Лабораторная работа 6.6. Определение характеристик пружинного маятника

Лабораторная работа 6.6

Определение характеристик
пружинного маятника

Цель работы: изучить законы затухающих колебаний на примере пружинного маятника и определить логарифмический декремент.

Описание метода и экспериментальной установки

Приборы и принадлежности: штатив с крючком, пружина, набор грузов с подвеской, секундомер, подставка со шкалой, весы, разновесы.

Опытная установка (рис. 1) состоит из пружины 1, подвешенной на крючке 2 и грузов 3, укрепленных на подвеске 4. Амплитуда колебаний отсчитывается по шкале 5.

Если оттянуть груз вниз и затем отпустить, то нетрудно заметить, что колебания затухают. По данным опыта можно найти все характеристики системы. Данная реальная колебательная система – диссипативна, т. е. в ней действуют силы сопротивления среды и трения, рассеивающие энергию. В таких системах собственные колебания затухают. Силу сопротивления среды Fc для малых скоростей можно считать пропорциональной скорости V:

(1)

где r — коэффициент сопротивления, зависящий от размеров и формы тела и вязкости окружающей среды.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний можно записать в виде:

(2)

(3)

или

где m — масса системы; b = r/2m – коэффициент затухания; - круговая частота собственных колебаний системы; k – коэффициент упругости.

Различают три случая решения уравнения (3):

а) 

(4)

Слабое затухание при b < w0. Это наиболее часто встречающийся в реальных процессах случай. Решение уравнения (3) получается в виде (рис. 2):

где - частота затухающих колебаний.

б) 

(5)

Критическое затухание при b = w0, которому соответствует решение (рис. 3):

Это уравнение непериодического движения. При критическом затухании колебания прекращаются наиболее быстро, что используют при конструировании амортизаторов.

в) 

Сильное затухание при b > w0, которому соответствует решение (рис. 4):

где а С1 и С2 — постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

При слабом затухании используют следующие характеристики затухающих колебаний:

(7)

коэффициент или показатель затухания

(8)

декремент

(9)

логарифмический декремент

(10)

затухание

(11)

добротность

Логарифмический декремент колебаний может быть выражен из формул (8), (9) и уравнения затухающих колебаний (4) через амплитуды колебаний отсчитанные в одну и ту же сторону от положения равновесия.

Пусть Аn – амплитуда колебаний в момент времени
tn = T.n, то есть через n колебаний, тогда:

(12)

где n — число колебаний, за которое амплитуда уменьшается от A0 до An.

Порядок выполнения работы.

1.  Из набора грузов выбрать два таких груза, чтобы их массы отличались на 150¸200 г. Определить на весах массы этих грузов вместе с подвеской m1 и m2 и записать значение масс в
таблицу 1.

2.  Подвешивая к пружине грузы с массами m1 и m2, измерить смещение хсм подвески и определить коэффициент упругости пружины . при каждом значении массы провести
5 измерений. Найти среднее значение , относительную и абсолютную погрешности. Окончательный результат записать в таблицу 1.

3.  Подвесить поочередно 2 груза, используемые в п. 2, и найти периоды колебаний Т1оп и Т2оп, измерив время 10 полных колебаний не менее 5 раз для каждого груза. В каждом из двух случаев найти средний период колебаний, относительную и абсолютную погрешности. Окончательный результат записать в таблицу 1. Полученные результаты сравнить c теоретическими значениями периодов колебаний .

4.  Подвесить первый груз и отметить статическое положение равновесия подвески. Растянуть пружину на заданное значение А0 = 5¸6 см, в зависимости от жесткости пружины и массы груза, отпустить и подсчитать число полных колебаний n, когда измеряемая по шкале амплитуда уменьшится да An. Опыт повторить 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 1.

5.  Подвесить второй груз и повторить измерения по п. 4.

6.  Провести обработку данных:

а) рассчитать q1 и q2 по формуле (12).

б) 

допуская, что малы по сравнению с , найти относительную погрешность при измерении по формуле:

в) Считая относительную погрешность одинаковой во всех опытах, найти доверительные интервалы Dq1 и Dq2 и записать окончательные результаты для q1 и q2 в таблицу 1.

г) рассчитать коэффициенты затухания (b1 и b2) и коэффициенты сопротивления (t1 и t2) по формулам: .

д)  найти абсолютные и относительные погрешности при определении b и r и окончательные результаты записать в
таблицу 1.

Таблица 1

Номер опыта

1

2

3

4

5

ср.

1

2

3

4

5

ср.

Масса груза и подвески, г

m1 = . . . г

m2 = . . . г

Время 10 колебаний, с

Период колебаний Топ, с

DТоп.100, с

(DТоп)2104, с

Начальная амплитуда А0, мм

Конечная амплитуда Аn, мм

DAn, мм

(DAn)2, мм2

Число колебаний

m1 = . . . г

m2 = . . . г

Дополнительные задания.

1.  Найти максимальные значения скоростей и ускорений для грузов массами m1 и m2.

2.  Построить по данным опытов кривую зависимости .

3.  Найти зависимость логарифмического декремента от массы колебательной системы и сравнить ее с опытными данными.

Контрольные вопросы.

1.  Запишите уравнение движения тела, совершающего свободные колебания в вязкой среде. От чего зависит амплитуда и фаза колебаний?

2.  При каких условиях колебательное движение тела при выведении его из положения равновесия не возникает?

3.  Что такое коэффициент затухания и каков его физический смысл?

4.  Что такое логарифмический декремент и каков его физический смысл?

5.  Выведите расчетную формулу для логарифмического декремента.

6.  По какому закону меняется со временем полная энергия системы, совершающей затухающие колебания?