ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Пояснительная записка

к КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ на тему

« Задача о брахистохроне как частный случай уравнения Эйлера»

по дисциплине

СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОБРАЗОВАНИИ

СТУДЕНТКИ ГИП-104

	*Подпись,* *дата*	*Расшифровка подписи*
ВЫПОЛНИЛ:
студентка		/ /
Модуль сдан в библиотеку кафедры ПМ и ВТ
Модуль размещен на портале ФИСТ
ПРОВЕРИЛ:
ОЦЕНКА		/ /

Самара 2007 г.

Введение

Информационное общество кардинальным образом изменяет образовательную систему. Обучение все более приобретает дистанционный характер и распространяется в различных формах на всю жизнь человека. Даже в рамках традиционного очного обучения его технология существенно изменяется. Все большее значение начинает приобретать так называемое смешанное обучение, гибко сочетающее преимущества очной и дистанционной формы. Как указывают разработчики одной из наиболее развитых отечественных систем дистанционного обучения «Прометей» (Московский университет экономики, статистики и информатики), суть смешанной формы заключается в том, что образовательные Интернет-технологии используются в качестве поддержки традиционного очного образования. Студенты получают доступ к системе дистанционного обучения (СДО) университета, в которой находится весь учебный материал, встроена система тестирования, есть доступ к различным онлайн библиотекам и источникам. В смешанной форме обучения часть занятий может проводиться онлайн, некоторые контрольные мероприятия могут проводиться онлайн, а также могут использоваться возможности СДО для групповых коммуникаций при выполнении различных заданий, исследований и групповых проектов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Их использование позволяет:

· оживляет материал и позволяет студенту «общаться» с ним;

· даёт больше интерактивности и стимулирует активное обучение;

· наглядно демонстрирует некоторые идеи, которые трудно объяснить на лекциях или просто в тексте;

· позволяет заглянуть внутрь изучаемых процессов посредством различных симуляций;

· развивает навыки самостоятельного обучения и самоконтроля ;

· позволяет студентам попробовать невозможные, опасные или дорогие сценарии и ситуации, такие как параллельные миры, радиационное оборудование и прочее.

Специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это вызвано тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Данная работа должна включать следующие разделы:

текст изучаемого раздела для включения в методическое пособие для студентов;

Этот компонент должен содержать изложение учебного материала в виде печатного текста как в обычном типографском учебнике, допускающем цветные иллюстрации. Ясно, что легко было бы включить в него гипертекст, анимации, проверку усвоения материала, однако опыт показал, что все эти средства, как ни странно, на практике не приводят к повышению эффективности обучения на этапе первоначального изучения материала.

1) конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя;

Лектор не должен ограничиться лишь сообщением потоку учебного материала. Его задача – добиться, чтобы как можно большее число студентов, по крайней мере, наиболее сильные из них, почти полностью освоили материал. Следовательно, нужно включить в свою лекцию весь арсенал разработанных электронных обучающих ресурсов.

2) презентацию для лекции;

Все студенты хорошо умеют создавать презентации, однако не все созданные ими презентации являются хорошими, т. е. в наибольшей степень способствуют достижению цели, для которой создаются. Разрабатывая презентацию для лекции, целесообразно придерживаться следующих рекомендаций.

3) сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения для использования на лекции, или в лабораторной работе, или при самостоятельном изучении материала студентом и имитационный или мультимедиа-компонент учебного назначения с применением математического моделирования, графики, мультимедиа и т. п.;

Важнейшим и наиболее трудоемким компонентом электронного обучающего модуля является компьютерная программа, которая использует возможности программирования для повышения уровня усвоения обучаемым наиболее сложных элементов учебного материала. Для нее нужно выбрать наиболее сложную для понимания часть учебного материала и предусмотреть возможность многократного использования программы: на лекции, при самостоятельной работе студента, хорошо бы еще и в лабораторной работе.

4) тест для контроля усвоения учебного материала;

В курсовом проекте от студента не требуется программной реализации теста, необходимо лишь разработать тестовый материал, т. е. вопросы теста с правильными ответами.

1 Текст изучаемого раздела

1.1 Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал

причем граничные точки допустимых кривых закреплены y(xo)=yo и y(x1)=y1.

Уравнение Эйлера для поиска этого минимума будет выглядеть так:

которое можно записать также в виде

где

1.2 Классическая задача о брахистохроне

Пусть даны две точки, расположенные на разной высоте и не лежащие на одной вертикальной прямой. Проведем через данные точки вертикальную плоскость и рассмотрим кривые, соединяющие эти точки и расположенные в данной плоскости. Из этих кривых выберем такие, что материальная точка единичной массы, выходящая из верхней точки P со скоростью v0 = 0, двигаясь только под действием силы тяжести, достигнет нижней точки Q. Задача о брахистохроне формулируется следующим образом:

Существует ли среди этих кривых такая, которую точка пробегает за минимальное время? Если такая кривая существует, то как ее найти?

Формализуем данную задачу. Выберем в вертикальной плоскости, определенной двумя данными точками, прямоугольную систему координат так, чтобы точка P совпала с началом координат, а ось Oy направим вертикально вниз. Пусть точка Q имеет координаты (x1, y1) (рис.1).

Рис.1

Пусть и - две фиксированные точки. Время, в течение которого материальная точка скатывается под действием силы тяжести вдоль некоторого пути, соединяющего точки и , зависит от выбора этого пути, т. е. представляет собой функционал. Кривая, вдоль которой точка скатывается быстрее всего, носит название брахистохроны. Задача о брахистохроне была поставлена И. Бернулли в 1696 г. и сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления. Ее решение было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, Ньютоном и Лопиталем.

Введем на вертикальной плоскости, проходящей через точки и систему координат так как показано на рисунке. Пусть - кривая по которой происходит движение точки. Время движения материальной точки из в можно вычислить по формуле . Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид (первый интеграл взят). Выполнив преобразования и переобозначив произвольную постоянную получим уравнение . Уравнение решается в параметрическом виде. Пусть , тогда . Отсюда , отсюда , следовательно . Интегрируя, получаем .

Еще раз переобозначим и с учетом начальных условий () получим . Постоянная однозначно определяется из начальных условий.

Брахистохрона представляет собой циклоиду, лежащую в вертикальной плоскости, проходящей через и .

Если не зависит от или зависит от нее линейно, то уравнение Эйлера принимает вид , т. е. представляет собой не дифференциальное, а конечное уравнение, определяющее одну или несколько кривых. В решении нет произвольных постоянных и оно может не удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия выполняются, то получена экстремаль, если нет, то нет и решений у данной вариационной задачи.

В случае, если подынтегральную функцию можно представить в виде , причем . В этом случае уравнение Эйлера обращается в тождество 0=0, и экстремалью будет любая кривая, удовлетворяющая граничным условиям. В этом случае функционал не зависит от линии интегрирования, и вариационная задача теряет смысл.

2 Конспект лекции для автора курсового проекта как для

Преподавателя

2.1. Задача о брахистохроне, находящемся в центральном поле тяготения

Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения является модификацией классической задачи о брахистохроне ( $$\beta$ - кратчайший, $\chi \rho \acute o \nu o \zeta$ - время ), предложенной в 1696г. Иоганном Бернулли и сыгравшей большую роль в развитии вариационного исчисления.

Рис.1

Для простоты предположим, что рассматриваются только такие кривые, которые являются графиками функций y, где y принадлежит (R1 $\rightarrow$ R1)∩C1[0, x1]. Итак, выберем такую функцию y, которая удовлетворяет граничному условию

y(0) = 0, y(x1) = y1.

В этом случае время T = T[y( . )], необходимое материальной точке для движения вдоль кривой, которая является графиком функции y = y(x) (x $\in$ [0, x1]), выражается следующей формулой:

T[y( . )] = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt {2g}}}$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{x_1}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{1+y'^2(x)}{y(x)}}$ dx

(1)

(g - ускорение свободного падения). Сформулированная проблема приводит к исследованию на экстремум функционала T[y( . )] .

$0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}.$

2.2 Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал

причем граничные точки допустимых кривых закреплены y(xo)=yo и y(x1)=y1.

Уравнение Эйлера для поиска этого минимума будет выглядеть так:

которое можно записать также в виде

где

3 Презентация для лекции

Для наилучшего усвоения была составлена презентация материала

4 Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного

назначения.

Для решения поставленной задачи, - представления обучающего модуля студентам и максимального восприятия рассказанной тематики, нужно разработать программный продукт, позволяющий наиболее лучшим образом усвоить предоставленный материал.

Рассматривая все возможные варианты решения поставленной задачи, мною было установлено, что наилучшее усвоение материала, его закрепления можно достичь, используя

Программу, которая наглядно демонстрирует вычисление функционала в задаче о брахистохроне.

Выберем случай, когда один конец брахистохроны закреплен, а второй обучаемый указывает сам в динамическом режиме. Программа в зависимости от выбранных точек будет вычислять полученную кривую.

Выполнение работы велось по этапам.

Шаг1: Разработка сценария

Шаг2: Постановка задачи

Шаг3: Выбор среды написания

Шаг4: Формализация задачи

Шаг5: Написание программы

Шаг6: Отладка

Шаг7: Сдача

5 Тест для контроля усвоения учебного материала

1. Суть классической задачи о брахистохроне сводится к:

a) Определение кривой между двумя точками на плоскости, которую точка «пробежит» за минимальное время

b) Определение кривой между двумя точками в n-мерном пространстве, которую точка «пробежит» за минимальное время

c) Определение всех кривых второго порядка между 3мя точками в трехмерном пространстве.

2. Возможно ли задание ограничений наложенных на свойства кривых соединяющих точки в задаче о брахистохроне?

a) Ограничения могут существовать, а может их не быть

b) Невозможно

c) Может существовать только одно ограничение

3. Что такое функционал?

a) Функция определенная на множестве функций согласно некоторому условию. Обычно выражается в вещественных числах.

b) Число являющееся минимумом/максимумом заданной функции

c) Совокупность функций, заданных согласно определенным условиям

4. Как выглядит уравнение Эйлера первого порядка

5. Зависит ли внешний вид уравнения Эйлера от количества функций/порядка производных от которых он берется?

a) Да, зависит

b) Меняется или нет, зависит от граничных условий

c) Не меняется

6. В каком году, и при решении какой задачи было получено уравнение Эйлера-Лагранжа?

a) В 1970-х, при решении задачи об изохроне

b) В 1980-х, при решении задачи об изохроне

c) В 1970-х, при решении задачи о функционалах

7. Основная лемма вариационного исчисления звучит как:

a) если для каждой непрерывной функции h(x), где функция Ф(x) непрерывна на отрезке [xo, x1], то Ф(x)є0 на том же отрезке

b) если для каждой непрерывной функции h(x), где функция Ф(x) непрерывна на отрезке [xo, x1], то Ф(x)є0 на протяжении всей функции за исключением этого отрезка

c) если для каждой непрерывной функции h(x), где функция Ф(x) дискретна на отрезке [xo, x1], то Ф(x)є0 на протяжении всей функции за исключением этого отрезка

8. Что является основной задачей оптимизации?

a) Нахождение минимума или максимума действительной функции в некоторой области.

b) Нахождение экстремального значения некоторой заданной функции

c) Поиск оптимального значения параметров заданной функции на заданном промежутке при заданных условиях

9. Какой характер должны иметь функции, удовлетворяющие заданным условиям и доставляющие минимум функционалу?

a) Непрерывные функции и непрерывные их производные

b) Непрерывные функции

c) Не имеет значения

10. Возможно ли существование нескольких решений функционала?

a) Да, в отдельных случаях

b) Нет, всегда существует только одна линия

c) Да, если функция зависит от своей производной

11. Когда и кем была поставлена задача о брахистохроне?

a) И. Бернулли 1696г.

d) Я. Бернулли 1696г.

e) Лопиталем 1670г.

6 Заключение

Разработка электронного обучающего модуля является очень трудоемкой, но в то же время очень важной и востребованной деятельностью.

В наше время обучение все более приобретает дистанционный характер. А для того чтобы дистанционной обучение могло функционировать в полной мере, необходимо огромное количество обработанных с помощью специалистов в области информационных систем и технологий материалов.

Поэтому специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это также вызвано и тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

7 Оформление отчета

Отчет по данному курсовому проекту был создан в двух вариантах: единым документом и совокупностью разделов по заданной теме.

Была сделана презентация, содержащая всю информацию о задаче о брахистохроне с примером и уравнении Эйлера с его выводом и краткой исторической справкой.

Мною была сделано

1. Презентация по теме

2. Разработан тест по усвоенному материалу

3. Составлен конспект лекций для студента

4. Составлен конспект лекций для преподавателя

5. Разработана программа тестирования студентов.

Библиографический список

1. www. ***** «Собрание математических статей» 20.11.2007г.

2. www. ***** «Портал ФИСТ» 11.11-26.12.2007г.

3. «Методические оптимизации и оптимального уровня» , учебное пособие, Самара 2007

« Задача о брахистохроне как частный случай уравнения Эйлера»

Оглавление