Прикладная механика (стр. 2 )

1	2	3	4	5	6	7	8
15	–		F	2	2F	–	+300C
16	–	2	F		2F	–	-300C
17	–	3	2F		F	–	+200C
18	–		F	1,5	2F	–	-200C
19	–		F	2	F	–	+250C
20	–	3	F		F	–	-250C

Схема 1 Схема 2

Схема 3 Схема 4

Схема 5 Схема 6

Схема 7 Схема 8

Схема 9 Схема 10

Схема 11 Схема 12

Схема 13 Схема 14

Схема 15 Схема 16

Схема 17 Схема 18

Схема 19 Схема 20

Рис. 4

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса, лежащего в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных участков на квадраты их расстояний до полюса О.

, м4.

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных участков на квадрат их расстояний до этой оси.

, м4.

Осевые моменты некоторых простых фигур:

1.  Прямоугольник :

Для квадрата со стороной :

2.  Круг диаметром :

3.  Кольцо размером :

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальные и минимальные значения, называются главными осями инерции.

Если главная ось инерции проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно этой оси – главным центральным моментом инерции.

Пример. Определить моменты инерции сечения, составленного из простых геометрических фигур, относительно главных центральных осей (рис. 5).

Решение. Разобьем сечение на три части (два прямоугольника и полукруг). Введем обозначения сторон:

b=60·10-3м; h1=10·10-3 м; b2=25·10-3 м; h2=10·10-3м.

Рис. 5

Площади частей:

;

;

.

Так как ось y является осью симметрии сечения, то центр тяжести сечения располагается на этой оси, xC=0.

Ординату центра тяжести сечения вычисляем по формуле:

,

где y1=ос1=5·10-3м; у2=OC2=15·10-3м; у3=OC3=20+0,424R=25,3·10-3м.

.

Применяя метод разбиения и формулы моментов инерции прямоугольников и полукруга относительно собственных центральных осей, а также теорему о моменте инерции относительно оси, параллельной центральной (теорему Гюйгенса - Штейнера), записываем:

,

где d1=6,825·10-3м; d2=3,175·10-3м; d3=8,175·10-3м

Подставив значения и произведя вычисления, получим:

Моменты инерции Jу вычисляем как сумму моментов инерции прямоугольников и полукруга относительно центральной оси

Задание 3. Определить моменты инерции сечения, составленного из простых геометрических фигур, относительно главных центральных осей по данным одной из схем, приведенных на рис. 6.

Схема 1 Схема 2

Схема 3 Схема 4

Схема 5 Схема 6

Схема 7 Схема 8

Схема 9 Схема 10

Схема 11 Схема 12

Схема 13 Схема 14

Схема 15 Схема 16

Схема 17 Схема 18

Схема 19 Схема 20

Рис. 6

3. Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникают только крутящие моменты.

Причиной деформации при кручении является внешний вращающий момент, приложенный в плоскости, перпендикулярной оси бруса.

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строится эпюра крутящих моментов. Крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий внешний момент, приложенный к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемого

,

где – допускаемое напряжение при кручении; – момент сопротивления кручению, равный для круглого сечения

, м3.

Деформация при кручении представляет собой поворот поперечного сечения бруса вокруг оси кручения и называется углом закручивания.

Требование жесткости к брусу состоит в том, что угол закручивания 1м длины бруса не должен превышать определенной величины.

Угол закручивания участка бруса длиной определяется по формуле

,

где – жесткость сечения при кручении.

Пример. Вал (брус) круглого поперечного сечения (рис.7) нагружен внешними моментами: М1= 4 кНм; М2 = 8 кНм; М3 = 2 кНм.

Построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания. Подобрать диаметр вала, если МПа, МПа, а = 0,4 м

Решение. Разбиваем вал на три участка (1 – DC, 2 – CB, 3 – BA). Значения крутящих моментов в сечениях каждого участка находим, используя метод сечений (рассекаем вал и рассматриваем правую часть, отбрасывая левую).

кНм;

кНм;

кНм.

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов.

Рис. 7

Применяем расчетное уравнение на прочность при кручении

,

где – момент сопротивления кручению для вала круглого поперечного сечения.

Находим требуемый диаметр вала =79,3мм.

В соответствии с требованиями ГОСТ следует принять 80мм.

Построение эпюры угловых перемещений начинаем от заделки, т. е от неподвижного сечения, .

Угол поворота сечения В

рад,

где МПа – модуль сдвига; – полярный момент инерции круглого сечения вала.

Угол поворота сечения С равен алгебраической сумме углов поворота сечения В и сечения С относительно В

рад.

Угол поворота сечения D

рад.

Построенная по найденным значениям эпюра угловых перемещений показана на рис.7

Задание 4. Для вала круглого поперечного сечения, жестко защемленного одним концом, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, а также из условия прочности подобрать диаметр вала, приняв МПа; МПа. Данные для самостоятельного решения варианта задания приведены в табл. 2 и на рис.8.

Таблица 2

№ вар.	Внешние моменты, кНм	Длины участков, м
М1	М2	М3	М4	a	b	c	d
1	30	25	20	10	0,2	0,3	0,4	0,5
2	20	30	15	–	0,3	0,2	0,25	0,35
3	40	20	10	15	0,4	0,1	0,2	0,3
4	10	15	5	–	0,15	0,25	0,3	0,2
5	12	10	16	5	0,1	0,15	0,35	0,1
6	8	6	4	–	0,6	0,4	0,5	0,15
7	15	7	8	6	0.35	0.1	0.2	0.25
8	9	5	6	–	0,5	0,3	0,3	0,4
9	10	12	14	8	0,25	0,2	0,1	0,3
10	5	4	3	–	0,45	0,5	0,15	0,6
11	7	11	10	–	0,2	0,4	0,5	0,35
12	16	8	12	10	0.3	0,25	0,4	0,2
13	18	14	9	7	0,15	0,35	0,45	0,5
14	35	20	30	–	0,4	0,2	0,3	0,25
15	10	15	20	5	0,7	0,3	0,2	0,1
16	15	12	10	20	0,3	0,4	0,6	0,2
17	13	16	11	10	0,25	0,5	0,3	0,4
18	9	5	7	4	0,35	0,6	0,25	0,1
19	4	6	5	3	0,6	0,45	0,1	0,3
20	2	4	6	–	0,5	0,25	0,35	0,6

Схема 1	Схема 2
Схема 3	Схема 4
Схема 5	Схема 6
Схема 7	Схема 8

Схема 9	Схема 10
Схема 11	Схема 12
Схема 13	Схема 14
Схема 15	Схема 16

Схема 17	Схема 18
Схема 19	Схема 20

Рис.8