Задачи на целочисленные значения

Задачи на целочисленные значения.

, ОМЦ

В школьном курсе математики решение текстовых задач считается одним из самых сложных для восприятия и усвоения учащимися разделов. С моей точки зрения это связано с неразработанностью аналитического аппарата, который бы позволял рассматривать любую текстовую задачу как систему, в независимости от того, является она задачей на движение, на работу, на смеси или сплавы, на проценты и т. д.

Для того, чтобы рассматривать задачу как систему, нам необходимо определить:

-  элементы задачи;

-  характер взаимосвязей между элементами.

Задачи на составление уравнений и неравенств (или задачи на целые числа) занимают важное место в школьном курсе математики, но являются наиболее трудными для решения не только учащимися, но и педагогов. Решение таких задач способствует развитию логического мышления, сообразительности, наблюдательности, развивает умение самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Задачи, связанные с целочисленными значениями, бывают следующих типов:

·  задачи, сводящиеся к решению одного или нескольких неравенств;

·  задачи, для решения которых используются соображения делимости и разложения на простые множители.

Эти задачи необходимо начинать решать уже в восьмом классе. Предлагаемые примеры задач собраны из разных источников и предназначены для школьников и педагогов, любящих решать задачи вообще, и для использования на уроках и факультативных занятиях.

Задачи с решениями.

I.  Задачи, сводящиеся к решению одного или нескольких неравенств.

Задача 1.

Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить в 2 раза, то общее число домов станет более 24, а если увеличить в 2 раза число пятиэтажных домов, то общее число домов станет меньше 27. Сколько пятиэтажных и девятиэтажных домов в квартале?

Решение.

Пусть x- число девятиэтажных домов

y- число пятиэтажных домов, где . Тогда по условию задачи имеем следующую систему неравенств

Подставим вместо y его значения в первоначальную систему и с учетом, что , получим x=8.

Ответ: 8- девятиэтажных домов, 9- пятиэтажных.

Задача 2.

Двум бригадам, общей численностью 18 человек, было поручено организовать в течение трех суток непрерывное круглосуточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежурили члены первой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй бригаде три девушки, а остальные юноши, причем девушки дежурили по одному часу, а все юноши распределили между собой остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой бригады меньше девяти часов. Сколько человек в каждой бригаде?

Решение.

Пусть x человек - в первой бригаде, y человек во второй ( y-3 –юношей и 3 девушки).

Тогда 48/x часов-время дежурства одного человека в 1-ой бригаде, а 21/(y-3) часов - время дежурства одного юноши во 2-ой бригаде. По условию задачи имеем сдедующую систему:

Решим отдельно неравенство системы с учетом, того что, имеем

Соответственно, y=9

Ответ: по 9 человек в каждой бригаде.

Задача 3.

Жидкость налита в бутыли вместимостью по 40 литров, при этом одна из бутылей оказалась, не совсем полной. Если эту жидкость перелить в бутыли вместимостью по 50 л, то такие бутыли будут заполнены полностью, но при этом понадобится на 5 бутылей меньше. Если эту жидкость разлить по бутылям вместимостью по 70 л, то понадобится еще меньше на 4 бутылки, но опять одна бутыль будет не совсем полной. Сколько литров жидкости было?

Решение.

Пусть m количество бутылей, вместимостью 50 л, тогда всего жидкости -50m л.

Пусть n количество бутылей, вместимостью 40 л, заполненных полностью и 1 бутыль не совсем полная, т. е. 40n< 50m<40(n+1) и m+5=n+1.

Пусть k количество бутылей, вместимостью 70 л, заполненных полностью и 1 бутыль не совсем полная, т. е. 70k< 50m<70(k+1) и k+1==n-4.

Имеем:

Тогда 50*17=850 л всего было жидкости.

Ответ: 850 л жидкости было.

Задача 4.

Для перевозки животных по железной дороге было выделено несколько вагонов. В пункте А в каждый вагон поместили по 12 животных. В пункте В часть животных была сдана. Оставшиеся животные были размещены поровну по вагонам, которых стало на 2 меньше. При этом оказалось, что число животных в каждом вагоне стало простым и число вагонов стало на 14 меньше числа животных в каждом из них. Сколько животных было отправлено из пункта А?

Решение.

Пусть n –количество вагонов, тогда 12n-всего животных было в пункте А.

m-количество животных, которых высадили в пункте В, тогда 12n-m- количество оставшихся животных на n-2 вагона (количество животных в вагоне (простое число)).

По условию задачи имеем:

, т. е.

,. Следовательно, m=1, m=9, m=21 и m=25.

	m	n	простое число
	9	5	17 +
	16	4	16 -
	21	3	27 -
	25	1	(n-2)<0 -

Таким образом n=5, 12*5=60.

Ответ: 60 животных было отправлено из пункта А.

Задача 5.

Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день 31 телевизор. Каждый следующий рабочий день дневная продажа возрастала на некоторое количество телевизоров ежедневно, и месячный план продажи 445 телевизоров, был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно продавалось 89 телевизоров. Определите, на сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце было 26 рабочих дней.

Решение.

Пусть n –количество телевизоров, на которое ежедневно увеличивалась дневная продажа,

к - количество дней, за которое был выполнен ежемесечный план продажи 445 телевизоров ( k<26). Тогда по условию задачи имеем:

Рассмотрим различные ситуации (согласно, основной теореме арифметики: Любое натуральное число единственным образом разлагается на произведение простых чисел.) для множителей k и (62+n(k-1))

k	62+n(k-1)	n
1	62	-
2	445	383 +
5	178	29 +
10	89	3 +

Для каждого случая высчитаем перевыполнение плана по формуле

k=2:

k=5:

k=10:

Ответ: На 480%, 420%, 320% был перевыполнен месячный план продажи телевизоров.

Задача 6.

Химический завод имеет цеха трех типов. В каждом цехе первого, вторго и третьего типов работают соответственно 350, 80 и 30 рабочих, а так же 91, 19 и 8 технологов. Всего в цехах завода работают 980 рабочих и 252 технолога. Найдите число цехов каждого типа, если известно, что общее количество цехов не превосходит 15.

Решение.

Пусть x - количество цехов I типа,

y - количество цехов II типа,

z-количество цехов IIIтипа.

Цеха	Рабочие	Технологи
I тип	350x	91x
II тип	80y	19y
III тип	30z	8z
Итого	980	252

Имеем систему уравнений:

И т. к. , то , т. е. у=2, тогда x=2, z=4.

Ответ: На заводе 2 цеха I типа, 2 цеха II типа, 4 цеха III типа.

Задача 8.

Техническая реконструкция завода была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства на первом этапе составило 4%, на втором - %, на третьем - %, на четвертом - %. По окончанию реконструкции объем первоначального производства уменьшился на 64 %. Определите период реконструкции.

Решение.

Пусть V - первоначальный объем производства, тогда

- объем производства после I этапа реконструкции, который длился x месяцев

-объем производства после II этапа, который длился y месяцев

-объем производства после III этапа, который длился z месяцев

-объем производства после IV этапа, который длился k месяцев и по условию задачи стал равным

Имеем уравнение:

по теореме имеем:

Тогда реконструкция завода длилась 8 месяцев.

Ответ:8 месяцев.