Подготовка учащихся к итоговой аттестации на примере функциональной линии

Подготовка учащихся к итоговой аттестации на примере функциональной линии

«Знание только тогда знание, когда

оно приобретено усилиями своей

мысли, а не памятью.»

Из опыта работы учителя математики

Платоновой Надежды Анатольевны

МОУ СОШ №5 с углубленным изучением отдельных предметов

г. Климовск

В условиях перехода от разных форм итоговой аттестации в общеобразовательных учреждениях к единому государственному экзамену каждый учитель пытается выработать свою систему подготовки учащихся к ЕГЭ, учитывая педагогический опыт, уровень обученности и обучаемости класса, требования к математической подготовке учащихся, как на базовом, так и на профильном уровне, позволяющем продолжить образование в ВУЗах.

Уроки алгебры и геометрии в старших классах я начинаю с вводного повторения (6-8 часов).

На примере алгебры исхожу из основных содержательных линий:

1. Расширение понятия числа.

2. Функции, их свойства и графики.

3. Тождества. Тождественные преобразования выражений.

4. Уравнения. Неравенства. Системы.

5. Производная и её применение.

6. Первообразная. Интеграл. Применение интеграла.

Последние две содержательные линии появляются с изучением начал анализа.

Подготовка к экзамену должна происходить как бы по спирали. Пройдя очередной виток такой спирали, учащийся переходит на следующий уровень и оказывается подготовленным на порядок лучше, чем раньше.

На примере функциональной линии можно проследить систему работы по подготовке к экзамену.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Особое внимание этой теме обусловлено необходимостью формирования у учащихся системно-целостного представления об основных понятиях и фактах, связанных с функциональной зависимостью как одним из ключевых понятий в математике. Функции и их графики – средство решения многих исследовательских задач, встречающихся в ЕГЭ. В анализах работ учащихся отмечается недостаточная сформированность у них предметных компетенций по этому вопросу.

На уроках вводного повторения учащиеся восстанавливают знания таких понятий как функция, область определения и область значений функции, способы задания функций, графики функций; повторяют свойства основных изученных ранее функций, примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Процесс повторения можно организовать в форме лекции с элементами беседы, при этом использовать таблицы «Графики функций», «Чётные и нечётные функции», «Монотонность функций», «Взаимно-обратные функции», «Преобразование графиков функций».

Начиная уже с 9 класса делаю акцент не на изолированных упражнениях, отрабатывающих какие-либо свойство или правило, а на совокупность упражнений, обеспечивающих системность и целостность, устойчивость к сохранению во времени и быстрое проявление в памяти.

Очень часто при замене переменных самые сложные выражения, содержащие тригонометрические функции, логарифмы, иррациональности, сводятся к исследованию квадратного трёхчлена. Полезны упражнения, развивающие наблюдательность, а также закрепляющие знания свойств квадратного трёхчлена, необходимых в плане пропедевтики решения задач с параметрами:

1. Квадратное уравнение не имеет корней, причём

. Определить знак с.

Возможные рассуждения:

из условия следует, что парабола не пересекает ось абсцисс т. е. при или при ; т. е. существует точка графика с отрицательной ординатой.

Значит при . Так как , значит, с<0.

2. В уравнении известно, что a>0., a+c<b. Имеет ли

корни данное уравнение?

Возможные рассуждения:

. Так как а>0, значит ветви параболы направлены вверх и данное уравнение корни имеет.

2. Определите знак коэффициента с, если квадратный трёхчлен

не имеет корней и известно, что .

Возможные рассуждения:

Из условия следует, что , ,

, .

Так как квадратный трёхчлен не имеет корней и , значит

при .

На этапе вводного повторения учащиеся должны выполнить тест «Простейшие функции» из книги , «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» Москва, издательство МФТИ 2003 год.

Тесты индивидуализируют учебный процесс и реализуют одну из главнейших функций обучения – диагностирующую, которая позволяет обеспечить качественную обратную связь и своевременную коррекцию учебного процесса. Тесты имеют многофункциональное назначение (5 уровней сложности). Они могут применяться для оценки:

1. уровня знаний в начале повторения (тесты I уровня),

2. степени усвоения знаний в процессе обучения (тесты II и III уровней)

3. трудностей обучения и их причин (диагностирующая функция тестов всех уровней),

4. умений и навыков в конце обучения и выявления наиболее способных учащихся.

Тесты четвёртого и пятого уровней можно использовать как итоговые или обобщающие для оценки более высокого уровня знаний, чем стандарт.

После обработки тестов учащиеся получают указания о пробелах в знаниях. Учитель устанавливает недостатки в организации учебного процесса и корректирует свою работу. Итак, совершён один виток повторения, а значит, и подготовки к будущему экзамену по теме «Функции, их свойства и графики».

После вводного повторения по алгебре и началам анализа в 10 классе тема «Функции и их графики» будет изучаться только через 30 учебных часов, правда на более высоком уровне (новый виток): к ранее изученным функциям добавляются тригонометрические. Учащиеся знакомятся с такими новыми свойствами, как периодичность, точки экстремума и экстремумы функции. Вводятся понятия асимптот графика. Но к этому моменту за предшествующие 30 часов учитель не должен забывать о коррекции знаний и умений учащихся на основе вводного повторения. Для этого с помощью устных упражнений, повторного тестирования отдельных учеников, индивидуальных занятий необходимо оказать «скорую помощь» в ликвидации пробелов.

Ниже приведены примеры устных упражнений по теме «Функции, их свойства и графики».

Тестовые упражнения по теме

«Функции, их свойства и графики».

1. Функция f(x) периодична с периодом 2, при .

Найти формулу для f(x) при

А. Б. В. Г. Нельзя найти

2. Пусть f(x) и g(x) определены на всей числовой оси, причём f(x)

убывает, а g(x) возрастает. Что можно сказать о разности

f(x)-g(x)?

А. возрастает на R Б. убывает на R

В. Всегда существует такое x, что f(x)-g(x)=0

Г. Ничего из перечисленного

3. Какие из следующих соотношений выполнены для любого

действительного числа х?

а) б) в) г)

А. ни одно Б. в и г В. б и в Г. б и г

4. Найти сумму коэффициентов многочлена, полученного после

раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении

А. 2008 Б. 0 В. 1 Г. -1

5. При каких х определено выражение ?

А. Б. В. Г.

6. Найти наибольшее значение функции .

А. 1 Б. 2 В. Г.

7. Найти сумму решений уравнения на .

А. 0 Б. В. Г.

8. Решите уравнение .

А. Б. В. Г.

9. Функция f(x) нечётная. Известно, что .

Найти f(-2)

А. 0 Б. 16 В. -16 Г. нельзя найти

10. Сумма коэффициентов многочлена Р(х) равна а, сумма коэффициентов многочлена Q(x) равна b. Чему равна сумма коэффициентов произведения Р(х).Q(x)?

А. всегда равна ab Б. всегда равна В. Всегда равна

Г. зависит от конкретного вида многочленов

11. Чему равен наименьший положительный период функции , если ?

А. Б. 0 В. Г.

12. Что можно сказать (не решая) о произведении всех отрицательных целочисленных решений неравенства ?

А. меньше 0 Б. больше 0 В. Равно 0 Г. бесконечно

13. В какой полуплоскости расположен график функции ?

А. в нижней Б. в верхней В. в правой Г. в левой

14. Пусть на всей области определения функции f(x) её производная положительна. Что можно сказать о функции f(x)?

А. возрастает на всей области определения

Б. убывает на всей области определения

В. положительна на всей области определения

Г. ничего из перечисленного

15. Выберите верное утверждение относительно функции

А. ограничена Б. определена при всех х В. периодична Г. чётна

16. Найти значение f(2), если для функции f(x) выполняется равенство

при всех

А. Б. В. Г. нельзя найти

17. График функции y=tg2x подвергается следующим преобразованиям: перенос вдоль оси Ох влево на 1 и сжатие вдоль оси Оy в 2 раза. График какой функции получится?

А. 0.5tg2(x+1) Б. 0.5tg(2x+1) В. 2tg2(x-1) Г. 0.5tg(2x-1)

18. Найти производную функции

А. Б. В. Г. 0

19. Сколько решений имеет уравнение

А. ни одного Б. одно В. два Г. бесконечно много

_____________________________________________________________

20. Пусть f(x) периодичная функция с периодом 1. Известно, что

при . Найти .

А. Б. В. Г. нельзя найти

21. Пусть . Найти формулу для и указать область

Определения этой функции.

А. Б.

В. Г.

22. Среди прямых найдите перпендикулярные:

а) 2x-3y=3 б) 4x+6y=5 в) 1.5x+y= г) 2x+3y=6

А. а и б Б. а и в В. а и г Г. б и г

23. Все значения а, при которых графики функций

и пересекаются

нечётное количество раз равны

А. 0 Б. 2 В. 4;-4 Г. 4

24. Расстояние между точками пересечения параболы и

прямой составляет если а равно

А. -0.25 Б. 0.25 В. 1.5 Г. -2.25

25. Число нулей функции равно

А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4

Ответы, указания, комментарии.

№	Верный ответ	Используемые свойства функции, пояснения.
1	Б	Периодичность
2	Б	Монотонность
3	А	Область определения функции
4	В	Область значений функции
5	Б	Область определения функции
6	А	Ограниченность , при х=0 значение выражения равно 1
7	А	Нечётность
8	Г	Ограниченность. Метод оценки.
9	В	Нечётность
10	А
11	Г	Периодичность
12	А	Абсцисса вершины параболы х=-4 является решением неравенства. Все остальные решения отрицательны и симметричны относительно вершины, их произведение больше 0
13	А	Знак тригонометрической функции, преобразование графика квадратичной функции.
14	Г	Монотонность (пример функция ).
15	А	Свойства функций синуса и арксинуса.
16	В	Составить систему равенств при х=2 и х=0.5
17	А	Преобразование графиков.
18	Г	Производная постоянной.
19	Б	Область значений.
20	В	Периодичность.
21	В
22	Б
23	Г	Чётность, симметрия
24	Б
25	В	Нули функции -1,1,-2. Корни второго множителя не входят в ОДЗ.

1. Использование ограниченности

области значений функции

1.1.Решите уравнение

1.2.Решите уравнение

1.3.Решите систему

1.4.Найти множество значений функции

2. Использование монотонности функции

2.1.Решите уравнение

2.2.Решить уравнение

2.3.Решить уравнение

2.4.Решите неравенство

2.5.Решите систему

3. Использование чётности и симметрии

3.1.Может ли при каком-нибудь значении а уравнение иметь пять корней

3.2.При каких с уравнение имеет единственное

решение?

3.3. Найти все значения а такие, что при любом значении параметра b уравнение имеет единственное решение

3.4.Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение

4.Уравнения вида f(f(x))=x

4.1.Решите уравнение

4. 2. Решите уравнение

4.3. Решите систему

Решение задач

1.1. Решите уравнение

Решение: в силу ограниченности функции синуса исходное равенство

возможно только при выполнении условий системы

Ответ:

1.2. Решите уравнение

Решение: левая часть уравнения не превосходит 2, а правая не меньше

чем 2. Равенство возможно при выполнении условий

Ответ: 0

1.3.Решите систему

Решение.

Из уравнения следует, что . Следовательно, .

Перепишем второе неравенство в виде . Так как при всех , то Сравнивая это неравенство с полученным выше, делаем вывод, что z=5.

Из второго неравенства получаем, что при z=5

Уравнение при z=5 даёт результат: x=-1+4k, Решая первое неравенство

Ответ: (-1;0;5), (3;0;5).

1.4.Найти множество значений функции

Решение: ясно, что большинство 11-класников будут дифференцировать функцию. Небольшая часть учащихся, возможно, поступит следующим образом:

1. .

2. При рассмотрим функцию т. е.

Хороший ученик просто обязан знать, что множеством значений функции является объединение лучей . В противном случае остается дифференцировать функцию .

Окончательно имеем

С учетом того, что , получаем: .

На уровне 10-классников, не изучавших тему «Производная», и в случае затруднения учитель может прогнозировать решение задания №5 методом введения параметра и переформулировки задания, например, задавая такой вопрос: как узнать, является ли число 5 (или любое другое) значением функции ?

Решение. Переформулируем задачу так: при каких значениях а уравнение имеет решение. Все эти значения а и составят множество значений исходной функции.

1. Если то уравнение имеет единственный корень .

2. Если то квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном дискриминанте.

при

Объединяя полученные значения а, окончательно имеем .

Ответ: .

2.1. Решите уравнение

Решение: ОДЗ:. В левой части уравнения возрастающая

функция, а в правой – убывающая. Значит уравнение имеет

не более одного корня. Подбором находим корень х=1.

Других корней нет.

Ответ: 1

2.2.Решить уравнение

Решение: ОДЗ:

a. при возрастает, значит уравнение f(x)=10 имеет не более одного корня на этом интервале. Подбором х=8 является корнем.

b. При убывает, , а возрастает и . Сравним сумму этих значений с числом 10.

, следовательно при и уравнение корней не имеет.

Ответ: 8

«Подсказкой» к выполнению задания может служить

указание: исследуйте функцию в левой части уравнения на каждом промежутке области определения отдельно. Какие свойства функции являются ключом к решению?

2.3.Решение:

Введём функцию , тогда уравнение примет

вид . В силу того, что функция монотонно

возрастает на всей числовой оси, 2х+1=-х,

т. е. .

Ответ: .

2.4.Решите неравенство

Решение:

Функция определена и возрастает при .

Легко видеть, что , значит, при в силу возрастания

функции .

Ответ:

2.5.Решите систему

Решение:

Решим первое уравнение:

Так как монотонно возрастающая функция, то

Решив систему, получаем ;

3.1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение иметь пять корней

Решение: очевидно, что х=0 корнем не является. Если является

корнем уравнения, то () также является корнем в силу

чётности функции в левой части уравнения. Следовательно,

число корней не может быть нечётным.

Ответ: не может.

3.2.При каких уравнение имеет единственное решение?

Решение: в левой части уравнения чётная функция. Значит, если является корнем уравнения, то () также является корнем.

Для единственности решения необходимо, чтобы ноль являлся решением. При х=0 имеем:, , .

Проверим, является ли это значение с достаточным.

При уравнение примет вид

, возрастает на , следовательно , откуда , .

Очевидно .

Исходное уравнение равносильно

- действительно единственное решение.

Ответ: .

Как правило, группа учащихся догадывается быстро применить четность функции (идею симметрии аналитического выражения) и выдает ответ , не проверяя достаточность. Учителю уместно задать вопрос: при каких с уравнение имеет ровно три корня?, пять корней?, нечетное количество корней?. Появляется неуверенность в ответе. Это научит впредь делать проверку (формирование навыка самоконтроля).

3.3.Найти все значения а такие, что при любом значении параметра b уравнение имеет единственное решение

Решение: если следовательно для единственности решения необходимо x=0. Получим (*)

Задача сводится к следующей: при каких а уравнение (*) верно при любых b. Если оно верно при любом b, то и при b=, тогда cosa=0,

, то при любом b левая и правая части уравнения равны 0. Если

, то равенство верно также при любых b.

1. При исходное уравнение имеет вид

2. При уравнение имеет вид

, т. е. уравнение имеет три корня.

3. При уравнение имеет вид , x=0 единственное решение.

4. Если уравнение имеет вид , . Это равенство выполняется не при любых .

Ответ: .

3.4.Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение

Решение: функция чётная. Как раз такого вида выражение содержится в первом уравнении: =. Таким образом, вместе с решением (x;y) система обязательно имеет решение (x;-y). Единственным может быть только решение вида (x;0). Подставим его в систему:

Пусть . Тогда из второго уравнения получаем x=0, затем из первого а=-1. Подставим полученное значение параметра в исходную систему и покажем, что она не имеет других решений, кроме (0;0).

В первом уравнении сделаем оценку левой и правой частей. Т. к. сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше 2, значит . В правой части квадратичная функция с вершиной в точке (-3;-4), причём на рассматриваемом отрезке она принимает значения от -4 до 2. (g(-6)=g(0)=2). Значит, равенство возможно только, когда обе части уравнения равны 2, т. е. при y=0, x=0. Итак, в данном случае решение действительно единственно.

Подставим теперь в исходную систему значение а=2:

В этом случае решение также единственно.

Подставим в исходную систему значение а=3:

система решений не имеет.

Ответ а=-1, а=2.

4.Уравнения вида

Знакомство с уравнениями такого вида целесообразно начать с традиционного экзаменационного задания во многие ВУЗы: решите уравнение . Внимательное рассмотрение структуры записи должно привести учащихся к представлению уравнения в виде , где . Решит ли проблему уравнение ? Да, но частично.

Теорема 1. Если - корень уравнения , то является

корнем уравнения .

Доказательство: - верное равенство.

также верное равенство.

Значит, является решением уравнения .

Теорема 2. Если функция возрастает на промежутке ,

причём все её значения на этом промежутке принад-

лежат , то уравнение (1) равносильно

уравнению (2) на этом промежутке.

Доказательство: 1) любой корень уравнения (2) является

корнем уравнения (1) по теореме 1.

2) Пусть - корень уравнения (1) т. е. , где

, но . Тогда или .

По свойству возрастания функции соответственно

имеем или , что противо-

речит условию . Следовательно, любой

корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Итак, равносильно на .

Замечание. Теорема 2 справедлива лишь для возрастающей функции, а для убывающей это утверждение не имеет места. Например, если взять убывающую функцию , то уравнения и не равносильны. Действительно, . Уравнение имеет вид ; уравнение имеет вид . Последние два уравнения не равносильны.