транзитивности, Класс Br-моделей, адекватных Вr-системе: модели, в которых отношение между мирами имеет свойства симметричности и рефлексивности. Класс S5-моделей, адекватных S5-системе: модели, в которых отношение между мирами удовлетворяет свойству эквивалентности (т. е., рефлексивности, симметричности, транзитивности). Метод поиска контрмодели для проверки свойства "быть логически истинной" формулой М, S4, Вr, S5 - систем.
Философские проблемы в понимании исходных, т. е. неопределяемых, понятий теории моделей: "возможный мир", "актуальный мир", "отношение достижимости.
7.2 Многозначная логика Лукасевича.
Понятие многозначной логики. 3-х значная логика Лукасевича. Три истинностных значения: истина, ложь, неопределенно(недетерминировано, возможны - другие названия третьего значения). Обоснование Лукасевичем 3-го значения истинности в статье "О детерминизме". Два аргумента защитников тезиса о детерминизме: принцип причинности и закон исключенного третьего. Контраргументы Лукасевича. Новаторская формулировка Лукасевичем принципа исключенного третьего "Т(р) либо F(не-р)" и принципа двузначности (бивалентности)- где Т, F - соответственно операторы "истинно, что..." и "ложно, что,..".
Таблицы истинности для 3-х значной логики Лукасевича как надстройка над классическими таблицами истинности посредством добавления 3-го значения истинности - неопределенно. Отрицание и импликация - исходные логические операции в 3-х значной логике Лукасевича. Определение остальных операций. Понятие общезначимой формулы как формулы, принимающей при любом приписывании значений истинности, выделенного значения "истинно". Необщезначимость в 3-х значной логике Лукасевича формул, представляющих классические законы исключенного третьего и запрета противоречия. Аксиоматизация 3-х значной логики Лукасевича. Аксиомы, правила вывода/модус поненс, подстановки/, понятие доказательства и доказуемой формулы.
Табличное определение модальных операторов необходимо, возможно, случайно в 3-х значной логике Лукасевича,
Матричный способ получения 1 н-значных логик Лукасевича.
8. Индуктивная логика.
Дедуктивные и индуктивные (правдоподобные) рассуждения, специфика индуктивных рассуждений: истинность посылок не гарантирует истинности заключения, в заключении больше информации (знания), чем в посылках.
Виды индуктивных рассуждений: обобщающая индукция, методы установления причинных зависимостей, аналогия. Обобщающая индукция: полная и неполная. Полная обобщающая индукция - эмпирическая и математическая. Схема рассуждений (посылки и заключения) по полной обобщающей эмпирической индукции. Неполная обобщающая эмпирическая индукция, ее отличие от полной. Виды неполной обобщающей эмпирической индукции: популярная и научная. Схемы рассуждений по неполной индукции (популярной и научной), их различие. Статистическое истолкование неполной индукции. Условия повышающие степень обоснованности заключений по неполной научной индукции.
Индуктивные метода установления причинных зависимостей явлений Бэкона-Милля. Метод сходства, метод различия, метод сопутствующих изменений, соединенный метод сходства и различия, метод остатков.
Рассуждение по аналогии, его структура. Вероятностный характер заключения в рассуждении по аналогии. Основное вида рассуждений по аналогии.
Индуктивные рассуждения как рассуждения по подтверждению либо опровержению индуктивных обобщений (гипотез, предположений) свидетельствами. Обратная связь между посылками и заключением в дедуктивном и индуктивном отношении следований. Доказательная схема опровержения и эвристическая схема подтверждения. |
Случай, когда индуктивное обобщение (предположение, гипотеза) есть индуктивное следствие из истинного либо ложного утверждения (принципа): доказательная схема подтверждения, эвристическая схема опровержения.
Случай конкурирующих гипотез: доказательная схема выбора между несовместимыми гипотезами, эвристическая схема выбора между несовместимыми гипотезами.
Роль индуктивных рассуждений для анализа методологических проблем естественнонаучного и гуманитарного знания.
9. Логические основы теории аргументации.
Доказательство как логико-методологическая форма научного познания. Структура доказательства: тезис, аргумент, демонстрация. Опровержение как логико-методологическая форма научной критики.
Виды доказательства: прямое и косвенное. Прямое доказательство. Косвенное доказательство: а) доказательство от противного (апогогическое), доказательство через исключение альтернатив (отрицающе-утверждающий способ рассу:ждения в разделительно-категорическом умозаключении). Вида опровержения: прямое и косвенное. Косвенное - опровержение путем сведения к абсурду.
Требования к тезису: тезис должен нуждаться в доказательстве, тезис должен быть ясен (после всех уточнений тезис не должен изменяться).
Тезис и вид суждения. Тезис, выраженный общим суждением, легко опровергается, но трудно доказывается. Тезис, выраженный частным суждением, тяжело опровергать, но легко доказывать. Требования к тезису, выраженного сложным суждением. Возможные эквивалентные преобразования тезиса, выраженного сложный суждением. Тезис и модальность суждения. Логические ошибки в отношении тезиса: потеря тезис, подмена тезиса (полная или частичная).
Требования к аргументам: аргументы должны быть истинными утверждениями (в силу соответствия фактам или как прежде доказанным положения), независимость обоснования аргументов от тезиса, совокупность аргументов должна быть непротиворечивой, совокупность аргументов должна быть достаточной для вывода тезиса. Логические ошибки в отношении аргумента: ложный аргумент, предвосхищение основания, противоречивые аргументы. Нелояльные аргументы, как разновидность ошибочных аргументов: аргумент к авторитету, аргумент к публике, аргумент к силе, жалости, тщеславию и др.
Требования к демонстрации: не нарушать правил вывода. Ошибки в демонстрации: логический круг, нарушение соответствующих правил вывода. Параллогизм, софизм.
Планы семинарских занятий( с указаниями к самостоятельной подготовке)
Понятие.(2 часа).
I. Общая характеристика понятий. Содержание и объем понятия. Виды понятий.
2. Вида отношений между понятиями.
3. Логические операции с понятиями. Обобщение и ограничение понятий.
4. Логическая операция деления понятий. Виды деления. Правила и возможные ошибки в делении понятий.
5. Логическая операция определения понятий. Правила определения и возможные ошибки в определениях понятий. Виды определений.
Литература.
1., Маркин логики. 1998 г. (2000 , 2002 )
2. Войшвилло как форма мышления. М., 1989.
3. Горский . М. 1974.
4. Ивлев . М., 2001.
5. Солодухин . Ростов-на-Дону. Феникс.2000г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Общая характеристика понятий.
2. Виды понятий.
3. Операция ограничения, обобщения и деления понятий
4. Теоретико-познавательные характеристики определений.
5. Явные и неявные определения.
РЕКОМЕНДАЦИИ.
Лучше пользоваться книгой «Ивлев », глава «Понятие». Практические навыки решения задач по этой теме рассматриваются в аудитории. Эта тема обычно не вызывает затруднений. Для более глубокого изучения темы "Понятие" рекомендуем изучить монографии: Войшвилло как форма мышления. М., 1989., и Горский . М. 1974.
Классическая логика высказываний. Теория моделей(2 час).
1. Понятие формализованного языка. Формальный язык логики высказываний. Понятие формулы, подформулы.
2. Логические условия истинности высказываний. Таблицы истинности. Классификация формул по логическим условиям истинности.
3. Логические отношения между формулами по истинности и ложности. Понятие о функциональной полноте систем логических связок
4. Отношение логического следования. Корректные и надежные рассуждения.
5. Аналитические таблицы.
Литература
1. , Маркин логики. М., 1994.Гл.3, §3.
2. Войшвилло логика: классическая и релевантная М.,1987. Гл. 3, §4.
Литература
1. , Маркин логики. М., 1994.Гл.3, §3.
2. Войшвилло логика: классическая и релевантная М.,1987. Гл. 3, §4.
3. Солодухин . Ростов-на-Дону. Феникс.2000г. Гл. 3
РЕКОМЕНДАЦИИ
В этой теме важно научиться пользоваться таблицами истинности и на основании этого усвоить классификацию формул по логическим условиям истинности, разобраться с понятием логического следования (лучше пользоваться учебником: Солодухин . Ростов-на-Дону. Гл.3). Надо также усвоить метод аналитических таблиц(лучше по учебнику , Маркин логики. М., 1994.Гл.3, §3.)
С практической точки зрения важно знать, как проверить, что данная формула является общезначимой (логическим законом) либо противоречивой, как проверить, что из данных посылок логически следует заключение? Метод аналитических таблиц - удобный инструмент для указанных проверок.
Надо изучить указанные параграфы из учебников, разобраться в примерах, в которых используется метод аналитических таблиц. Проверить себя на каком либо примере известной Вам общезначимой и противоречивой формулы.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.
1. Что значит утверждение: логика высказываний разрешима.
2. Что значит, что построение аналитической таблицы для анализируемой формулы покоится на рассуждении от противного?
3.Что такое правило редукции? Сформулируйте правила.
4.Укажите, применение, каких правил редукции расщепляет (разбивает) некоторый данный список формул на два подсписка формул?
5. Дайте определение аналитической таблицы.
6.Что значит, что данный подсписок формул замкнут?
7.Дайте определение понятие замкнутой аналитической таблицы.
8. Дайте определение общезначимой и противоречивой формулы в терминах понятия "замкнутая таблица".
9. Постройте аналитические таблицы для данных формул в предположении, что они необщезначимы: (А É (ВÉ С)) É (В É (А ÉС)), ((А É В)ÉА)ÉА, (А É В) É ((А & С) É(В &С)), (А ÉВ) É((А Ú С) É(В Ú С)).
10. Постройте аналитические таблицы для данных формул в предположении, что они не являются противоречивыми: (А É (ВÉ С)) & (В&Ø (А ÉС)),
((А É В)ÉА) &ØА, Ø ((А É В) É ((А & С) É(В &С))), (А ÉВ) & Ø ((А Ú С) É(В Ú С)).
Классическая логика высказываний. Теория доказательства (4 час).
1. Схемы правильных выводов традиционной логики в языке логики высказываний.
2. Формальная аксиоматическая система. Понятие доказательства и доказуемой формулы. Теорема дедукции.
3. Основные требования к адекватной формализации общезначимых формул: корректность, полнота и непротиворечивость,
4. Формальная система натурального вывода. Понятие вывода и выводимой формулы. Правила вывода.
РЕКОМЕНДАЦИИ
По этой теме базовые понятия излагаются во время обзорной лекции, там же даются образцы решения задач. Надо лишь закрепить этот материал, используя соответствующую литературу.
Классическая логика предикатов. Теория моделей (4 час).
I. Формализованный язык классической логики предикатов.
2. Понятие модели. Определение истинностных значений формулы в модели. Понятие выполнимой (непротиворечивой), общезначимой и невыполнимой (противоречивой) формулы.
3. Косвенные методы проверки общезначимости формул: метод поиска контрмодели и метод аналитических таблиц.
4. Отношение логического следования. Корректные и надежные рассуждения в языке классической логики предикатов,
5. Основные законы логики предикатов.
Классическая логика предикатов. Теория доказательства (8 час).
1. Аксиоматическое построения логики предикатов (формальная аксиоматическая система). Теорема дедукции.
2. Формальная система натурального вывода.
3. Смысл теорем полноты и непротиворечивости. Проблема разрешимости.
Литература
1. , Маркин логики. М., 1,2002). Гл.3.
2. Войшвилло логика: классическая и релевантная М.,1987. Гл. 2, 3, 4 (§ 8, § 10).
3.Солодухин . Ростов-на-Дону. Феникс.2000г. Гл.5.
РЕКОМЕНДАЦИИ
Целью самостоятельной работы по этой теме является закрепление того материала, который был изложен на лекциях.
Прежде всего, надо усвоить основные понятия логики предикатов первого порядка: понятия модели, условия истинности и ложности элементарных формул, условие истинности и ложности формул, главным знаком которых является конъюнкция, отрицание, дизъюнкция, импликация. Наконец, условие истинности и ложности формул, главным знаком которых являются кванторы. Надо вполне понимать определения общезначимой, противоречивой и выполнимой формулы.
На основании знания содержания указанных понятий используйте косвенный метод - метод построения контрмодели для проверки свойства быть общезначимой формулой. По учебнику "Солодухин . Ростов-на-Дону. Феникс.2000г. Гл.5" изучите метод модельных конструкций (модельных множеств).
Надо усвоить метод построения аналитических таблиц для формул языка логики предикатов первого порядка. Для этого надо изучить кванторные правила редукции. Особо надо обратить внимание на правила редукции, в которых вводятся новые параметры, т. е. параметры не встречающихся на предыдущих шагах построения аналитической таблицы для фиксированной формулы. Это правила редукции для отрицания квантора общности и правило для формулы, которая начинается с квантора существования (см.: учебник , Маркина логики. Гл.3, § 3). Эти же правила несколько иначе излагаются в учебнике: Войшвилло логика: классическая и релевантная М.,1987. Гл. 3 (§ 5) Формулировки правил редукции в этих учебниках эквивалентны.
Наконец, надо усвоить аксиоматическое построение исчисление предикатов и формулировка логики предикатов в виде дедуктивной системы натурального вывода. Самое главное - усвоить ограничения на применение кванторных правил (подстановка терма вместо свободного вхождения переменных, условий на вхождение свободных и связанных переменных в правилах).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое модель?
2. Сформулируйте условия истинности и ложности формул в модели (индукцией построению формулы).
3. Сформулируйте определение общезначимой, противоречивой и выполнимой формулы.
4. Сформулируйте аксиомы и правила вывода в аксиоматическом исчислении.
5. Постройте доказательства следующих формул: "хР(х) É Ø $хØР(х), Ø"хØР(х) É $х Р(х), $х "у Р(х, у) É "у $х Р(х, у).
6. Пользуясь методом модельных конструкций доказать общезначимость формул из предыдущего задания.
7. Пользуясь методом аналитических таблиц, покажите, что формулы из задания 5 являются общезначимыми.
8. Является ли первопорядковая логика предикатов разрешимой?
9. Сформулируйте теоремы о корректности, непротиворечивости и полноте логики предикатов первого порядка. Сформулируйте схемы (основные идеи) доказательства этих теорем.
Традиционное учение о суждении.
Простой' категорический силлогизм (4 час).
1. Суждение. Структура и виды простых суждений.
2. Распределенность терминов в категорических суждениях
3. Логический квадрат. Непосредственные выводы по логическому квадрату.
4. Непосредственные вывода: обращение, превращение, противопоставление субъекту, противопоставление предикату.
5. Структура категорического силлогизма, Фигуры и модусы силлогизма,
6. Способы проверки корректности (правильности) силлогизма.
7. Энтимема, полисиллогизм, сорит.
8. Перевод категорических суждений в язык логики предикатов.
Литература
1. , Маркин логики. М., 1,2002). Гл.5.
РЕКОМЕНДАЦИИ
Особых трудностей при изучении этой темы нет. Конечно, надо хорошо усвоить набор понятий: больший, меньший, средний термины; фигуры, модусы, общие правила силлогизмов и другие понятия.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте общие правила (правила терминов и посылок). Для чего предназначены эти правила?
2. Охарактеризуйте негативную традиционную силлогистику.
3. Что значит утверждение, что негативная традиционная силлогистика является фрагментом логики предикатов.
4. Что такое энтимема?
5. Проверьте, являются ли силлогистические выводы корректными? Сначала приведите посылки и заключение силлогизма к стандартному виду.
5а) Долг христианина - не одобрять тех, кто совершает преступные действия.
Те, кто сражается на дуэли, совершают преступное действие.
Следовательно, долг христианина - не одобрять тех, кто сражается на дуэли.
5б). Есть безумцы, говорящие истину.
Всякий, кто говорит истину, заслуживают того, чтобы к ним прислушивались.
Следовательно, есть люди, которые заслуживают того, чтобы к ним прислуживались, и которые, тем не менее, безумны.
Тема: Неклассическая логика: трехзначная логика Лукасевича. Матричный способ получения n-значных логик Лукаснвича (6 час).
1. Основные многозначные логики.
2. 3-х значная логика Лукасевича.
Литература.
1.Карпенко Лукасевича и простые числа. М: Наука., 2000. Гл.1-3.
2. Карпенко логики. М.,1997. Гл. 1-2.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРПОВЕРКИ
1. Какие философские обоснования для введения третьего истинностного значения дает Лукасевич?
2. Сравните истинностные таблицы 3-х значной логики Лукасевича и с истинностными таблицами классической логики высказываний. Как доопределяет Лукасевич истинностные значения для 3-х значной импликации, конъюнкции, дизъюнкции и отрицания?
3. Что такое выделенное истинностное значение в многозначной логике?
4. Какие исходные логические связки в 3-х значной логике Лукасевича? Как определяется дизъюнкция и конъюнкция в логике Лукасевича?
5. Как определяется тавтология в 3-х значной логике Лукасевича?
6. Почему любая общезначимая формула логики Лукасевича является тавтологией и в классической логике высказываний, но не наоборот.
7. Приведите пример тавтологии классической логики высказываний, которая не является тавтологией логики Лукасевича.
8. Является ли закон исключенного третьего и закон непротиворечия тавтологией (законом) логики Лукасевича?
9. Является ли логики Лукасевича функционально полной, т. е. можно ли через отрицание и конъюнкцию, отрицание и дизъюнкцию выразить импликацию?
10. Охарактеризуйте 3-х значную логику Лукасевича как аксиоматическую систему (в аксиоматизации Вайсберга).
11. Укажите табличное определение сильных логических связок 3-х значной логики Клини.
12. Совпадают ли истинностные таблицы для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания в логиках Клини и Лукасевича?
13. В чем расхождение таблиц истинности для импликации в логиках Клини и Лукасевича?
14. Можно ли определить импликацию в логике Клини через отрицание и дизъюнкцию?
15. Попытайтесь содержательно обосновать таблицы истинности логики Клини, при условии, что третье (промежуточное значение) истинности содержательно понимается как "неизвестно", "неопределенно".
16. Почему при выделенном значении "1" (истинно) в логике Клини нет ни одной общезначимой формулы?
17. Обратите внимание, что если выделенным значением в логике Клини считать множество (истинно и промежуточное значение), то классы тавтологий логики Клини и классической логики высказываний совпадут.
18. Для каких целей Бочвар создал свою 3-х значную логику?
19. Изучите 3-х значные таблицы истинности для внутренних связок конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания логики Бочвара.
20. Как понимает Бочвар промежуточное значение истинности?
21. Обратите внимание на особенность таблиц истинности логики Бочвара: приписывание хотя бы одному из аргументов промежуточного значения (бессмысленно) достаточно, чтобы вся формула имела в этой строке промежуточное значение.
22. Как получаются внешние логические связки из внутренних?
Формы контроля.
В формах контроля указаны те задания, которые фигурируют в качестве второго вопроса в экзаменационных билетах, и на основании этих вопросов формулируются конкретные задания для контрольных работ. Это, собственно, задачи, которые позволяют контролировать усвоение теоретического материала.
1.Понятие
1.1. В каких логических отношениях находятся понятия по объему и содержанию?
1.2. Назовите правила правильного определения понятий и деления объема понятий.
1.2. Какие возможны ошибки при определении понятий и делении объема понятий?
Форма отчетности – контрольная работа.
2. Логика высказываний.
2.1. Проверить методом полных таблиц является ли данная формула общезначимой, противоречивой, нейтральной?
2.2. Проверить методом сокращенных таблиц является ли данная формула общезначимой, противоречивой, нейтральной?
2.3. Проверить посредством аналитических таблиц является ли данная формула общезначимой?
2.4. Проверить имеется ли между посылками и заключением отношение логического следования?
2.5. Рассуждение проведено в естественном языке, проверить является ли оно корректным?
Форма отчетности – контрольная работа.
2.6. Построить вывод из посылок данной формулы.
2.7. Построить доказательство данной формулы в аксиоматической системе.
Форма отчетности – контрольная работа.
3. Традиционное учение о суждении, Силлогистика.
3.1. Построить из данного суждения непосредственный вывод по логическому квадрату и не по логическому квадрату(т. е. обращение, превращение и т. д).
3.2. Проверить корректность данного силлогизма.
Форма отчетности – контрольная работа.
4. Логика предикатов первого порядка.
4.1. Проверить методом аналитических таблиц является ли данная формула общезначимой?
4.2. Проверить методом моделных множеств является ли данная формула общезначимой?
Форма отчетности – контрольная работа.
4.3. Построить вывод из посылок данной формулы логики предикатов.
4.4. Построить доказательство данной формулы логики предикатов в аксиоматической системе.
Форма отчетности – контрольная работа.
ЛИТЕРАТУРА
1. , Маркин логики. М., 1994
2. Войшвилло как форма мышления. М., 1989 мышления. .
3. Войшвилло логика: классическая и релевантная М.,1987.
4. Горский . М. 1974.
5. Ивлев . М., 2001.
6.Кайберг. Вероятность и индуктивная логика. М., 1978.
7. Карпенко логики. М.,1997.
8. Математическая логика. М., 1973.
9. Н Элементы модальной логики. Киев. 1978.
I0. 0 детерминизме//Логические исследования. Вып 2. М.,1993. С. 190-205.
11. Введение в математическую логику. М., 1984.
12. , , Омельянчик логика. Киев. 1982.
13. Солодухин 0. А. Два подхода к проблеме оснований логических
модальностей//Логика и онтология. М. 1978. С.128-158.
14. Солодухин . Ростов-на-Дону. 2000.
15. Введение в математическую логику. М., 1960.
Экзаменационные вопроси.
1. Предмет логики. Исторические этапы формирования логики.
2. Понятие языка, знака, семиотические аспекты языка. Естественный и искусственный язык. Объектный язык и метаязык.
3. Семантические категории языковых выражений: предложения и термины. Дескриптивные и логические термины.
4. Имена, смысл и значение имен. Карнаповские принципы теории именования. Антиномии теории именования. Экстенсиональный и интенсиональные контексты.
5. Понятие, способы образования понятий. Логическая характеристика понятий. Классификация понятий по объему и содержанию.
6. Логические отношения между понятиями по их объему и содержанию.
7. Логическая операция определения понятий. Структура определения,
основные виды определений. Правила построения определения. Возможные ошибки в определении.
8.Логическая операция деления понятий. Структура деления понятий, виды деления. Правила деления, возможные ошибки при делении понятий.
9. Формализованный язык классической логики высказываний. Определение формулы и подформулы формулы. Логические условия истинности сложных формул. Таблицы истинности. Классификация формул по условиям истинности. Сокращенные таблицы истинности, их назначение.
10.Основные законы классической логики высказываний. Схемы правильных выводов традиционной логики в языке логики высказываний.
11. Аксиоматическое построение исчисления высказываний. (формальная аксиоматическая система).
12. Система натурального вывода.
13. Требование к адекватной формализации класса общезначимых формул и отношение логического следования; корректность, полнота, непротиворечивость. Разрешимость классической логики высказываний.
14.Формализованный язык классической логики предикатов первого порядка. Определение формулы и подформулы, свободные и связанные переменные.
15. Понятие модели.
16. Условия истинностных значений формул логики предикатов в модели при заданном приписывании значений предметным переменным. Понятие выполнимой и общезначимой формулы логики предикатов.
17. Аналитические таблицы для проверки свойства общезначимости формул логики предикатов.
18. Аксиоматическое построение логики предикатов первого порядка.
19.Формальная система натурального вывода логики предикатов первого порядка.
20. Требования к адекватной формализации общезначимых формул и отношения логического следования: корректность непротиворечивость и полнота исчисления предикатов. Проблема разрешимости.
21. Расширения классической логики предикатов. Исчисление предикатов с равенством. Аксиомы равенства.
22. Логические отношения между простыми категорическими суждениями. Непосредственные вывода по логическому квадрату.
23. Непосредственные выводы: обращение, превращение, противопоставление предикату, противопоставление субъекту.
24. Простой категорический силлогизм. Фигуры и модусы. Способы проверки корректности (правильности) простого категорического силлогизма.
25.Понятие энтимемы, полисиллогизма, сорита.
26. Классическая и неклассические логики. Виды модальностей. Язык алетической модальной логики высказываний. Понятие формулы алетической медальной логики. Взаимовыразимость оператора возможности и необходимости.
27. Понятие модели для алетической модальной логики. Определение
истинностного значения формул алетической модальной логики. Понятие выполнимой и общезначимой формулы. Понятие нормальной модальной системы.
28. Аксиоматическая система М и класс моделей, адекватных М-системе.
29. Аксиоматическая модальная система S4 класс моделей, адекватных S4 системе.
30. Аксиоматическая модальная система S5 класс моделей, адекватных S5 системе.
31. Аксиоматическая модальная система Br и класс моделей, адекватных Br-системе.
32. Понятие многозначной логики. 3-х значная логика Лукасевича. Таблицы истинности для 3-хзначной логики Лукасевича. Аксиоматизация 3-х значной логики Лукасевича. Матричный способ получения п-значных логик Лукасевича.
33. Специфика индуктивных рассуждений. Виды индуктивных рассуждений. Обобщающая индукция - полная и неполная. Схемы рассуждений по полной и неполной обобщающей эмпирической индукции.
34. Индуктивные методы установления причинных связей по Бэкону-Миллю.
35. Рассуждения по аналогии, его структура, виды аналогии.
36. Индуктивные рассуждения как рассуждения по подтверждению либо опровержению индуктивных обобщений (гипотез) свидетельствами.
37. Доказательная схема подтверждения и эвристическая схема опровержения.
доказательная и эвристическая схема выбора ме:жду несовместимыми гипотезами.
38. Роль индуктивных рассуждений для анализа методологических проблем
естественнонаучного и гуманитарного знания.
39. Понятия доказательства и опровержения. Прямое и косвенное доказательство и опровержение.
40. Требование к тезису, аргументам, демонстрации. Логические ошибки
в отношении тезиса, аргументов, демонстрации.
41 Паралогизм, софизм, парадокс.
42. Общие представления о прагматике диалога.
Вопросы к государственному итоговому экзамену (комментарии).
1). Логическая структура мышления. Основные требования к логической культуре мышления. Культура мышления в традиционной логике.
С точки зрения логики структура мышления выражается в понятиях, суждениях, умозаключениях (рассуждениях – другими словами). Культура мышления состоит в том, чтобы соблюдать правила корректного использования понятий, суждений и умозаключений, независимо от того, традиционная или современная логика имеется в виду. Что касается правил, то они формулируются к понятиям, суждениям и рассуждениям. Например в теме «Понятие», изучались правила определений, деления понятий.
2). Гипотетико-дедуктивный метод исследования.
В исследовании причинных связей явлений выдвигаются проблематичные предположения для объяснения совокупности фактов. Эти проблематичные предположения становятся научной гипотезой, если они удовлетворяют определенным требованиям (не противоречить обоснованным теориям, отвергать сверхъестественные причины(силы), допускать возможность проверки гипотезы фактами и др.). Гипотетико-дедуктивный метод исследования есть процесс формирования и проверки гипотез. Схемы подтверждения и опровержения гипотез, схема выбора конкурирующих гипотез.
3). Классическая и неклассическая логика, направления исследований в неклассической логике, К классической логике относится те части логики высказываний и предикатов, которые изучались в курсе. Источники появления неклассических логик различны, укажем на некоторые. Отказ от классического принципа двузначности истинностных значений дает многозначную логику. Отказ от некоторых законов классической логики порождает новые логики: отбрасывание закона снятия двойного отрицания дает интуиционистскую логику, отказ от закона Дунса Скотта – паранепротиворечивую логику. Исследование логических операторов типа «необходимость», «разрешено», «знаю» и других дают различные варианты модальной логики.
4). Аргументация: история, теория и практика.
Структура процесса аргументации: тезис, аргументы, демонстрация, Логические требования к тезису, аргументам, демонстрации. При оценке теории аргументации с точки зрения практической надо иметь в виду лояльные и нелояльные приемы аргументации.
ТЕМЫ КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
1. Вероятностная интерпретация юмовской причинности.
2. Логические аспекеты теории аргументации.
3. Аристотелевская "Риторика".
4. Логические модели диалога.
5. Фреге о значении и смысле.
6. Фреге о числе.
7. Абстракция индивидуации.
8. Абстракция отождествления.
9. Абстракция неразличимости.
10. Принцип тождества.
11. Логика вопросов и ответов.
12. 12 Виды индуктивных рассуждений.
13. Абдукция.
14. Гипотетико-дедуктивный метод
15. Модальная логика Лукасевича.
Глоссарий.
Понятие. Логика высказываний.
Содержание понятия это выраженное в словосочетании та совокупность признаков, по которой однозначно отличают выделенное множество предметов (класс предметов) от других.
Объем понятия - множество предметов, каждый из которых обладает признаками, выраженными в содержании понятий.
Равнообъемность понятий. Два понятия А и В находятся в логическом отношении равнообъемности (равнозначности - другое название), если их объемы полностью совпадают, а содержание различно.
Пересечение понятий. Два понятия А и В находятся в логическом отношении пересечения (перекрещивания), если их объемы частично совпадают.
Подчинение понятий. Если объем понятия А полностью включен в объем понятия В, но не все элементы объема понятия В принадлежат объему понятия А, то понятие А находится в логическом отношении подчинения к понятию В.
Соподчинение понятий. Понятия А и В находятся в отношении логического соподчинения, если их объемы не имеют общих элементов (пустое пересечение) и оба понятия, т. е. А и В подчинены третьему понятию С - родовому относительно А и В.
Противоположные понятия. Понятия А и В находятся в отношении противоположности (контрарности), если объемы этих понятий составляют два крайних вида одного и того же рода, причем сами признаки видовых понятий упорядочены по степеням изменения некоторого признака.
Определение - логическая операция, раскрывающая содержание понятий, указывающая объем понятий или уточняющая значение имен (терминов).
Определением через род и видовое отличие называют определение, в котором определяемые предметы выделяются через родовые признаки и видовое отличие.
Генетические определения - определения, в которых множество определяемых предметов задается описанием способов их возникновения (происхождения) или способов их построения.
Операциональное определение понятий - определение, в котором содержание понятий раскрывается через описание тех операций, посредством которых определяемые предметы могут быть обнаружены или измерены.
Индуктивное определение - это определение, описывающее исходные объекты и правила, по которым из данных исходных объектов порождается (задается) множество других объектов.
Синтаксическое определение - определение, используемое, как правило, для взаимозаменяемости определяемого (Dfd) и определяющего (Dfh).
Реальные определения - определения, раскрывающие содержание понятий или указывающие на его объем, называются реальными.
Номинальные определения - определение, уточняющее значение используемых в тех или иных целях терминов.
Делением называется операция разбиения объема родового понятия на объемы видовых понятий.
Логика высказывания - раздел логики, в котором изучаются различные связи между высказываниями.
Логически истинное(общезначимое). Высказывание называется логически истинным, если оно истинно в каждой логически возможной ситуации (другими словами, результирующий столбец состоит из одних единиц).
Рассуждением называют логическую операцию, в результате которой из множества одних высказываний, называемых посылками, по логическим правилам получаем новое высказывание, называемое заключением.
Логическое следование. Из посылок А1, ..., Ак логически следует заключение В, если и только если те строки, в которых истинная каждая посылка, истинно и заключение.
Выводом называется конечная последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо формулой, полученной из предшествующих формул этой последовательности по одному из правил, сформулированному в натуральном исчислении.
Производные правила - это правила, выводимые из основных. Это значит: если мы возьмем посылку (посылки) производного правила, то, пользуясь только основными правилами, получим в качестве выводимой формулы соответствующую формулу заключения производного правила.
Силлогистика.
Силлогизм – вывод, в котором из двух категорических суждений (посылок), связанных общим термином, получается третье категорическое суждение (заключение).
Средний термин – термин, содержащийся в обеих посылках.
Меньший термин – термин, который является субъектом заключения.
Больший термин – термин, который является предикатом заключения.
Фигура – это множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина.
Модусы – разновидности фигур, в которых на место посылок и заключения ставится любое из четырех категорических суждений.
Энтимема – сокращенный силлогизм, т. е.силлогизм, у которого опущена либо одна из посылок, либо заключение.
Логика предикатов первого порядка.
Область интерпретации (универсум) – непустое, вообще-то бесконечное множество объектов, на которых заданы свойства и отношения.
Функция интерпретации – функция, которая индивидной константе ставит в соответствие объект области интерпретации, предикату – одноместные или м-местные отношения между объектами.
Модель языка – область интерпретации и функция интерпретации.
Доказательство – последовательность формул, каждая из которых является либо аксиомой логики предикатов, либо формулой полученной из предыдущих по одному из правил вывода логики предикатов.
Доказуемая формула – последняя формула в доказательстве.
Неклассическая логика
Многозначная логика – логика, в которой высказываниям приписывается больше двух истинностных значений.
Модальная логика – логика, в которой исследуется логическое поведение операторов(дедуктивное и семантическое) типа: «необходимо, что…», «возможно, что…», «всегда было, что…», «всегда будет, что…», «было, что…», «будет, что…», «обязательно, что…», «разрешено, что…», «знаю, что…», «доказуемо, что…» и др..
