Лекция: Степень с натуральным показателем
Пусть 
Вычисление степени числа с натуральным показателем будем производить следующим образом:
|
Утв.1 Свойства степени с натуральным показателем.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.
Приведем доказательство некоторых свойств с помощью метода математической индукции:
1)
Пусть
Тогда 
2) 
Пусть 
Тогда 
3) 
Пусть 
Тогда 
6) 
Пусть 
Тогда 
Определим вычисление степени с целым показателем:
|
Утв.2 Свойства степени с целым показателем.
Если 
целые числа, то:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Приведем доказательство некоторых свойств:
Докажем 1).
а) 
б) 
в) 
Докажем 2)
а) 
б) 
в) 
г) 
Докажем 8)
а) 
б) 
Теорема (О существовании арифметического корня)
Для всякого действительного числа 
и натурального числа 
существует и единственное число 
такое, что 
(Число 
называется арифметическим корнем 
ой степени из числа 
)
Доказательство.
Существование. Если 
то 
Пусть 
Рассмотрим множество 
. Легко заметить, что 
и множество 
ограничено числом 
Действительно, из неравенства Бернулли следует, что 
Пусть 
наибольший элемент множества 
Тогда 
Рассмотрим числа 
Так как число 
находится между первым и последним числом, то существует цифра 
такая, что 
Рассмотрим числа 
Так как число находится между первым и последнимм, то существует цифра 
такая, что 
И т. д.
В результате, получится монотонная возрастающая последовательность 
удовлетворяющая условию
и сходящаяся к числу 
Так как 
то
Отсюда следует, что 
и, следовательно, 
Единственность арифметического корня. Если 
и 
и 
то 
Противоречие.
Свойства арифметического корня 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Степень с рациональным показателем
Определение Пусть 
Тогда 
Утв.1 Свойства степени с рациональным показателем
Если 
рациональные числа, то:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.
Доказательство. Докажем 1) Пусть 
Тогда 
Отсюда получаем, что 
Докажем 2) Пусть 
Тогда 
Следовательно, 
Докажем 3) Пусть 
Тогда 
Следовательно, 
Докажем 8) Пусть 
Тогда 
Т. е. 
Степень с действительным показателем
Определение Пусть Тогда 
при 
Учитывая арифметические свойства предела легко доказать, что свойства 1)-8) справедливы для степеней с действительными показателями.
Утв.1 Свойства степеней с действительными показателем
Если 
действительные числа, то:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.
Если прямая 
пересекает график функции 
то точка пересечения единственная.
Вопрос: Всякая ли прямая пересекает график этой функции?
Теорема (О существовании логарифма)
Для любых действительных чисел 
существует и единственное число 
такое, что 
(Число называется логарифмом числа по основанию )
Доказательство. Единственность вытекает из свойств 7)-8) степени с действительными степенями.
Докажем существование. Пусть 
Существует целое число 
такое, что 
Рассмотрим числа 
Так как число 
находится между первым и последним числами, то существует цифра 
такая, что 
Рассмотрим числа 
Так как число находится между первым и последним числами, то существует цифра 
такая, что 
И т. д.
В результате, получится монотонная возрастающая последовательность 
удовлетворяющая условию
и органиченная числом 
Пусть 
Докажем, что 
Действительно, требуемое равенство получается из соотношения 
и леммы "О двух милиционерах"
Замечание: Последнее неравенство вытекает из неравенства Бернулли:
при 
Теорема доказана.
Утв.1 Свойства логарифмов
Если 
действительные числа, то:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Доказательство. Докажем некоторые из свойств.
1) 
3) 
4) 
5) 
