Системы дифференциальных уравнений.
Введение.
Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями.
Для этого необходимо располагать, вообще говоря, таким же числом уравнений. Если каждое из этих уравнений является дифференциальным, то есть имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений.
1. Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.
Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причём в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная.
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени.
Линейная система называется нормальной, если она разрешена относительно всех производных
(1)
В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.
Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций 
удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.
Равенства при 
называются начальными условиями системы дифференциальных уравнений.
Часто начальные условия записывают в виде
Общим решением (интегралом) системы дифференциальных уравнений называется совокупность «n» функций от независимой переменной x и «n» произвольных постоянных C1 , C2 , …,Cn:
(2)
..……………………..
которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.
Чтобы получить частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям , надо из уравнений (2) определить соответствующие начальным условиям значения постоянных C10 , C20 , …,Cn0 .
Задача Коши для системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при 
принимало бы заданные значения .
Записывается задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений следующим образом
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом:
Теорема. Пусть правые части уравнений системы (1), т. е. функции 
, (i=1,2,…,n) непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеет в ней непрерывные частные производные 
.
Тогда каковы бы ни были значения , принадлежащие области D, существует единственное решение системы (1) 
, удовлетворяющее начальным условиям
.
2. Решение нормальной системы методом исключения.
Для решения нормальной системы дифференциальных уравнений используется метод исключения неизвестных или метод Коши.
Пусть дана нормальная система
Дифференцируем по х первое уравнение системы
Заменяя производные 
их выражениями 
из системы уравнений (1), будем иметь
Дифференцируем полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдём
Продолжая далее таким же образом, получим уравнение
Итак, получили систему
(2)
Из первых п-1 уравнений определим y2 , y3 , … , yn , выразив их через
и 
(3)
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (2), получим уравнения п-го порядка для определения y1 :
(4)
Решив это уравнение, найдём y1
(5)
Дифференцируя последнее выражение п-1 раз, найдём производные
как функции от 
. Подставляя эти функции в уравнения (4), определим y2 , y3 , … , yn .
Итак, получили общее решение системы (1)
(6)
Чтобы найти частное решение системы (1) удовлетворяющее начальным условиям при
надо найти из уравнения (6) соответствующие значения произвольных постоянных С1 , С2 , … , Сn .
Пример.
Найти общее решение системы уравнений:
Продифференцируем первое уравнение: 
Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
получаем решение системы: 
3. Преобразование дифференциального уравнения порядка п к нормальной системе Коши.
Всякое уравнение п-го порядка
можно привести к системе уравнений первого порядка, если принять 
за новые неизвестные функции.
Заключение.
С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Например, отыскание векторных линий поля требует решения системы дифференциальных уравнений. Решение задач динамики криволинейного движения приводит к системе трех дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной — время. Позже вы узнаете, что решение задач электротехники для двух электрических цепей, находящихся в электромагнитной связи, потребует решения системы двух дифференциальных уравнений. Количество подобных примеров легко можно увеличить.
